Тронин В.Н. - Заметки об эволюции (1988)
.pdf
Приложение
по матрицам Π |
(а ) |
, которые реализуют базис в пространстве действительных |
|||||||||||||||
µν |
|||||||||||||||||
N × N матриц: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Α µν |
|
( X ) = Π µνа ψ а ( X ) |
|
|
|
|
|
|
(121) |
||||
Здесь |
µ |
ν, = 1,2...... N, a= 1,2...... K; K≥ |
N ,K- |
число |
|
N × N |
матриц базиса. |
||||||||||
Тогда из (115),(117) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
W(N ) |
|
|
N |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Φ0 [ψ |
а ; аik |
] |
|
|
0 |
|
− 1 ∫ gdq1dq2 |
{ aik |
bk ψ b |
iaψ |
a+ |
|
|
R} |
(122) |
||
N |
N − 2 |
2 |
6 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a ≡ |
Π |
a ∂ |
− |
|
Ca ; |
C≡a |
Γ Π l |
+ aΓ Π |
l |
a |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
ik |
k |
|
i |
i |
ik |
lk |
kk |
il |
|
|
|
|
Это соотношение справедливо для «сильно диссипативных»(см.(116))
многомерных N>2 систем .Для |
|
|
сильно |
флуктуирующих |
систем(см.(117)) |
||||||||||||||||||||||||||||||
найдем: |
|
|
|
|
|
W(N ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Φ0 [ψ |
а ; аik ] |
|
|
R0 |
N |
− 1 |
∫ gdq1dq2{ aik bk |
ψ b |
iaψ |
a } |
(123) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
N |
N |
− 2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ≡ |
|
|
Π |
|
a ∂ |
− |
Ca |
; |
|
C≡a |
Γ Π l |
+ aΓ Π |
l |
a |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
ik |
k |
|
i |
|
|
|
i |
|
|
ik |
lk |
|
kk |
il |
|
|||||
где |
Γ |
|
k |
= |
a kl (∂ |
|
|
|
a |
|
+ ∂ |
|
a |
− |
∂ |
|
a |
|
) -символы |
Кристоффеля, аik - матрица , |
|||||||||||||||
|
|
i |
l j |
j |
l |
i j |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i j |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
обратная к aik . |
|
|
|
Из (122),(123) следует, что уравнения , определяющие |
|||||||||||||||||||||||||||||||
структурно устойчивые поляψ |
а , имеют вид: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
∫ gdq1dq2{ aik bk |
ψ |
b |
iaψ |
a+ |
1 |
R}=0 |
(124) |
|||||||||||||
|
|
|
δ ψ |
а |
(q |
|
, q |
2 |
) |
6 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
∫ gdq1dq2{ aik bk |
ψ |
b |
iaψ |
a+ |
1 |
R} =0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
δ |
a |
ik |
(q |
, q |
2 |
) |
6 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
∫ gdq1dq2{ aik bk |
ψ |
b |
iaψ |
a} =0 |
(125) |
δ ψ |
а |
(q |
, q |
2 |
) |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
δ |
|
|
|
|
∫ gdq1dq2{ aik bk |
ψ |
b |
iaψ |
a} =0 |
|
|
δ |
a |
ik |
(q |
, q |
2 |
) |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
для сильно диссипативных и сильно флуктуирующих систем соответственно. Таким образом задача о поведении и структурной устойчивости автономной системы с внешним белым шумом при N>2 сводится, как и в случае N=2, к
вычислению из уравнений (124), (125) |
тензорного поля Α µν ( или, что |
|
эквивалентно, поляψ а ) |
на N-мерном |
многообразии с метрикой aik .В |
рассматриваемом здесь |
общем случае |
N>2, построение базисных матриц |
Π(µνа ) представляет собой отдельную , далеко нетривиальную
задачу[15].Однако, если предположить, что Π (µνа ) образуют алгебру Клиффорда
Π (b) Π (а ) + Π (а ) Π (b) = Iδ a b
В.Н.Тронин |
209 |
Заметки об |
эволюции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложение |
|
|
||||||
где, I- единичная |
|
|
N N матрица, |
то |
|
из |
(124) получим для «сильно |
|||||||||||
диссипативных» систем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
aik f |
|
|
f |
ψ |
= |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k |
|
|
i |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
− |
1 |
a |
|
R= − |
|
T |
; |
|
|
|
|
|
|
|
(126) |
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ik |
|
|
|
ik |
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
||||
T |
= |
|
f |
|
ψ |
|
f |
ψ |
− |
|
1 |
a |
|
ψf |
|
ψ |
f |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
ik |
|
|
i |
|
|
a |
k |
|
a |
|
ik |
r |
a |
|
r |
a |
||
Уравнения , определяющие структурно-устойчивые поля bi ( X ); aik ( X ) (125), для сильно флуктуирующих систем имеют вид
aik |
f |
|
|
f |
ψ |
= |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
i |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
= |
|
f |
ψ |
f |
ψ |
− |
1 |
a |
|
ψf |
|
ψ |
f = |
|
(127) |
||
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
ik |
|
|
|
i |
|
a |
k |
|
a |
|
ik |
r |
a |
|
r |
a |
|
|
Уравнения (126) представляют собой уравнения Эйнштейна и «полей материи»
ψ а для определения метрического тензора |
аik и |
полей ψ а на N-мерном |
|
многообразии. |
|
|
|
Таким образом задача об определении |
структурно |
-устойчивых полей |
|
bi ( X ); aik ( X ) в многомерном N>2 случае сводится |
к |
решению уравнений |
|
Эйнштейна (126) в случае систем с сильной диссипацией (в определенном выше смысле) и к определению свободного (на многообразии с метрикой ,
определяемой условием T |
= |
f |
ψ |
f |
ψ |
− |
1 |
a |
|
ψf |
|
ψ |
f = |
|
0 ) векторного |
2 |
|
|
|
||||||||||||
ik |
|
i |
a |
k |
|
a |
|
ik |
r |
a |
|
r |
a |
|
поля ψ а .
