матан коллоквиум / 1е Достаточное условие существования экстренума.Пример

Напомним, что экстремум функции – это ее локальный максимум или минимум.

1. Случай функции одной переменной. Заметим, что максимум или минимум дифференцируемой функции может находиться лишь в ее критической точке (необходимое условие экстремума).

Пусть х₀ – критическая (стационарная) точка функции y = f(x) (т.е. внутренняя точка области ее определения, в которой производная равна нулю). Тогда можно сформулировать следующие достаточные условия существования экстремума в этой точке:

а) Пусть функция дифференцируема в некоторой  окрестности U точки х₀, не содержащей других критических точек. Тогда:

   если при переходе через точку х₀ производная f ' меняет свой знак с плюса на минус, х₀ – точка (локального) максимума функции;

   если при переходе через точку х₀ производная меняет свой знак с минуса на плюс, х₀ – точка (локального) минимума функции;

   если при переходе через точку х₀ производная не меняет свой знак, в точке х₀нет экстремума.

б) Пусть в точке х₀ существует вторая производная функции f,  f ''(x0), не равная нулю. Тогда:

   если f’’(x₀) > ₀, х₀ – точка (локального) минимума функции;

   если f’’(x₀) < ₀, х₀ – точка (локального) максимума функции.

 

Читать далее...

в) Пусть в точке х₀ функция дифференцируема n раз, причем   а f⁽ⁿ⁾(x₀) ≠ 0. Тогда:

–   если n четно и f⁽ⁿ⁾(x₀) < 0, то х₀ – точка (локального) максимума функции;

–   если n четно и f⁽ⁿ⁾(x₀) > 0, то х₀ – точка (локального) минимума функции;

–   если n нечетно, в точке х₀ нет экстремума.

Конечно, в любой ситуации применяется наиболее удобный признак.

2. Случай функции двух переменных. Пусть функция двух переменных z = f(x; y) дифференцируема в некоторой окрестности точки М(х₀; у₀), дважды дифференцируема в самой точке М и при этом точка М – стационарная (критическая), т.е. полный дифференциал функции в этой точке равен нулю (что эквивалентно равенству нулю обеих частных производных функции, z'_x и z'_y, в этой точке).

Введем следующие обозначения: Тогда:

–   если АС – В² > 0, то функция имеет в точке М локальный экстремум, причем в случае А > 0 минимум, а при A < 0 – максимум;

–   если  АС – В² < 0, в точке М экстремума нет;

–   случай АС – В² = 0 требует дополнительного исследования.