Набойченко Техника реакторного експеримента 2008
.pdfустановки или стенкой канала. Экраны и образец по длине настолько велики, что влиянием теплоотвода в торцы можно пренебречь.
Физические условия рассматривают образец, экраны и обечайку установки с теплопроводностью λ = const при расчете поля температуры внутри элемента, но λ = f (Т) при рассмотрении задачи в целом.
В образце, экранах и обечайке (стенке канала) действуют внутренние источники тепла qV, k, k +1 (Bт/см3).
Любой из экранов может быть нагревателем, и тогда его источники тепла можно выразить:
qV, k, k +1 = qV, k, k +1, p +qV, k, k +1, э ,
qV, k, k +1, p – внутренние источники тепла при действии радиации; qV, k, k +1, э = j2R – внутренние источники тепла при действии элек-
трического тока; j – плотность электрического тока (А/см2), ρ – удельное электросопротивление (Ом/cм).
Пространство между экранами может быть:
заполнено газом с коэффициентом теплопроводности λk −1, k ,
который постоянен при рассмотрении теплопередачи между экранами и зависит от температуры при рассмотрении общей задачи;
вакуумировано. Заданы:
интегральные степени черноты экранов; температура окружающей среда Tс и α.
Источники тепла между экранами отсутствуют qV,k −1, k = 0 .
Процесс передачи тепла осуществляется:
между экранами – излучением, теплопроводностью и конвекци-
ей;
в экранах – теплопроводностью; с внешней поверхности обечайки с коэффициентом тепло-
отдачи α.
Временные условия задают установившийся режим: dT / dτ = 0 .
71
Граничные условия |
|
1) Краевые: |
|
а) теплоотдача с внешней поверхности |
|
Qn = 2παRn (Tn −Tc ) , |
(6) |
где Qn – погонный тепловой поток с внешней поверхности обечай-
ки (стенки канала); |
Tn – температура обечайки; Tc |
– температура |
|||||||||||||||||
внешней среды; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) поле температуры симметрично относительно образца |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dT / d r |
|
r =0 =0 ; |
|
|
(7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2) поток тепла между экранами: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Q |
|
= 2π [ε |
k −1,k |
σ |
R |
(T 3 |
+T |
2 T + |
T 2 +T 3 )+ |
|
||||||||
|
k −1,k |
|
|
|
|
|
0 k −1 |
|
|
k −1 |
|
k −1 k |
k −1 k |
k |
(8) |
||||
|
+ nk λk −1,k / ln(Rk / Rk −1)](Tk −1 −Tk ) = hk −1,k (Tk −1 −Tk ), |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
где ε |
k −1,k |
=[1/ ε |
k −1 |
+(1/ ε |
k |
−1 |
−1)(R |
|
/ R )]−1 – приведенный коэф- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k −1 |
|
k |
|
|
|
фициент интегральной степени черноты.
Более подробно последние соотношения рассматривается в разделе 3.1;
3) поток тепла между газом и твердой стенкой определяется соотношением
Qk = −2πλk −1,k Rk −1dT / d r |
|
r =R(k −1) |
(9) |
|
|||
|
|||
Qk −1 =Qk −1,k =Qk , |
(10) |
так как источники тепла между экранами отсутствуют. Ход решения задачи сводится к следующему:
1. Геометрия задачи и известное распределение внутренних источников тепла позволяют определить потоки тепла Qk для каждо-
го значения rk , в том числе и для rn −Qn .
2. По значению Qn можно определить температуру поверхности обечайки и далее температуру поверхности Tn−1 , решив задачу теплопроводности.
72
3. Зная условия теплообмена между экранами и поток Qn , можно найти Tn−2 , а из решения задачи теплопроводности определить
Tn−3 и т.д.
4. Следует, однако, помнить, что полученные значения Ti будут
первыми приближениями, так как условия теплообмена между экранами зависят от Ti , и поэтому точное решение получают мето-
дом последовательных приближений.
Для решения задачи предварительно необходимо рассмотреть поле температуры в экране и образце.
Поле температуры в экране (см. рис. 3.7).
На поверхность цилиндрической стенки действует погонный поток тепла, стенка имеет постоянный коэффициент теплопроводности λk, k+1, в ней действуют внутренние источники тепла qv, k, k+1 и задана температура поверхности Tk+1.
