Логинов Избранные разделы курса Векторный анализ (теория и примеры) 2009
.pdfРис. 3.4
В дальнейшем, будут рассматриваться только двухсторонние поверхности.
Определение. Поверхность с выбранной стороной (совокуп- ность нормалей) называется ориентированной поверхностью.
Явно заданную поверхность Φ: z = f(x,y) называют положительно ориентированной, если косинус угла между вектором нормали к поверхности (в любой ее точке) и ортом оси z положите-
лен: cos (n,k) > 0.
Поверхность Φ: y = f(x,z) называют положительно ориентированной, если косинус угла между вектором нормали к поверхности (в любой ее точке) и ортом оси y положителен: cos(n,j) > 0.
Поверхность Φ: x = f(y,z) называют положительно ориентированной, если косинус угла между вектором нормали к поверхности (в любой ее точке) и ортом оси x положителен: cos(n,i)>0. На рис. 3.5 показана положительная ориентация поверхностей в каждом из этих трех случаев.
Рис. 3.5
51
Определение. Для замкнутой поверхности, положительной ориентацией называется выбор внешней нормали (рис. 3.6).
Рис. 3.6
3.2.2. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода
Теорема. Если ориентированная поверхность задана явно Ф: z=z(x,y) на D с непрерывно дифференцируемой функцией z(x,y), R(x,y,z) – непрерывна на Ф, тогда поверхностный интеграл
∫∫Rdxdy существует и вычисляется по формуле
Φ
∫∫R( x, y, z)dxdy = or Ф ∫∫R( x, y, z( x, y))dxdy .
Φ D
Здесь и в дальнейшем or Ф=1 для положительно ориентированной поверхности и or Ф=-1 в противном случае.
3.2.3. Связь с интегралом 1-го рода
Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны равенством
∫∫R( x, y, z)dxdy = |
∫∫R( x, y, z) cos γ dS . |
(3.1) |
Φ |
Φ |
|
Определение. Поверхность, которая однозначно проектирует- ся на все координатные плоскости, называется поверхностью ти- па А . Поверхность называется допустимой, если она непрерывно
52
дифференцируема, имеет везде ненулевую нормаль и допускает
разбиение на конечное число поверхностей типа А.
Для допустимых поверхностей Ф формула (3.1) будет верна по отношению ко всем координатным плоскостям. В частности, если на поверхности определено непрерывно дифференцируемое поле
V=(P,Q,R), то
∫∫ |
P dydz +Q dzdx+R dxdy = ∫∫ (P cos α +Q cos β + R cos γ) dS , |
Φ |
Φ |
где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы единичной нормали к поверхности.
3.2.4. Простейшие свойства поверхностного интеграла 2-го рода
Введем обозначения: dS=ndS=(cos α, cos β, cos γ) dS. Это позволяет использовать векторное обозначение для интеграла 2-го рода
∫∫ |
P dydz +Q dzdx+R dxdy = ∫∫ (V,dS). |
Φ |
Φ |
В векторных обозначениях связь между интегралами первого и второго рода выглядит следующим образом:
∫∫ |
(V,dS) = ∫∫ (V,n) dS. |
Φ |
Φ |
Замечание. Как это следует из формул вычисления площади поверхности, dS=|N|dxdy для поверхности z(x,y), заданной явно, и dS=|N|dudv для параметрически заданной поверхности.
Эти выражения можно использовать при вычислении поверхностных интегралов. Например, для параметрически заданной поверхности можно записать
∫∫ |
(V,dS) = ∫∫ |
(V,n) dS= ∫∫ |
(V,n) |N|dudv= ∫∫ (V, N)dudv . |
Φ |
Φ |
D |
D |
Отметим свойства интеграла 2-го рода:
53
1) |
∫∫ (V,dS) = - ∫∫ |
(V,dS); |
|
|
|
Φ |
Φ− |
|
|
2) |
∫∫ (αV + βW, dS) = α ∫∫ (V, dS) + β ∫∫ (W, dS); |
|||
|
Φ |
|
Φ |
Φ |
3) |
∫∫ |
(V,dS) = ∫∫ |
(V,dS) + ∫∫ |
(V,dS); |
|
Φ1 Φ2 |
Φ1 |
Φ2 |
|
4) | ∫∫ (V,dS)| ≤ max |V|µΦ.
Φ
Пример 3.1. Найти статические моменты однородной треугольной пластинки x+y+z=a, x≥0, y≥0, z≥0, относительно координатных плоскостей (рис. 3.7).
Рис. 3.7
Решение. Требуется вычислить интегралы
∫∫xρ( x, y, z)dS , ∫∫ yρ( x, y, z)dS , ∫∫zρ( x, y, z)dS . |
Плотность распре- |
|||||||||
Φ |
Φ |
|
Φ |
|
|
|
|
|
||
деления массы ρ=1. Поэтому |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a |
a−x |
|
|
|
|
∫∫xdS = ∫∫x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
3 |
dxdy = |
3 |
∫ xdx ∫dy = |
|
|
a3 . |
||||
|
|
|
||||||||
Φ |
D |
0 |
0 |
6 |
|
|||||
|
|
|
|
Остальные моменты равны той же величине по соображениям симметрии.
