Тронин В.Н. - Заметки об эволюции (1988)

Глава 3 .Язык

φ (x) = α δ (x)

Задача о броуновском движении является частным примером применения общей теории случайных процессов. Применяя эту теорию можно рассмотреть многие другие задачи. Поэтому представляется необходимым дать обзор общих идей и методов теории стохастических процессов.

Пусть через q обозначена интересующая нас переменная, определяющая состояние рассматриваемой системы. Такой переменной может быть координата или скорость броуновской частицы либо любая другая переменная из описанных выше моделей. Если бы переменная q была бы детерминированной величиной, то мы могли бы построить функцию времени q(t) , которая определяла бы значение q в каждый момент времени t по соответствующим начальным условиям, заданным, например при t=0.Однако если q - случайная переменная, то такой функции не существует. В каждый момент времени переменная q может принимать любое значение, лежащее в области изменения переменной. Однако всякому возможному значению q в момент времени t присваивается некоторая вероятность, которая может принимать любое значение, заключенное между нулем и единицей. Поскольку мы предположим, что q -непрерывная переменная, то проще говорить о плотности вероятности. (Пример процесса, не удовлетворяющего этому условию, приведен ниже). Точнее, мы можем утверждать, что значение q случайной переменной в момент времени t обладает плотностью вероятности f (q,t) , если существует вероятность f (q,t)dq найти значение этой переменной в бесконечно малом интервале ( q , q +d q ).Для полной характеристики случайного процесса, вообще говоря, недостаточно задать значение плотности вероятности f (q,t) . Если нам удалось узнать, что в момент времени t1 переменная принимает значение q1 , то это обстоятельство будет влиять на вероятность того, что переменная принимает значение q2 в момент времени t2 , ибо различные точки отнюдь не обязательно независимы. (т.е. существует корреляция между тем, что происходит в моменты времени t1 ,t2 ). Другими словами,

совместную плотность вероятности W2 (q1 ,t1 q2 ,t2 ) (вероятность того, что в момент времени t1 переменная принимает значение q1 , а в момент времени t2 значение q2 ) не обязательно можно определить,

б) Wn (q1 ,t1 q2 ,t2 ............ qn ,tn ) симметрична относительно перестановок

группы переменных (qn ,tn ) среди других групп, поскольку Wn - совместная плотность вероятности.

в) функция Wn должна быть согласована со всеми плотностями вероятности низших порядков

В некоторых случаях функцию высшего порядка можно выразить через функции низших порядков. Простейший случай мы имеем, когда для решения задачи достаточно знать f (q,t)

W2 (q1 ,t1 q2 ,t2 ) = f (q,t) f (q,t)

В этом случае корреляции во времени вообще отсутствуют. Однако в случае непрерывного реального процесса такое предположение нереалистично :на малых промежутках времени между последовательными событиями должна существовать причинная связь .Следующий по простоте случай называется марковским процессом .В этом случае вся информация содержится в двух

Из описанных выше свойств а)-в) вытекают следующие свойства вероятности перехода w2 (q1 ,t1 q2 ,t2 ) :

Глава 3 .Язык

Теперь мы можем определить марковский процесс соотношением

n ≥ 2

Такое условие означает ,что в марковском процессе вероятность перехода от значения к значению совершенно не зависит от предыстории системы.Легко проверить ,

Это интегральное уравнение ,называемое уравнением ЧепменаКолмогорова (или иногда уравнением Смолуховского) часто рассматривается в качестве определения марковского процесса. В важном частном случае ,когда вероятность перехода w2 (q3 ,t3 q2 ,t2 ) зависит только от разности t3 − t2

можно вывести дифференциальное уравнение в частных

При этом использовано уравнение (30).Изменим порядок интегрирования в первом члене и разложим R(q) в ряд Тейлора в точке z

В силу (26) первый и последний члены в правой части сокращаются

. Предположим , что

При этих предположениях можно в явном виде вычислить предел в уравнении (32) ,а результат проинтегрировать по частям

Это должно быть справедливо для любой функции R(q) .Откуда следует , что

Глава 3 .Язык

Этоизвестное уравнение Фоккера -Планка. Оно играет ведущую роль в нашем рассмотрении. Это уравнение было получено нами при весьма общих предположениях, таких как условие марковости (24),которое уже использовалось нами ранее (см(15).Отметим , что

Конкретизируем теперь уравнение Фоккера -Планка путем вычисления коэффициентов А(q) и B(q) для случая стохастического уравнения (10)

где ζ (t) представляет собой случайный процесс , являющийся белым шумом

Из (33) получаем

Таким образом , стохастическое дифференциальное уравнение (36) с белым шумом (37) определяет случайный марковский процесс , такой ,что плотность вероятности (функция распределения) f (q,t) и

вероятность перехода w2 (q x,t) удовлетворяют уравнению ФоккераПланка*

3.Решение уравнения Фоккера -Планка для броуновской частицы. Процессы Орнштейна-Уленбека и Пуассона.