Требуется определить поток тепла Qk+1, поле температуры на стенке, температуру и разность температур (Tk – Tk+1).
Задача стационарная, граничные условия:
|
|
Qk |
= −2πλk,k+1Rk (dT / d r |
|
r=Rk ) , |
|
|
|
|
|
(11) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
r =Rk +1 =Tk +1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Поле температуры описывается уравнением |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
d 2T / dr2 + (1/ r)(dT / dr) + q |
|
|
|
/ λ |
k,k +1 |
= 0 . |
|
(13) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v,k,k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение уравнения имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
T = −(r |
2 / 4)q |
|
|
|
/ λ |
k,k +1 |
+C ln r +C |
2 |
. |
|
|
|
(14) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
v,k,k +1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Используем граничные условия для определения постоянных. |
||||||||||||||||||||||||
Решение можно представить в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
T =T |
q |
|
/ 2λ |
|
|
|
[(R2 |
|
− r2 ) / 2 − R |
2 ln(R |
|
|
/ r)] + |
|
||||||||||
|
k +1 v,k,k +1 |
|
|
k,k +1 k +1 |
|
|
|
|
k |
k +1 |
|
|
(15) |
|||||||||||
|
|
|
+ (Qk / 2πλk,k +1)ln(Rk +1 / r), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
T −T |
= (q |
v,k,k +1 |
/ 2λ |
k,k +1 |
)[(R2 |
|
− R2 ) / 2 − R2 ln(R |
|
|
/ R )] + |
|
|||||||||||||
k k +1 |
|
|
|
|
|
k +1 |
|
k |
|
|
|
k |
|
k +1 |
|
|
k |
(16) |
||||||
|
|
+ (Qk / 2πλk,k +1)ln(Rk +1 / Rk ), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
= −2πλ |
R |
dT / d r |
|
= πq |
(R2 |
− R2 ) +Q , (17) |
|
|
||||||||
k +1 |
|
k,k +1 k |
+1 |
r=Rk +1 |
v,k,k +1 |
k +1 |
k |
k |
|
|
Tk |
−Tk +1 = Av,k,k +1 + Ak,k +1 . |
|
|
(18) |
Поле температуры в образце (см. рис. 3.7).
На поверхности цилиндра с коэффициентом теплопроводности λ0,1 задана температура T1 , внутри цилиндра действуют внут-
ренние источники тепла qv01 , в центре цилиндра температура имеет экстремум.
Граничные условия: |
|
|
||||
dT / d r |
|
r=0 , |
|
(19) |
||
|
|
|||||
|
|
|||||
T |
|
r=R1 =T1 . |
|
(20) |
||
|
|
|||||
|
|
|||||
Поле температуры описывается уравнениями (13) и (14). |
||||||
Из (19) C1 = 0, тогда из (20) определяем |
|
|||||
С =T + q R2 / 4λ |
0,1 |
. |
||||
2 1 v,0,1 1 |
|
Поле температуры в цилиндре (образце) имеет вид
|
T =T + q |
(R2 |
− r2 ) / 4λ |
k,k +1 |
. |
|
|
||||
|
1 |
|
v,0,1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Поток тепла с поверхности цилиндра |
|
|
|
|
|
||||||
Q = −2πλ |
R dt / dr |
|
r=R1 |
= πq R2 |
= πq |
|
(R2 |
− R2 ) , |
|||
|
|
||||||||||
k |
0,1 1 |
|
|
v,0,1 1 |
|
v,0,1 |
1 |
0 |
где R0 = 0 .
Определяем потоки тепла, пользуясь результатами задач, рассмотренных выше:
n
Q = ∑πq + (R2+ − R2 ) при R = 0.
n v,k,k 1 k 1 k 0 k =0
Используя краевое условие (6), имеем:
Еn −Tc = Qn / 2παRn .
