Коновалов Учебно-методическое пособие по курсу 2007

3

приложенных напряжений, возникающих в поле силы тяжести. В отличие от вязкой жидкости не удается удовлетворительно описать непрерывную деформацию льда в рамках линейного соотношения между компонентами тензоров скоростей деформаций и девиатора напряжений. Компоненты этих тензоров связаны нелинейным соотношением – реологическим законом Глена, – в котором учитывается зависимость вязкости от скорости деформации [16].

Изменения ледниковой массы в ледниковых покровах могут быть спрогнозированы, опираясь на математические модели течения льда, в основе которых лежат уравнения, описывающие движение сплошной среды, и закон Глена. Эти уравнения включают в себя уравнение непрерывности для несжимаемой среды, уравнения движения сплошной среды, уравнение переноса тепла и уравнение баланса массы льда в ледниковом покрове.

Уравнения движения сплошной среды с учетом малости скорости течения льда, фактически, заменяются уравнениями механического равновесия твердого тела в поле силы тяжести, которые вместе с уравнением непрерывности и законом Глена определяют скорости течения льда на данный момент времени – система диагностических уравнений. Изменения области ледникового покрова со временем определяются решением уравнения баланса массы. Таким образом, решение задачи об эволюции ледникового покрова заключается в последовательном решении системы диагностических уравнений на каждом временном шаге и уравнения баланса массы. Вязкость льда зависит от температуры [16], и в общем случае следует также учитывать изменения температуры льда со временем, решая уравнение переноса тепла.

Дальнейшие преобразования (упрощения) системы диагностических уравнений, связанные, в частности, с уменьшением количества неизвестных функций и, соответственно, сокращением объема вычислений, приводят к различным моделям течения льда. Существуют модели, основанные на приближенных аналитических решениях для скорости течения льда (приближение тонкого слоя льда) [9; 10; 13], на численных решениях уравнений механического равновесия льда в поле силы тяжести с учетом закона Глена [11; 12; 13, 14] и уравнения непрерывности [5; 17]. В данном учебном пособии рассмотрена модель, основанная на приближенных

5

аналитических решениях, требующая минимального объема вычислений, т.к. в этом случае задача определения эволюции ледника сводится к решению только прогностического уравнения (для заданной температуры льда). Прогностическое уравнение в данном случае представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение параболического типа. Решения прогностического уравнения получены конечно-разностным методом, методом конечных элементов и реализованы с помощью математического пакета Maple.

6

В случае сложной деформации льда в ледниковом покрове выражение, связывающее скорости деформации с девиатором напряжений, должно обладать свойством инвариантности по отношению к ортогональным преобразованиям координат. Нелинейное соотношение вида (1), обладающее свойством инвариантности, может быть записано для скалярных величин – инвариантов соответствующих тензоров.

Лед представляет собой несжимаемую среду. Соответственно, первый инвариант тензора скоростей деформаций ε&ii = 0 – уравнение непрерывности для несжимаемой среды.

Предположим, что вторые инварианты тензоров скоростей деформаций и девиатора напряжений связаны соотношением:

Тогда частный случай непрерывной деформации льда в плоскопараллельном слое (см. рис. 1) удовлетворяет выражению (2).

С другой стороны, в изотропной несжимаемой среде, как, например, в несжимаемой вязкой жидкости, должно иметь место линеаризованное соотношение между компонентами тензоров ε&ik и

σik′ :

которое выражает собой тот факт, что чем больше компонента девиатора напряжений σik′ , тем быстрее возрастает i-ая компонента

скорости течения в сплошной среде в направлении оси хk .

Из выражений (2) и (3) следует, что для вторых инвариантов тензоров имеют место соотношения:

Сравнивая эти соотношения, получим выражение для коэффициента вязкости η :

8

Таким образом, закон Глена в общем случае имеет вид [16]:

1.2. Система диагностических уравнений

Основными уравнениями для определения скорости течения льда в ледниковом покрове являются уравнение непрерывности в несжимаемой среде и уравнение движения сплошной среды [3]:

где v – скорость течения льда; ρ – плотность льда ( ρ ≈ 910кг/м3 ); g – ускорение свободного падения.

Полагая, что характерное время задачи для уравнений (6) τ ≥1год и характерное значение скорости v ~ 103 м/год, получим

для левой части уравнения движения оценку: τv ≤10−12 м/с2 . Правая

часть уравнения движения является величиной ≥10 м/c2 . Таким

образом, фактически, вследствие малости скорости течения льда, распределение напряжений в ледниковом покрове определяется уравнениями механического равновесия льда в поле силы тяжести

[4]:

∂σik +ρ gi = 0; i =1,2,3.

∂ xk

Окончательно, система уравнений для определения скорости течения льда имеет вид:

9

высоты основания и свободной поверхности ледникового покрова над уровнем моря; Ω – область залегания ледникового покрова.

Система уравнений (7) не содержит времени явно. Она определяет поле скорости течения льда для заданного распределения температуры льда и данной геометрии ледникового покрова, которая определяется уровнями основания hb (x, y) и

свободной поверхности hs (x, y) . Эта система может быть названа

системой диагностических уравнений.

Граничными условиями для уравнений (7) являются условие свободной поверхности σik nk = 0 при z = hs и условие отсутствия

проскальзывания в базисном слое v = 0 при z = hb для ледникового покрова, расположенного на земле. Для шельфового ледника

глубине. В определенных случаях, для ледниковых покровов, распложенных на земле, также возможно проскальзывание в базисном слое. Тогда скорость проскальзывания определяется величиной скалывающих напряжений в базисном слое.

1.3. Уравнение баланса массы. Прогностическое уравнение

Течение льда, изменения в аккумуляции (количестве выпадающих осадков) и сезонном таянии снега на поверхности ледника, а также существующее в ряде случаев придонное таяние приводят к изменению формы поверхности ледникового покрова со временем. Баланс массы льда в прямоугольном параллелепипеде

10