Пример 3.2. Найти момент инерции относительно оси Oz одно-
54
родной сферической оболочки x2+y2+z2=a2 , z ≥ 0. Решение. Требуется вычислить интеграл
∫∫(x2 + y2 )ρ(x, y, z)dS = ∫∫(x2 + y2 )dS .
Φ Φ
Плотность распределения массы ρ возьмем равной 1. Найдем длину вектора нормали N для сферических координат
x=a cosθ cosϕ , y=a cosθ sinϕ , x=a sinθ:
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
= a2 |
− cos θsin ϕ |
cos θ cos ϕ |
0 |
= |
|||
N = ( A, B, C) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
∂ϕ |
|
∂ϕ |
|
− sin θ cos ϕ |
− sin θsin ϕ |
cos θ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂θ |
|
∂θ |
|
∂θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=a2(cos2θ cosϕ, cos2θ sinϕ, sinθ cosθ ), |
|
N |
|
=a2 cos θ . |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта величина равна модулю якобиана отображения, определяемого сферическими координатами. Тогда, используя сферические координаты для параметрического задания верхней полусферы (область изменения параметров – прямоугольник
D = [0,2π] × [− π / 2, π / 2]), получим:
|
|
∫∫(x2 + y2 )dS = ∫∫( x2 + y 2 ) |
N |
dϕdθ = |
|
|
|
Φ |
D |
||
|
π |
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
= ∫dϕ∫2 |
(a2 cos2 θ cos2 ϕ + a2 cos2 θsin2 ϕ)a2 cos θdθ = |
||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
2π |
2 |
2 |
1 |
|
= a4 ∫ dϕ∫cos3 θdθ = 2πa4 ∫ |
(1 − sin2 θ)d sin θ = 2πa4 ∫(1 − u 2 )du = |
|||
0 |
0 |
0 |
0 |
= 2πa4 − 2 πa4 = 4 πa4 .
33
55
Пример 3.3. Найти координаты центра тяжести однородной поверхности, лежащей на конусе z = x2 + y 2 , вырезанной цилиндрической поверхностью x2 + y2 = ax (рис. 3.8).
Рис. 3.8
Решение. Координаты центра тяжести будут равны:
|
∫∫xρ(x, y, z)dS |
|
∫∫ yρ(x, y, z)dS |
|
∫∫zρ(x, y, z)dS |
|
|
X = |
Φ |
, Y = |
Φ |
, Z = |
Φ |
. |
|
∫∫ρ( x, y, z)dS |
∫∫ρ(x, y, z)dS |
∫∫ρ(x, y, z)dS |
|||||
|
|
|
|
||||
|
Φ |
|
Φ |
|
Φ |
|
Считаем плотность распределения масс равной 1. Вес поверхности равен:
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
a cos ϕ |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||
∫∫ρ( x, y, z)dS = ∫∫dS = ∫ dϕ |
∫r |
|
|
|
|
|
a2 |
|
∫cos2 ϕdϕ = |
||||||||||||||||||||
2dr = = |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Φ |
D |
|
|
− |
π |
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
− |
π |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
+ cos 2ϕ |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
a 2 |
|
∫ |
|
|
dϕ = |
|
|
a2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для координаты X центра тяжести интеграл в числителе будет равен
56
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a cos ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|||||||
∫∫xρ( x, y, z)dS = ∫ cos ϕdϕ ∫r 2 |
|
|
2 |
dr = |
2 |
a3 |
|
∫cos4 ϕdϕ = |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Φ |
|
|
|
|
|
− |
π |
0 |
|
|
3 |
− |
π |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
(1 + cos 2ϕ) |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
2 |
a3 |
|
∫ |
|
dϕ = a3 |
|
|
|
∫(1 + 2 cos 2ϕ + cos2 2ϕ)dϕ = |
|||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 |
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a3 2 π .
8
Таким образам, найдем X = a . Из соображений симметрии
2
вторая координата центра тяжести будет равна Y = 0. И, наконец, для числителя третьей дроби
|
π / 2 |
|
|
|
|
a cos ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
3 |
π / 2 |
|||||
∫∫zρ(x, y, z)dS = |
|
∫ |
dϕ |
|
∫ |
|
r 2 |
|
2dr = |
|
2 |
|
|
∫cos3 ϕdϕ = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Φ |
−π / 2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−π / 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 2 |
a 3 . |
|
|
|||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
a |
2 |
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
9 |
|
|
|
|
|
|
Откуда Z = 19 a .
9π
Пример 3.4. Вычислить ∫∫xdydz + ydzdx + zdxdy , где Ф –
Φ
внешняя сторона сферы x2+y2+z2=a2.
Решение. ∫∫
Φ
=aµФ= a3 4π .
Пример 3.5.
