Козин Математическое моделирование Учебное пособие 2008

Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

dx = x(a - b y - c x)

dy = - y(a

dy = - y(a

.pdf

Скачиваний:

184

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

1.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

2.4. Расширение исходной модели биосистемы

Учтем в исходной модели внутривидовую конкуренцию за ограниченные ресурсы у обеих популяций. Можно считать, что столкновения представителей одной популяции ведут к снижению скорости роста этой популяции пропорционально квадрату ее численности. В соответствие с этим в уравнениях (1) появляются дополнительные слагаемые ( c1 ³ 0, c2 ³ 0 )

Данная система с помощью прежних безразмерных переменных (2) приводится к виду

dx = qx(1- y - p x) º F (x, y)

(6)

dy = - y(1- x + p

y) º F (x, y)

где

a2 ,

a1 ,

p1 =

p2 =

q =

(7)

2.5. Исследование расширенной математической модели

Для новой модели (6) не тривиальная точка равновесия, определяемая из условия

F1 (x, y) = 0, F2 (x, y) = 0 , задается координатами
xp =		1+ p2	, y p	=		1-	p1		(8)
					1
	1+ p1 p2					+ p1 p2
Остальные точки равновесия,	в которых			одна			из	популяций вырождается, нас не

интересуют. По этой же причине (требование y p > 0 ) из (8) следует ограничение на один

из параметров 0 £ p1 < 1.

Расписывая систему (6) возле этой точки равновесия, получим систему вида (4), в которой производные определяются формулами

(

∂ F1

)

= q(1- y

- p x

) - qp x

= - qp x

= - qp

1+ p2

¶ x

1 1+ p p

¶ F1

1+ p2

(

)

= - qx

= - q

¶ y

p p

(9)

¶ F2

1- p1

(

)

= y

¶ x

p p

¶ F2

1- p1

(

)

= - (1- x

+ p

) - p

= - p

¶ y

2 1

+ p p

Запишем его характеристическое уравнение

- qp

1+ p2

- λ

- q

1+ p2

p p

1 1+

= 0

1- p1

- p

1- p1

- λ

2 1

p p

p1 p2

или

λ 2 + λ

qp1 (1+

p2 ) + p2 (1-

p1 ) + q

(1- p1 )(1+

p2 ) =

(10)

(1+ p1 p2 )

Корни этого уравнения в зависимости от значений параметров q, p1 , p2

- [qp1 (1+ p2 ) + p2 (1- p1 )] ±

λ 1,2

(11)

где

2(1

+ p1 p2 )

D =

[qp (1+

) + p

(1-

p )]2 -

4q(1+ p p

)(1-

p )(1+

)

могут быть числами

двух

типов:

комплексно-сопряженными

с отрицательной

действительной частью (при D(q, p1 , p2 ) < 0 ), либо действительными, отрицательными

(при D(q, p1 , p2 ) ³ 0 ).

В трехмерном пространстве параметров q, p1 , p2 первая зона с комплексносопряженными корнями, отделяется от второй зоны с действительными корнями поверхностью, которая задается уравнением D(q, p1 , p2 ) = 0 или в развернутом виде

q =	4		(1+	p1 p2 )(1-			p1 )(1+			p2 )	(12)
		[ p (1+ p			2	) +	p	2	(1- p )]2
		1								1

Эта поверхность и ее срезы для частных случаев отсутствия внутривидовой конкуренции у одной из популяций представлены на рис. 3, 4 и 5.

Если параметры q, p1 , p2 принадлежат первой зоне (на графике рис. 3 она лежит под поверхностью, где D(q, p1 , p2 ) < 0 ), то точка равновесия, заданная координатами (8),

является устойчивым фокусом на фазовой плоскости x, y (рис. 6), а изменение численности популяций имеет характер затухающих колебаний (рис. 7).

Для второй зоны (на графике рис. 3 она располагается над поверхностью, где D(q, p1 , p2 ) > 0 ) точка равновесия - устойчивый узел, одна из ветвей, которого

представлена на рис. 8, а изменение численности популяций имеет апериодический характер (рис. 9).

