Корсун Гидродинамика ЯЕУ Сборник задач и упражнений 2008

Корсун Гидродинамика ЯЕУ Сборник задач и упражнений 2008

ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ

Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

.pdf

Скачиваний:

1063

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Вдоль поверхности клина скорость изменяется как ur = cnrn−1 . Случай n = 2 соответствует

набеганию потока жидкости на плоскую стенку

(рис. О6).

ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ	Рис. О6

ВТРУБАХ И КАНАЛАХ

2.1.Начало сферической системы координат поместим в центр шара. Примем, что обтекание шара происходит в направлении оси

ϑ= 0. Тогда поле скоростей будет осесимметричным, отличны от

нуля две компонент скорости ur(r, ϑ) и uϑ(r, ϑ). Уравнения движения в сферической системе координат (2.15) – (2.18) для стационарного вязкостного течения принимают вид

∂u

uϑ ctgϑ

= 0

∂ϑ

∂r

1 ∂p

∂2u

∂u

−

1 ∂2u

μ ∂r

∂r2

∂r

r2 ∂ϑ2

+ ctgϑ ∂ur

−

∂uϑ −

2ctgϑ

uϑ ,

r2 ∂ϑ

1 ∂p

∂2uϑ

2 ∂uϑ

∂2uϑ

μ r ∂ϑ

∂r2

∂r

∂ϑ2

(2.1.1)

(2.1.2)

+ ctgϑ ∂uϑ +	2	∂ur	−	uϑ		,	(2.1.3)
				r2 sin2	ϑ
r2 ∂ϑ	r2 ∂ϑ

Граничными условиями будут условия прилипания на поверх-

ности шара
ur (r = r0 , ϑ) = 0 , uϑ(r = r0 , ϑ) = 0 ,	(2.1.4)

и условия не возмущенности потока вдали от шара, т.е. для произвольного угла ϑ, должны быть

ur (r → ∞, ϑ) = u0 cos ϑ, uϑ(r → ∞,	ϑ) = −u0 sin ϑ,
p(r → ∞, ϑ) = p∞ .	(2.1.5)

Из соображений размерности и вида граничных условий (2.1.5) решение для поля скоростей и давления будем искать в виде

ur = f (R) cos ϑ,		uϑ = −g(R) sin ϑ,
u0	r0	u0
( p − p∞ )	r0	= h(R) cos ϑ,	(2.1.6)
( p − p∞ )		= h(R) cos ϑ,	(2.1.6)
	μ u0

где R – безразмерный радиус, R = rr0 .

Подставляя (2.1.6) в уравнения (2.1.1) – (2.1.3) получим систему

обыкновенных уравнений для определения функций f , g,

f ′+

( f

− g) = 0 ,

(2.1.7)

h′ = f ′′ +

f ′

−

( f

− g) ,

(2.1.8)

= g′′ +

g′

( f

− g) .

(2.1.9)

Исключая из системы (2.1.7) –

(2.1.9) функции g(R)

и h(R) ,

для определения f (R) получим уравнение типа Эйлера

R3 f ′′′′ + 8R2 f ′′′ + 8Rf ′′ −8 f ′ = 0 ,

(2. 1.10)

решение которого можно искать в виде

f = Rn .

(2.1.11)

Подставляя (2.1.11) в (2.1.10), получим уравнение для определе-

ния показателей степени	n , из которого находим						n1 = 0, n2 = 2,
n3 = −1, n4 = −3 , то есть общее решение уравнения							(2.1.10) имеет
вид
f (R) = C + C		2	R2 + C	R−1 + C	4	R−3 .	(2.1.12)
1		2	3		4
Функции g(R) и h(R)	явно выражаются через						f (R) . Констан-

ты интегрирования определяются из условий на поверхности и вдали от шара (2.1.4) и (2.1.5). Для поля скоростей и давления окончательно имеем

3 r

1 r3

ur (r, ϑ) = u0 (1−

) cos ϑ,

(2.1.13)

2 r

2 r3

3 r

1 r3

uϑ(r, ϑ) = −u0

(1 −

−

) sin ϑ,

(2.1.14)

4 r3

p(r, ϑ) − p

∞

= −

μ u

cos ϑ.

(2.1.15)

0 r2

Результирующая сила, действующая на шар со стороны потока жидкости, определяется интегралом

∂uϑ

sinϑ) 2π r02 sinϑ dϑ.

Fлс = ∫(−p(r = r0 ,ϑ)cosϑ−μ

(2.1.16)

∂r

r=r

Вычисления дают

Fлс

= 6πμ u0r0 ,

(2.1.17)

а коэффициент лобового сопротивления (2.28)

СD

= 24 ,

Re =

u0d

(2.1.18)

2.2.

