матан коллоквиум / 12.Понятие экстренума.Определение максиимума,минимума,понятие критической точки,графическая иллюстрация критических точек

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике —максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Определения

Пусть дана функция  и  — внутренняя точка области определения  Тогда

•  называется точкой локального максимума функции  если существует проколотая окрестность  такая, что

•  называется точкой локального минимума функции  если существует проколотая окрестность  такая, что

Если неравенства выше строгие, то  называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

•  называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

•  называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции  называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Достаточные условия существования локальных экстремумов

• Пусть функция  непрерывна в  и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии

 является точкой строгого локального максимума. А если

то  является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке 

• Пусть функция  непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии

 и 

 является точкой локального максимума. А если

 и 

то  является точкой локального минимума.

• Пусть функция  дифференцируема  раз в точке  и , а .

Если  чётно и , то  - точка локального максимума. Если  чётно и , то  - точка локального минимума. Если  нечётно, то экстремума нет.

Максимум и минимум функции.

Приведем точные определения точек экстремума.  Определение. Точка x₀ называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀.  Это наглядно показано на рисунке 1:    рисунок 1  Определение. Точка x₀ называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀.  Это наглядно показано на рисунке 2:    рисунок 2  По определению значение функции f в точке x₀ является наибольшим среди значений функции в окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности x₀ имеет обычно либо вид гладкого холма, либо вид острого пика (рис. 1 а) и б) соответственно).  В окрестности точки минимума графики изображаются в виде загругленной или острой впадины (рис. 2 а) и б) соответственно).  Другие примеры поведения графиков функций в точках максимума и минимума приведены на рисунке ниже:    Слева направо: a - точка максимума; a - точка минимума; каждая точка из промежутка [-1; 0] является как точкой максимума, так и точкой минимума.  Для точек минимума и максимума функции есть общее определение - точки экстремума. Значение функции в этих точках соответственно назывется максимумом или минимумом этой функции. Общее название - экстремум функции. Точки максимума обычно обозначают x_max, а точки минимума - x_min.

Критической точкой дифференцируемой функции , где  — область в , называется точка, в которой все её частные производные обращаются в ноль. Это условие эквивалентно обращению в ноль дифференциала функции в данной точке, а также равносильно горизонтальности касательной гиперплоскости к графику функции. Это условие является необходимым (но не достаточным) для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума функции.