Нагорнов Вейвлет-анализ в примерах 2010

Рис. 2.29г. Вейвлет-анализ с помощью Mhat-преобразования различных колебательных функций: сумма двух гармоник, модулированных по амплитуде функцией Гаусса со смещением по фазе

На рис. 2.30 приведен пример вейвлет-анализа гармонического сигнала с одной характерной особенностью – его фаза изменена на 180о. Видно, что эта особенность чётко фиксируется на всех масштабах вейвлета и достаточно легко определяется даже в присутствии шумовых сигналов большой амплитуды.

Вейвлет-анализ на больших масштабах позволяет уверенно выделять характерные особенности тренда сигнала при наложении на него синусоидальных сигналов. Пример выделения изломов тренда приведен на рис. 2.31.

Рис. 2.30а. Фиксирование изменения фазы гармонического сигнала с изменением его фазы на 180°

61

Рис. 2.30б. Фиксирование изменения фазы гармонического сигнала с изменением его фазы на 180° в присутствии шумовых сигналов большой амплитуды

Рис. 2.31. Вейвлет-анализ суммы тренда (y1) и двух гармонических сигналов (y2 и y3)

На рис. 2.32 и 2.33 показан вейвлет-анализ модельного сигнала, образованного суммой четырёх сигналов разной структуры. Сигналы у1 и у2 представляют собой функции Гаусса разного масштабного уровня, сигнал у3 – прямоугольный импульс, сигнал у4 задан в виде тренда с постоянным значением дифференциала. На контурном графике вейвлет-коэффициентов видны все три основные структуры сигнала при полном исключении тренда. Особенно четко выделяются границы скачков прямоугольной структуры. Справа на рис. 2.32 приведена трехмерная картина вейвлет-преобразо- вания.

62

Рис. 2.32. Mhat -анализ суммы четырёх различных сигналов

Результаты вейвлет-анализа (вид спектральной поверхности) существенно зависят от выбранного семейства анализирующих вейвлетов, их частотной и масштабной степени локализации. На рис. 2.33 приведён пример вейвлет-анализа того же сигнала, что и на рис. 2.32, но семейством вейвлетов построенных на основе восьмой производной функции Гаусса. Следствием повышения степени локализации вейвлетов в частотной области является существенное повышение чувствительности вейвлета к высокочастотным составляющим сигнала на малых масштабных коэффициентах.

Рис. 2.33. Вейвлет-анализ суммы четырёх различных сигналов с помощью вейвлета, построенного по восьмой производной функции Гаусса

(см. рис. 2.16)

Свойства базисного вейвлета, такие как степень локализации, доминирующая частота, чётность или нечётность существенно влияют на вейвлет-спектры анализируемых сигналов и на возможности выделения его локальных особенностей. При вейвлетисследовании реальных сигналов для адекватной расшифровки их

63

Рис. 2.36. Вейвлет-спектры положительной и отрицательной функций Гаусса

Рис. 2.37. Вейвлет-спектры положительного П-импульса

При исследовании произвольных сигналов желательно использование разнотипных вейвлетов, это позволяет повысить достоверность выделения и их расшифровки локальных особенностей сигналов.

Вейвлет-преобразование может служить своеобразным «магическим стеклом», позволяя увидеть локальные кратковременные осо-

65

Рис. 2.40. Вейвлет-спектры фазового скачка синусоиды

Рис. 2.41. Вейвлет-спектры суммы двух модулированных синусоид

Рассмотрим синусоидальный сигнал, имеющий небольшое локальное искажение (рис. 2.42). Искажение сигнала выделено квадратом на графике. На спектрограмме сигнала эта особенность никак не отражается – видна только гармоническая составляющая. Однако на диаграмме коэффициентов детализации эта особенность выражена очень наглядно.

67

Рис. 2.42. Пример использования вейвлет-преобразования для поиска локальных искажений гармонического сигнала

Другой, ещё более эффектный пример – нарушение непрерывности второй производной сигнала. График (рис. 2.43) этой функции выглядит как гладкая кривая, но на самом деле состоит из двух экспоненциальных компонентов, соединяющихся в точке t = 500. Непрерывность нарушается только во второй производной, и этот момент также хорошо выделяется на графике вейвлет-разложения.

Рис. 2.43. Нахождение разрыва во второй производной

68