(ρ

− ρ

)gd 2

u =

при

вязкостном режиме оседания и

18μв

ρж

4gd

u =

−

при

Re ≥ 4,0 . Коэффициент сопротивления

3CD (Re)

CD (Re)

представлен на рис. 2.2. Скорости капель 3 мм/с, 27 мм/с,

0,3 м/с, 1,64 м/с. Скорости градин 8,66 м/с, 12,2 м/с.

2.3.1,23 м/с.

2.4.0,86 Па·с.

2.5.Вычисления провести в соответствии с данными решателя.

2.6.0,325 м/с

2.7.δ =32 мм.

2.8.Fтр =0,84 Н.

δ		ux (x, y)
2.9. δ (x) = ∫(1 − ux (x, y) )dy . При		ux (x, y)	= 2Y − 2Y 3 +Y 4 ,
2.9. δ (x) = ∫(1 − ux (x, y) )dy . При			= 2Y − 2Y 3 +Y 4 ,
0	u0	u0
	83

Y =	y	, δ(x) = 5,83	ν x найдем δ (х) =1,75	ν x .
	δ(x)
			u0	u0

2.10. Из-за уменьшения скорости в пограничном слое на пластинах скорость в потоке между пластинами за пределами пограничных слоев возрастает и в соответствии с уравнением Бернулли (за пределами пограничного слоя поток можно считать невязким) давление уменьшается, чем обусловлен прижимающий эффект между пластинами.

Изменение параметров внешнего потока, обусловленное влиянием пограничного слоя, можно приближенно учесть, рассматривая обтекание потоком невязкой жидкости тела с дополнительной «накладкой» на поверхность с толщиной, равной толщине вытес-

нения пограничного слоя δ (x) .

Уточненная скорость на границе пограничных слоев внутри канала будет

u0 (x) = u∞		h0		,	(2.10.1)
	h	− 2δ	(x)
0

а давление вдоль канала изменяется по закону

p(x) = p∞ +	ρu	2	−	ρu2	(x)	.	(2.10.2)
	∞			0
	2			2

На внешних сторонах пластин пограничный слой на параметры обтекания ввиду неограниченности потока не влияет. В частности давление там остается постоянным и равным давлению в набегающем потоке p∞ .

Прижимающее усилие определяется соотношением

l	2	l	2	(2x) −1) dx . (2.10.3)
F = ∫( p∞ − p(x)) b dx =	ρu∞ b∫(u0			(2x) −1) dx . (2.10.3)
0	2	0	u∞

Толщина вытеснения определена в задаче 2.9 как

δ (х) =1,75	ν x .	(2.10.4)
	u0

Для заданных условий обтекания максимальное значение толщины вытеснения составляет δ (l) =1,1 мм. Это мало по сравнению

с расстоянием между пластинами и вычисление интеграла можно упростить

u02 (x)

−1 =

(1 −

2δ (x)

)−2

−1

≈

4δ (x)

4δ (l)

(

)0,5

∞

F =

ρu∞2

4δ (l) 1

0,5

dX =11,7H .

(2.10.5)

b l

∫ X

2.11.9,56 Н.

2.12.Скорость обтекания трубок u0 = 1003,61,2 = 33,3 м/с. Число

Рейнольдса			Re = u0d = 33,3 0,012				= 2,66 104		. Согласно	рис. 2.2
			ν		15 10−6
коэффициент			сопротивления CD =1,2					и	сила сопротивления
F = C	ρu	2	d l =1,2	1,2 33,32
F = C	D 2	0	d l =1,2		2	0,012 13 =124,6 Н. Работа двигателя
лс	D 2				2
против	дополнительной					силы	трения	в	единицу	времени

M = Fлс u0 = 4148 Вт. Этой работе соответствует дополнительный

расход топлива G =	M	=	4148	= 3,14 10−4 кг/с, что в пере-
	η r		44 106
		0,3

счете на 100 км пробега (скорость 100 км/ч) дает 1,13 кг или 1,55 л бензина.

2.13. Полагаем δ(x) = 5,83	ν x		, где х – расстояние от лобовой
	u0 (x)
точки цилиндра вдоль периметра,		u0 (x) – скорость на границе по-

граничного слоя, относительно которой принимаем, что она совпадает со скоростью на поверхности цилиндра при обтекании его потоком невязкой жидкости. Тогда u0 (x) = 2u∞ sin ϕ ≡ 2u∞ sin( xr0 ) . В

лобовой точке при x = 0	скорость u0 (x)		= 0. Раскрывая неопреде-
ленность отношения для	толщины пограничного слоя в лобовой
точке, находим
δ(x = 0) = 5,83	ν r0 2u∞ или		δ r0 = 5,83 Red .
Вычисления при d ≡ 2r =10 мм и Re		d	=104 дают δ = 0,29 мм.
	0	d
	85

2.14. Скорость изменяется линейно uz = u0 hy , касательное на-

пряжение постоянно Pyz = μu0 h .

