Корсун Гидродинамика ЯЕУ Сборник задач и упражнений 2008

положной стороне поверхности Σ этот цилиндр вырежет некоторую площадку dσ′ с нормалью n′. Проекции на ось 0z сил, действующих на площадки dσ и dσ′, будут равны

щадь поперечного сечения проведенного цилиндра, и что давление

Таким образом, на тело произвольной формы, погруженное в жидкость, кроме силы тяжести, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости. Это положение было установлено Архимедом.

1.10. В выбранной системе координат (рис. О3) давление в жидкости изменяется по закону

dSx = 2r02 sin2 θdθ,

Результирующие значения сил находятся интегрированием по поверхности полусферы. Постоянная составляющая в p(z) , равная

внешнему давлению p0 , при вычислениях может быть опущена,

так как она не дает вклада в вертикальную составляющую силы, а вклад в горизонтальную составляющую компенсируется силой от внешнего давления, действующей на правую половину шара. Тогда

При вычислении вертикальной составляющей силы учтено, что на шар действует объемная сила, равная − gmт .

Шар вращаться не будет, так как поверхностные силы, действующие на любой элемент поверхности шара, направлены вдоль радиуса к центру шара. Результирующая объемных сил также приложена к центру шара.

1.11. В случае потери закрепления шар будет вытолкнут в горизонтальном направлении при условии равенства нулю горизонтальной составляющей результирующей силы, т.е. согласно (1.10.4)

при массе шара mТ = 23 π r03ρж .

1.12. В сферической системе координат уравнения движения невязкой жидкости (1.1) и (1.2) имеют вид:

∂∂ρτ + r12 ∂∂r (ρ r 2ur ) + r sin1 θ ∂∂ϕ (ρ uϕ) +

Подставляя выражение для поля скорости (1.12.9) в (1.12.6) получим уравнение для определения давления, после интегрирования которого по радиусу в пределах от текущего r до бесконечности с учетом граничного условия (1.12.8) для распределения давления найдем

Из (1.12.10) следует, что давление на поверхности расширяющейся сферы равно

1.13. Система уравнений движения жидкости, окружающей газовую полость, идентична рассмотренной в задаче 1.12. Справедлив и результат, полученный в 1.12, о зависимости давления на поверхности сферы (т.е. давления в газовой полости) от радиуса полости R(τ) (см. (1.12.11)). Обозначив через pг(τ) давление в газо-

Подставляя выражение для pг(τ) в (1.13.1) и переходя от вре-

уравнение для скорости на поверхности полости в зависимости от радиуса полости

74

Константу интегрирования найдем, полагая, что в начальный момент R = r0 , а скорость u = 0 . Тогда

Полученное соотношение позволяет проанализировать поведение полости во времени. В начальный момент времени давление в

полости больше давления жидкости p0 , и полость будет расширяться. Первое слагаемое в (1.13.5) положительное и с ростом R(τ)

стремится к нулю, второе слагаемое отрицательно и при увеличении R(τ) стремиться к постоянному значению. Так как их сумма

должна все время оставаться положительной ( u2 ≥ 0 ), то размер полости R(τ) не может увеличиваться неограниченно. Существует

предельный размер полости Rmax , при котором рост полости прекращается, т.е. u2 становится равным нулю. Rmax является корнем (1.13.5) при u2 = 0 и определяется трансцендентным уравнением

В целом согласно (1.13.5) процесс представляется следующим образом. При расширении полости скорость ее роста u(τ) увеличи-

вается, достигает максимального значения и затем уменьшается. Рост полости прекращается, когда ее размер достигнет Rmax . К

этому моменту за счет сил инерции жидкости давление в полости станет меньше p0 , и после остановки полость начнет уменьшаться,

75

при этом u(τ) ≤ 0 . Согласно (1.13.5) сжатие полости будет продолжаться до тех пор, пока радиус полости не достигнет начального значения r0 , так как u2 (R = r0 ) = 0 . Затем полость снова начнет

расширяться. Ввиду отсутствия каких либо диссипативных процессов периодическое расширение и сжатие полости будет происходить неограниченно долго.

Максимальный размер, до которого расширяется полость, опре-

ревом потоке невязкой жидкости, обтекающем цилиндр, имеет вид

Его необходимо решить при условии непроницаемости поверхности цилиндра

и равенства скорости вдали от цилиндра скорости набегающего потока u0

Компоненты скорости при этом равны

76

Распределения давления в потоке определяется из уравнения

Результирующая сила, действующая на цилиндр, равна нулю. 1.15. Разлагая вектор скорости на компоненты, и используя оп-

ра nr на оси координат, α, β, γ – направляющие углы вектора n . Из первого соотношения в (1.15.1) ϕ = u0 xnx + C1 ( y, z) , из второго следует, что C1( y, z) = u0 yny + C2 (z) , из третьего находим

1.16.ϕ(x, y) = u0 (xnx + yny + C1) , Ψ(x, y) = u0 ( ynx − xny + C2 ) .

1.17.При истечении жидкости из точки в окружающее пространство линии тока имеют вид лучей исходящих из этой точки, как показано на рис. О4.

При мощности источника Q радиальная

компонента скорости во всех точках поверхности сферы произвольного радиуса с центром в источнике равна

1.20.ϕ = ax , Ψ = ay , ux = a , uy = 0 .

1.21.Представив в выражении для комплексного потенциала

z = r exp(iθ) ≡ r(cos θ + i sin θ) , и имея в виду, что Φ = ϕ + iΨ , для потенциала и функции тока в цилиндрических координатах найдем

Из (1.21.1) и (1.21.2) следует, что цилиндрическая поверхность

везде постоянна и равна u∞ . Таким образом, мы имеем случай обтекания цилиндра радиусом r0 потоком со скоростью u∞ .

79

сти и функции тока в цилиндрической системе координат получим

Согласно (1.22.1) линия тока, соответствующая значению Ψ = 0 , совпадает с направлениями осей θ = 0 и θ = ±πn (рис. О5).

Рис. О5

Вдоль этих линий тока нормальная к ним компонента скорости uθ равна нулю, а радиальная изменяется по закону ur = cnrn−1

Если изменить знак в выражении для комплексного потенциала, то направление движения вдоль линий тока изменится на противо-

положное, т.е. комплексный потенциал Φ(z) = −czn описывает обтекание потоком жидкости клина с углом раствора θк = 2π(1 −1n) , так как n ≥ 0 скорость в лобовой точке клина ( r = 0 ) равна нулю.

80