Определяем перепады температуры:
•на оболочке
Tn−1 −Tn = Av,n−1,n + An−1,n ,
•в газовой прослойке
Tn −Tc = Qn−2,n−1 / hn−2,n−1 ,
74
• на k-м экране
Tk −Tk +1 = Av,k,k +1 + Ak,k +1 ,
•в k – 1 прослойке
Tk −1 −Tk = Qk −1,k / hk −1,k ,
•в экране с радиусами R2 и R3
T2 −T3 = Av,2,3 + A2,3 ,
•в прослойке с радиусами R2 и R3
T1 −T2 = Q1,2 / h1,2 ,
•в образце
T0 −T1 = qv,0,1R12 / 4λ0,1 .
Последовательное суммирование вышеприведенных разностей дает возможность определить поле температуры по радиусу облучательного устройства.
3.5.Расчет поля температуры облучаемого образца методом конечных элементов
Исследование свойств материалов в реакторном эксперименте осложняется наличием интенсивных тепловыделений в испытуемом образце. Следствием этого являются градиенты температуры по объему образца и появление термонапряжений, которые в ряде случаев могут приводить к растрескиванию образца. Существенными могут оказаться явления, обусловленные наличием градиента плотности тепловыделения в материале.
В целом, требования к оценке поведения образца в реакторном эксперименте должны быть более строгими, расчеты температурных полей более подробными и точными.
Для расчета температурных полей в образце реакторной установки целесообразно воспользоваться методом конечных элементов.
75
3.5.1. Постановка задачи
1.Геометрические условия задают цилиндрической осе симметричный образец.
2.Физические условия задают распределение источников тепловыделения в образце и коэффициент теплопроводности, зависящий от температуры.
3.Временные условия рассматривают стационарную задачу:
dT / dτ = 0 . |
(21) |
4. Граничные условия.
На торцевых поверхностях образца предлагается использовать два варианта граничных условий:
условия первого рода
|
|
|
|
T |
|
z=0, 0≤r≤R =T (0,r) , |
(22) |
||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|
T |
|
z=H , 0≤r≤R =T (H ,r) , |
(23) |
||||
|
|||||||||
|
|||||||||
условия третьего рода |
|
||||||||
−λdT / d r |
|
z=0, 0≤r≤R = α(0,r)[T (0,r) −Tc0 ] , |
(24) |
||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
−λdT / d r |
|
z=H , 0≤r≤R = α(H ,r)[T (H ,r) −TcH ] . |
(25) |
||||||
|
|||||||||
|
На внешней боковой поверхности цилиндрического образца задаются граничные условия третьего рода:
Q = 2πRα(z,r)[T (z,r) −Tcr ] . |
(26) |
3.5.2. Решение задачи методом конечных элементов
Определение стационарных двумерных полей температуры основано на простейшем варианте метода конечных элементов. Ищется решение стационарного уравнения теплопроводности
div[λ(T )grad T (r)] + qv (r) = 0 , |
(27) |
где T (r) – температура образца; λ(T ) – коэффициент теплопроводности в общем случае, зависящий от температуры; qv (r) –
плотность внутренних источников тепла может быть функцией координат.
76
Граничные условия, как уже отмечалось, задают либо температуру, либо тепловой поток. В соответствии с методом конечных элементов и с учетом симметрии задачи цилиндрический образец разбивается на N кольцевых элементов и М элементов по высоте.
Возьмем толщину кольцевых элементов постоянной. Затем для каждого элемента составляется уравнение теплового баланса, при этом предполагается, что величины λ и qv постоянны для данного
элемента.
В рассматриваемом случае уравнения теплового баланса элементов принимают вид
N (i) |
|
∑ γ(i, j)[T (i) −T ( j)]+qv (i)S(i) +QL (i) = 0 , |
(28) |
j=1
где S(i) – площадь получаемого при таком разбиении элемента; Т(i) – температура элемента; qv(i) – плотность внутренних источников тепла; QL(i) – поток тепла в элемент из внешней среды; γ(i, j) – коэффициент, характеризующий перенос тепла между соседними i-м и j-м элементами; N(i) – число элементов, обменивающихся теплом с элементом, равны четырем во внутренней области и трем для элементов, лежащих на границе области.
При составлении системы уравнений (28) предполагалось, что потоки тепла Q между соседними элементами пропорциональны разности температур в этих элементах:
Q = γ(i, j)[T (i) −T ( j)]. |
(29) |
Выражение, определяющее γ(i, j), может быть получено при рассмотрении соотношения для потока тепла между i-м и j-м элементами в радиальном направлении:
Q = λLoj grad T |
|
ij , |
(30) |
|
|||
|
где λ – коэффициент теплопроводности материала; L – протяженность границы между элементами; grad T|ij – градиент температуры на границе между i-м и j-м элементами.