2.15.uz ( y) = u0 hy − 21μ ∂∂pz y(h − y), Pyz = μ uh0 − 12 ∂∂pz (h − 2y) .

2.16.Течение плоскостное, безнапорное в пространстве y ≥ 0. Отлична от нуля одна компонента скорости uz ( y,τ) . Уравнение

для uz ( y, τ) :	∂u	z	= ν	∂2u	z	. Начальное и граничное условия
	∂τ			∂y2
						uz ( y, τ = 0) = 0 ,	(2.16.2)
				uz ( y = 0, τ > 0) = u0 .			(2.16.3)

Из уравнения (2.16.1) и условий однозначности (2.16.2) и (2.16.3) следует, что скорость uz является функцией четырех раз-

мерных величин
uz = f ( y, τ, ν, u0 ) .	(2.16.4)

Приведение (2.16.4) к безразмерному виду (см. раздел 3 задачника) показывает, что безразмерная скорость является функцией

одного безразмерного комплекса uz u0 = f1 ( y2 ντ) , и задача

(2.16.1) может быть сведена к уравнению в полных производных. Введем новые переменные

U =	uz		,	ξ =			y	.	(2.16.5)
U =			,	ξ =				.	(2.16.5)
	u0					2	τ τ
В новых переменных уравнение (2.16.1) принимает вид
U ′′+ 2ξU ′ = 0									(2.16.6)
с граничными условиями вместо (2.16.2) и (2.16.3)
U (ξ = 0) =1,						U (ξ → ∞) = 0 .			(2.16.7)
Уравнение (2.16.6) просто интегрируется
	ξ			−ξ	2
		∫e		−ξ	2	dξ + C2
U (ξ) = C1		∫e				dξ + C2
		0
		86

и после определения с помощью (2.16.7) констант интегрирования окончательно получим

uz ( y, τ)	=1 − erf (	y
u0	=1 − erf (	2 ν τ ) ,		(2.16.8)
			2	x
где через erf (x) обозначена функция erf (x) =			2	∫e−x2 dx .
			π
				0

2.17. Течение плоскостное, безнапорное в пространстве y ≥ 0 .

Отлична от нуля одна компонента скорости					uz ( y, τ) . Уравнение
для uz ( y, τ) :
∂u	z	= ν	∂2u	z .	(2.17.1)
∂τ			∂y2
Граничное условие
uz ( y = 0, τ) = u0 cos ωτ .					(2.17.2)

Независящее от начального условия движение в полупространстве установится через некоторое время после начала процесса и будет периодическим с частотой ω во всех точках пространства. Амплитуда колебаний и сдвиг по фазе относительно движения поверхности y = 0 будут зависеть от расстояния от поверхности.

Решение задачи удобно искать в виде реальной части комплексного выражения U ( y, τ) = f ( y) eiωτ .

Решением является

( y, τ) = u

−

ωτ −

(2.17.3)

exp

cos

y .

2ν

2.18. Течение в направлении вдоль оси цилиндра отсутствует uz = 0 , различные сечения вдоль z неотличимы ( ∂∂z = 0 ) , течение

осесимметричное ( ∂∂ϕ = 0 ). При этих условиях из уравнения нераз-

рывности, записанного в цилиндрической системе координат (2.11) следует, что ur = 0 .

Уравнения движения (2.12), (2.13) упрощаются к виду

−	uϕ2	= −		1	∂p		,
	r			ρ ∂r

1 ∂		r	∂uϕ		−	uϕ		= 0 .

r ∂r			∂r			r 2

uϕ(r = r0 ) = ω r0 ,

p(r → ∞) = p0 .

Найденное распределение скоростей и давлений:

(r) = u

при

r ≥ r

p(r) = p

−ρu

+ ρ

u02

при r ≤ r

ρu

p(r) = p

−

при

r ≥ r .

В (2.18.3) – (2.18.6) обозначено u0 = ω r0 .