ЛИТЕРАТУРА
1.Р.Балеску .Равновесная и неравновесная статистическая механика.,Ч1,2-М.
Мир , 1978.
2.Г.Хакен Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах-М.,Мир,1985.
3.Г.Хакен Синергетика.,-М.,Мир,1979.
4.В.Хорстхемке , Р.Лефевр. Индуцированные шумом переходы. М.,Мир .1987. 5.W. Ebeling.,A.Engel.,Models of Evolutionary Systems and their Application to
Optimization Problems. Syst.Anal.Model.Simul. 1986.V.3.P.377.
6.Ю.Л.Климонтович,Турбулентное движение и структура хаоса,М Наука, 1990 7.В.Н.Тронин ,Заметки об эволюции.Применение методов неравновесной
статистической механики для анализ физических, экономических и социальных проблем. М..МИФИ. 199?.
8.В.И.Арнольд «Жесткие» и «мягкие» математические модели .Доклад на Научно-практическом семинаре «Аналитика в государственных учреждениях».Москва ,1997 г.
8.В.И.Арнольд «Жесткие» и «мягкие» математические модели .Доклад на Научно-практическом семинаре «Аналитика в государственных учреждениях».Москва ,1997 г.
9.Б.А.Дубровин,С.П.Новиков,А.Т.Фоменко.Современная.геометрия. ,Наука,1979
В.Н.Тронин |
210 |
Заметки об |
эволюции |
|
|
Приложение
10.А.С.Шварц Квантовая теория поля и топология.М.,Наука,1989.
11.Б.С.де Витт.Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени. В сб.Черные дыры, М.,Мир,1979.
12 В.Феллер.,Введение в теорию вероятностей и ее приложения.,М.,Мир.1984 13. Б.А.Дубровин,С.П.Новиков,А.Т.Фоменко.Современная геометрия. Методы и
приложения.,М.,Эдиториал УРСС,1998.
14.Р.Раджараман. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля.М.,Мир 1985.
15. Е.Креммер.Размерная редукция в теории поля и скрытые симметрии в расширенной супергравитации. В сб.Ведение в супергравитацию.,М.,Мир 1985.
В.Н.Тронин |
211 |
Заметки об |
эволюции |
|
|
Содержание
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1: Физика
Глава 2: Гидродинамический этап эволюции макроскопических систем
Введение Типичные примеры систем на мезоскопическом этапе
эволюции.
Задача о торговце. Одномодовый лазер. Динамика популяции.
Модель формирования общественного мнения.
Модель фазового перехода ферромагнетик - парамагнетик. Модель формирования организованной преступности. Качественный анализ поведения решений приведенных
моделей.
Поляризация общественного мнения. Фазовый переход 2-го
рода.
Формирование организованной преступности. Фазовый переход 1-го рода. Поляризация общественного мнения при наличии внешнего поля. Фазовый переход 1-го рода, индуцированный внешним полем.
Глава 3. Флуктуации Общие положения.Белый шум.
Броуновское движение. Случайные процессы. Уравнение Фоккера-Планка.
Стационарные решения уравнения Фоккера-Планка.Явления перехода в флуктуирующей среде.
Система Ферхюльста в среде с белым шумом.
Глава 4. Эволюция. Эволюция эволюции.
Конкуренция и сосуществование. Симбиоз.
В.Н.Тронин |
213 |
Заметки об |
эволюции |
|
|