Итого, при наличии внутривидовой конкуренции численность популяций в биосистеме стационарна. При любых возмущениях численности биосистема возвращается в это равновесное состояние. Скорость возврата зависит от того, какой зоне принадлежит точка,

координаты которой задаются значениями параметров системы q, p1 , p2 .

Рис. 3. Поверхность, определяемая уравнением D(q, p1 , p2 ) = 0

Рис. 4. Сечение поверхности D(q, p1 , p2 ) = 0 плоскостью p1 = 0

Рис. 5. Сечение поверхности D(q, p1 , p2 ) = 0 плоскостью p2 = 0

Рис. 6. . Фазовая кривая для случая устойчивого фокуса (

q = 1.5, p1 = 0.3, p2 = 0.3, x(0) = 0.5, y(0) = 0.9, xp = 1.19, y p = 0.64 )

Рис. 7. . Кривые изменения численности популяций для случая устойчивого фокуса ( q = 1.5, p1 = 0.3, p2 = 0.3, x(0) = 0.5, y(0) = 0.9, xp = 1.19, y p = 0.64 )

Рис. 8. Фазовая кривая для случая устойчивого узла (

q = 100, p1 = 0.3, p2 = 0.3, x(0) = 0.5, y(0) = 0.9, xp = 1.19, y p = 0.64 )

Рис. 9. Кривые изменения численности популяций для случая устойчивого узла ( q = 100, p1 = 0.3, p2 = 0.3, x(0) = 0.5, y(0) = 0.9, xp = 1.19, y p = 0.64 )

3. Оптимизация работы магазина

3.1. Постановка задачи

Найти оптимальное число продавцов, обеспечивающих максимальную прибыль магазину.

Используемые исходные параметры:

λ - среднее число покупателей, приходящих в магазин в единицу времени ( λ1 - средний интервал времени между приходом покупателей);

μ- среднее число покупателей, обслуживаемых одним продавцом в единицу времени;

ν- среднее число покупателей, уходящих из общей очереди (нет времени или желания ждать) не обслуженными, в единицу времени;

s1 - средняя сумма прибыли от одного покупателя в единицу времени; s2 - средняя зарплата продавца в единицу времени,

m - среднее максимальное число покупателей в общей очереди (при виде такой «длинной» очереди покупатель сразу уходит из магазина),

n - число продавцов в магазине.

3.2. Математическая формулировка задачи

Магазин можно рассматривать, как систему массового обслуживания (СМО), имеющую конечное число состояний (такие как: все продавцы свободны, обслуживаются 1,2,.., n покупателей, 1,2,.., m покупателей стоят в очереди), переход между которыми регулируется простейшими потоками случайных событий (приход покупателя, завершение обслуживания покупателя, уход покупателя из очереди) (см. рис 1).

Простейший поток случайных событий характеризуется следующими свойствами [3]:

1.Стационарность – вероятностные характеристики не зависят от времени.

2.Отсутствие последствий – события происходят независимо друг от друга.

3.Ординарность – события происходят поодиночке.

Поток приходящих покупателей с плотностью λ

Магазин

n – число продавцов

m – суммарная длина очереди (1+n+m) – число состояний СМО

Поток обслуженных покупателей с плотностью μ

Поток покинувших очередь покупателей с плотностью ν

Рис. 1. Схема постановки задачи

Для простейшего потока число событий, попадающих на временной интервал dt , распределено по закону Пуассона, т.е. вероятность того, что за время dt произойдет k событий, равно

	pk (dt) =	(λ dt)k	e− λ dt
		k!

где λ - среднее число событий, происходящих в единицу времени.
Отсюда с учетом ординарности потока при dt → 0 имеем:
p0 (dt) = e− λ dt	≈ 1− λ dt - вероятность, что за время dt		не произошло ни одного события;
1− p0 (dt) = 1−	e− λ dt ≈ λ dt - вероятность, что за время dt произошло одно событие.