(2.18.1)

(2.18.2)

(2.18.3)

(2.18.4)

(2.18.5)

(2.18.6)

Если до начала вращения цилиндра жидкость покоилась, то для реализации профиля (2.18.4) жидкости необходимо сообщить энергию (на единицу длины по оси z ) равную

∞ ρuϕ2		(r)				∞ ρu		2	r2
Q = ∫				2πrdr = ∫				0	0	2πrdr =
Q = ∫	2			2πrdr = ∫			2	0	2	2πrdr =
r0	2					r0	2		r
r0						r0
			ρu2		πr2	ln r	∞ = ∞ .			(2.18.7)
			ρu2		πr2	ln r	∞ = ∞ .			(2.18.7)
				0	0		r0
				0	0		r0

Равенство энергии бесконечности означает, что профиль (2.18.4) не достижим. В нестационарном процессе после начала вращения цилиндра профиль скорости во внешней части при r ≥ r0 с течени-

ем времени будет приближаться к (2.18.4), но никогда его не достигнет.

ω r2

− r

2.19. Распределение

скорости

(r) =

, напря-

− r

жение трения на внутреннем цилиндре

d uϕ

ω r22

Prϕ

= μ

= −2μ r2

− r

2 .

r dr r

r =r

Момент сил приложенный к внутреннему цилиндру

ω r2r2

M = −P

(r ) 2π

r2l =

4μ

lπ

2 1

rϕ

r2 − r2

2.20. Слоистое безнапорное течение uz (r),

= uϕ

= 0 ,

∂p = 0 .

Распределение скорости:

∂z

(r) = u

ln(r r1)

при движении внешнего цилиндра,

0 ln(r

r )

uz (r) = u0

ln(r2 r )

при движении внутреннего цилиндра.

ln(r

r )

Усилия, прилагаемые к цилиндрам, в обоих случаях одинаковы.

ph2

2.21. u

( y) =1,5u

−

3μ l

тр

2.22. Схема кольцевой трубы показана на рис.О7.

Рис. О7

Уравнение (2.31) в цилиндрической систем координат имеет

вид:
1 d	(r duz ) = −	p	.	(2.22.1)

r dr
r dr	dr	μ l
	89

Его решением при граничных условиях uz (r = r1 ) = 0, uz (r = r2 ) = 0 будет

(r) =

(r2

− r2 )

ln(r r1)

− r2 + r2

(2.22.2)

4μ l

ln(r

r )

Средняя скорость чрез канал определяется соотношением

u0 =

∫2 uz (r)2rdr .

(2.22.3)

− r2

Выполняя интегрирование, для средней скорости находим

p r2

θ2 −1

+ θ2

−

(2.22.4)

8μ l

ln θ

где через θ обозначен

параметр кривизны

кольцевого слоя

θ = r2 r1 . Соотношение (2.22.4) определяет связь перепада давления в канале p со средней скоростью u0 . Его можно переписать в

виде формулы Дарси (2.32) и определить коэффициент гидравлического сопротивления кольцевой трубы

λтр =

A(θ)

A(θ) =

64 (θ −1)2

(2.22.5)

+ θ

−

θ2 −1

ln θ

2.23. Поперечное сечение трубы и принятая система координат

показаны на рис. О8.
Решение для поля скорости будем искать в виде
uz (x, y) = Bω(x, y) ,		(2.23.1)
где функция	ω(x, y) =1 −	x2	−	y2
где функция	ω(x, y) =1 −	a2	−	b2
		a2		b2

положительна внутри эллипса с полуосями a и b и принимает нулевое значение на поверхности эллипса, то есть (2.23.1) удовле-

Рис. О8 творяет граничным условиям для поля скорости.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.20131.25 Mб23Коновалов Учебно-методическое пособие по курсу 2007.pdf
#
16.08.20132.04 Mб27Коровкина Лабораторный практикум по курсу Прогнозирование 2011.pdf
#
16.08.20131.41 Mб129Короткова Електротехника и електроника Основы микроелектроники 2010.pdf
#
16.08.20131.53 Mб215Короткова Математическая теория автоматов 2008.pdf
#
16.08.20131.45 Mб28Корсаков Начертание нового способа исследования 2009.pdf
#
16.08.20131.59 Mб1063Корсун Гидродинамика ЯЕУ Сборник задач и упражнений 2008.pdf
#
16.08.20138.77 Mб223Костерев Надежност технических систем 2008.pdf
#
16.08.20131.45 Mб255Крамер-Агеев Безопасност жизнидеятелности 2011.pdf
#
16.08.20131.01 Mб436Крамер-Агеев Инструменталные методы радиационной безопасности 2011.pdf
#
16.08.20139.31 Mб487Крючков Основы учёта,контроля 2007.pdf
#
16.08.20132.37 Mб211Крючков Технические аспекты ядерного нераспространения 2010.pdf

при r ≤ r ,