В случае, когда рассматриваемые элементы имеют достаточно малые размеры, температурный градиент в радиальном направле-
77
нии можно линейным образом аппроксимировать разностью температур элементов T(i) и Т(j):
Q =[T (i) −T ( j)]Lij /[( ri / 2λi ) +( ri / 2λi )], |
(31) |
где Lij – протяженность границы между i-ым и j-ым элементами;
∆ri, ∆rj – линейные размеры i-ого и j-ого элементов; λi , λj – коэффициенты теплопроводности i-ого и j-ого элементов.
Сравнивая (29), (30) и (31), находим выражение для γ(i, j) в радиальном направлении:
γ |
r |
(i, j) = L [( |
r / 2λ |
) +( |
r / 2λ |
)]−1. |
(32) |
||
|
ij |
i |
i |
|
i |
i |
|
|
Аналогичным образом получим выражения для теплового потока в аксиальном направлении:
Q =[T (i) −T ( j)]Lij |
|
/[( |
zi / 2λi ) +( |
zi / 2λi )], |
(33) |
|||||||
и соответственно для γz (i, j) |
в аксиальном направлении |
|
||||||||||
γ |
z |
(i, j) = L ( z |
i |
/ 2λ |
) +( |
z |
i |
/ 2λ |
)]−1, |
(34) |
||
|
ij |
|
i |
|
|
|
i |
|
|
где zi и z j – высоты i-ого и j-ого элементов.
Необходимо отметить, что при выводе соотношения (33) и (34) использовалось условие ортогональности потоков тепла и границ между элементами. Данное условие выполняется для рассматриваемой задачи вследствие симметрии при принятом разбиении на элементы.
Для элементов на боковой поверхности при граничном условии третьего рода имеем
γ |
r |
(i,c) = L ( |
r / 2λ |
) +(1/ α |
c |
)]−1 |
, |
(35) |
||
|
ic |
i |
i |
|
|
|
|
|
||
a при граничном условии первого рода |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
γr (i,c) = Lic 2λi / |
ri , |
|
|
|
(36) |
|||
где αc – коэффициент теплоотдачи; Lic |
– протяженность границы |
элемента cо средой.
Система уравнений (28) может быть представлена в матричной форме:
78
Рис. 3.8. Блок-схема программы для определения поля температуры в образце
79
[B]{T} = {Qv}+{QL} ,
где [В] – пятидиагональная симметричная матрица, определяющая взаимодействие элементов между собой; {T} – вектор температуры элементов; {Qv} – вектор источников тепла; {QL} – вектор пото-
ков тепла c границ цилиндрического образца.
Матрица [В] является квадратной пятидиагональной матрицей размера (М*N).
В соответствии с переходом от (28) к (37) элементы матрицы [B] определяются следующим образом. Элементы, лежащие на неглавных диагоналях, определяются согласно (32) и (34). Элементы, лежащие на главной диагонали, определяются как сумма элементов неглавных диагоналей, взятых с обратным знаком и лежащих на одной cтроке, минус член, определяющий тепловое взаимодействие c внешней средой, в случае, когда элемент лежит на внешней поверхности.
Для определения вектора температуры элементов получим решение в виде
{T} = ({Qv}+{QL})[B]−1.
3.5.3. Основные этапы проведения расчетов на ЭВМ
Пpoгpaмма определения двухмерных полей температуры реализует следующую последовательность действий (рис. 3.8).
В вводной части программы задается зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, начальное приближение для λ , рассчитываются матрица [В], {Qv} и {QL}. Далее для реализа-
ции треугольного разложения cимметричной матрицы [В] применяется подпрограмма "CHODET". Подпрограмма "SHOSOL" по известному вектору правой части уравнения (37) определяет вектор температуры.
После получения поля температуры происходит его дальнейшее уточнение итерациями с учетом зависимости коэффициента теплопроводности образца от температуры. Укрупненная блоксхема программы определения вектора температуры для цилиндрических образцов представлена на рис. 3.8.
80