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
(V,dS) = ∫∫ |
(V,n), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||
dS= ∫∫ r, |
|
dS |
= ∫∫ r, |
|
dS |
||||||||||
Φ |
|
|
|
|
|
Φ |
|
r |
|
|
Φ |
r |
|
||
|
|
|
|
|
dzdx |
|
dxdy |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dydz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычислить |
∫∫ |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
, |
где |
Ф – |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Φ |
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57
внешняя сторона эллипсоида |
x2 |
|
+ |
y2 |
|
+ |
z 2 |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 |
b2 |
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Запишем уравнение поверхности |
|
|
в |
явном |
ви- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
де z = c 1 − |
x2 |
|
− |
y2 |
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p = − |
c |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
c2 x |
, q = − |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
c2 y |
. |
|||||||||||||||||||
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 z |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 z |
|||||||||||||||||||||||
1 − |
x |
2 |
|
− |
y |
2 |
|
|
|
|
|
1 − |
x |
2 |
|
− |
y |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Откуда найдем нормаль к поверхности N = (− p,−q,1) |
. После этого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вычисляется векторное произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
c2 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(V , N ) = |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 z b2 z |
z |
|
|
|
z a2 |
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Обозначим через |
|
|
|
верхний |
|
полуэллипсоид, |
а через D – его |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
проекцию на плоскость xOy. Обозначим |
A = |
1 |
|
|
+ |
1 |
|
+ |
1 |
|
. Учиты- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 |
|
b2 |
|
c2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вая ранее сделанное замечание и симметрию относительно координатных осей, получим
dydz
xΦ
|
dzdx |
|
dxdy |
|
|
|
|
dzdx |
|
dxdy |
|
|
|
(V , N )dxdy = |
|
+ |
+ |
|
=2 |
|
dydz |
+ |
+ |
|
= 2 |
∫∫ |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y |
|
z |
|
|
∫∫ |
|
y |
|
z |
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
D |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
dxdy |
|
|
|
|
|
|
2π |
1 |
|
rdr |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= 2c |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2abcA ∫ |
dϕ∫ |
|
|
|
|
= |
|
2 |
|
2 |
c 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
y 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
a |
|
b |
|
D |
1 |
− |
|
|
− |
0 |
0 1 − r |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= 4πabcA |
|
∫ |
|
|
|
|
|
= 4πabcA . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 − u |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58
3.3.Формула Стокса
3.3.1.Поверхность, заданная уравнением z = z(x, y)
Рассмотрим ориентированную непрерывно дифференцированную поверхность Ф, однозначно проектируемую не все координатные плоскости. Пусть эта поверхность имеет задание z = z(x, y), где (x, y) Dz . Через Г обозначим край этой поверхности с согласованной ориентацией.
Определение. Согласованной называется такая ориентация, когда при обходе края поверхности в этом направлении с выбран-
ной нормалью поверхность остается слева.
На рис. 3.9 показана иллюстрация этого определения. Через Dx на этом рисунке обозначена проекция поверхности Ф на плоскость
x=0.
Рис. 3.9
Пусть P(x,y,z) задана и непрерывна на Ф и имеет там непрерыв-
ные частные производные ∂P ,
∂y
|
∂P |
|
∂P |
|
|
|
|||
∫∫ |
|
dzdx − |
|
|
∂z |
∂y |
|||
Φ |
|
∂P . Тогда имеет место равенство
∂z
dxdy = ∫ P( x, y, z)dx .
Области интегрирования показаны на рис. 3.10.
Рис. 3.10
59
3.3.2. Формула Стокса для векторного поля
Пусть Ф – допустимая ориентированная поверхность, V=(P,Q,R)– непрерывное на Ф поле, Г – край этой поверхности с согласованной ориентацией. Справедлива формула
∫ Pdx + Qdy + Rdz =
|
|
∂R |
|
∂Q |
|
∂P |
|
|
∂R |
|
|
|
|
|
∂Q |
|
∂P |
|
|||||
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= ∫∫ |
∂y |
|
dydz + |
∂z |
|
|
dzdx + |
∂x |
|
dxdy . |
|||||||||||||
Φ |
|
|
∂z |
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ротор векторного поля определяется по формуле |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
rot V = |
|
∂ |
|
|
∂ |
|
∂ |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
∂z |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
Q |
|
R |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя ротор, формула Стокса может быть записана в векторной форме
|
|
|
cos α |
cos β |
cos γ |
|
||||||
∫ |
(V, ds) = ∫∫ |
(rot V, dS)= ∫∫ |
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
dS . |
|
∂x |
|
∂y |
∂z |
||||||||
|
Φ |
Φ |
|
|
|
|
||||||
|
P |
|
Q |
|
R |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Формула Стокса означает, что циркуляция векторного поля по
краю поверхности равна потоку ротора через эту поверхность.
Подробнее о смысле этой терминологии будет сказано позже.
Пример 3.6. Вычислить ∫ ydx + zdy + xdz , где С – окружность
C
x2+y2+z2=a2, x+y+z=0 , проходимая против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ox.
Решение. Вычислим ротор векторного поля
60