Уравнение Фоккера -Планка для броуновской частицы имеет вид

Решение этого уравнения будем искать в виде гауссова распределения, записанного в самом общем виде

Подставляя (43) в (42) , после дифференцирования по времени и скорости после несложных , но длинных преобразований получим уравнения ,определяющие функции а и b

* Замечание. Для читателей , знакомых с теорией стохастических дифференциальных уравнений такая формулировка отвечает интерпретации Ито. Везде в дальнейшем мы будем придерживаться этой интерпретации , не

вдаваясь в тонкости дилеммы Ито-Стратонович.

В.Н. ТРОНИН 85 ЗАМЕТКИ ОБ ЗВОЛЮЦИИ

Уравнения (44) представляют собой линейные дифференциальные уравнения относительно функций а и b. Их решения в явном виде имеют вид

Случайный процесс , описываемый соотношениями (47) , (48) называется процессом Орнштейна-Уленбека. Он моделирует непрерывно изменяющиеся физические величины и имеет поэтому "почти" непрерывные траектории. Если обратиться к другой

Глава 3 .Язык

крайности - величинам , изменяющимся дискретно , то основным примером этого класса процессов и в известном смысле дискретным аналогом процесса Орнштейна-Уленбека является пуассоновский процесс. Иерархия вероятностей для этого процесса имеет вид

Пуассоновский процесс показывает сколько раз происходит интересующее нас событие в интервале времени от 0 до t.

Отметим , что стационарное решение уравнения Фоккера -Планка для броуновской частицы имеет вид распределения Максвелла , причем параметр σ 2 , характеризующий величину амплитуды флуктуаций , напрямую связан с температурой среды.

Это утверждение носит весьма общий характер : в случае внутренних флуктуаций стационарное решение уравнения ФоккераПланка, определяющее вероятность нахождения системы в состоянии , характеризующимся значением переменной q , имеет вид распределения , полученного нами при описании различных моделей (Глава 2)

f (q) = Aexp(− β V (q))

при этом параметр β связан с амплитудой флуктуаций

β − 1 = σ 2

В случае внешних флуктуаций такие простые и общие утверждения вообще говоря отсутствуют. Однако и в этом случае уравнение Фоккера -Планка играет фундаментальную роль.

4.Стационарные решения уравнения Фоккера -Планка. Явления перехода в флуктуирующей среде.

Можно полагать что если флуктуации среды допускают описание с помощью стационарного случайного процесса ( т.е. процесса ,

Глава 3 .Язык

Стационарное поведение в данном случае означает , что при t → ∞ в системе устанавливается плотность вероятности , форма которой не меняется с течением времени. В дальнейшем мы определи стационарную плотность вероятности f (q) , которая характеризует не зависящее от времени поведение системы , находящейся под воздействием внешнего белого шума , и обсудим ее основные свойства. В частности нас будет интересовать любое изменения в макроскопическом поведении системы, вызываемые флуктуациями среды.

Уравнение (50) становится при этом уравнением непрерывности, выражающим закон сохранения вероятности. Стационарное решение уравнения Фоккера -Планка находится из условия

Таким образом стационарная функция распределения удовлетворяет уравнению

Здесь первый интеграл берется по всей области изменения параметра q. По аналогии с тем ,как мы действовали выше, введем вероятностный потенциал U(q) ,записав f (q) в виде

В случае чисто внутренних флуктуаций вероятностный потенциал совпадает с детерминированным U(q) = V (q) .При это экстремумы плотности вероятности в точности соответствуют "долинам" и "холмам" ландшафта , задаваемого потенциалом V (q) .Введение вероятностного потенциала позволяет записать эффективные уравнения движения системы с учетом внешних флуктуаций

Отметим , что если характерный временной масштаб внутренних флуктуаций ζ (t) велик по сравнению с временным масштабом внешних флуктуаций , это уравнение приобретает вид стохастического дифференциального уравнения

которое одновременно учитывает в рассматриваемом приближении как внутренние , так и внешние флуктуации в системе. Это уравнение будет использовано нами при построении модели эволюции сознания.( см. Главу 4)

Приведенные выше соображения позволяют отождествить экстремумы стационарной функции распределения с макроскопическими стационарными состояниями системы. Максимумы соответствуют устойчивым , а минимумы - неустойчивым состояниям системы. Если стационарная функция распределения (53) имеет только один максимум, то система