Составим систему дифференциальных уравнений, которые определяют изменения вероятностей p0 (t), p1 (t), .., pn (t), pn+ 1 (t), pn+ 2 (t),.., pn+ m (t) всех возможных состояний

магазина, как СМО, в зависимости от времени.

Пусть в момент времени t СМО находится в состоянии k ( 0 < k < n ) с вероятностью pk (t) . Найдем вероятность того, что и в момент времени t + dt система останется в том

же состоянии. Для этого необходимо сложить вероятности следующих событий (см. рис.2):

K-1

K+1

Рис. 2. Схема переходов для k

-го состояния

1. Система находилась в состоянии k

и осталась в нем (за время dt

не пришел ни один

покупатель и не освободился ни один из k продавцов)

pk (t)e− λ dt (e− μ dt )k ≈

pk (t)(1− λ dt)(1− kμ dt) ≈ pk (t)[1− (λ

kμ )dt]

2. Система находилась в состоянии k − 1 и перешла в состояние k

(за время dt пришел

один покупатель и не освободился ни один из k − 1 продавцов)

pk − 1 (t)(1− e− λ dt )(e− μ dt )k − 1 ≈

pk − 1 (t)(λ dt)[1−

(k − 1)μ dt] ≈

pk − 1 (t)(λ dt)

3. Система находилась в состоянии k + 1 и перешла в состояние k

(за время dt не пришел

ни один покупатель и освободился один из k + 1 продавцов)

pk + 1 (t)e− λ dt (k + 1)(1− e− μ dt ) ≈

pk + 1 (t)(1−

λ dt)(k + 1)μ dt ≈ pk + 1 (t)(k + 1)μ dt

Итого имеем

pk (t +

dt) ≈

pk (t)[1− (λ +

kμ )dt] +

pk − 1 (t)λ dt +

pk + 1 (t)(k + 1)μ dt

Отсюда, используя соотношение

pk (t + dt) − pk

(t)

→

dpk (t)

при dt → 0 , получим

дифференциальные уравнения для вероятностей pk (t) , 0 ≤

k < n

dp0

− λ p

+ μ p

(1)

dpk

λ p

− (λ +

kμ ) p

+ (k + 1)μ p

k = 1,2,..(n − 1)

k − 1

k + 1

Теперь запишем пункты 1-3 для случая k ≡ n + s , где 0 ≤ s < m .

1. Система находилась в состоянии n + s и осталась в нем (за время dt не пришел ни один покупатель, не освободился ни один из n продавцов и ни один из s покупателей не ушел из общей очереди)

n+ s

(t)e− λ dt (e− μ dt )n (e− ν dt )s ≈ p

n+ s

(t)(1− λ dt)(1− nμ dt)(1−

sν dt) ≈ p

n+ s

(t)[1−

(λ

+ nμ + sν

)dt]

2. Система находилась в состоянии n +

s − 1 и перешла в состояние n + s

(за время dt

пришел

один покупатель, не освободился ни один из n продавцов и ни один из

s − 1

покупателей не ушел из общей очереди)

s− 1

(t)(1− e− λ dt )(e− μ dt )n (e− ν dt )s− 1 ≈ p

n+ s− 1

(t)(λ dt)[1−

nμ dt − (s − 1)ν dt] ≈

n+ s− 1

(t)(λ dt)

3. Система находилась в состоянии n + s + 1 и перешла в состояние n + s (за время dt не

пришел ни один покупатель и освободился один из n						продавцов или один из s + 1
покупателей покинул очередь)
p	n+ s+ 1	(t)e− λ dt [n(1−	e− μ dt ) + (s + 1)(1− e− ν dt )] ≈ p	n+ s+ 1	(t)(1−	λ dt)[nμ dt + (s + 1)ν dt] ≈
pn+ s+ 1		(t)[nμ + (s +	1)ν ]dt

Отсюда окончательно получим

- номер шага интегрирования; h

dpn+ s = λ p	n+ s− 1	− (λ + nμ + sν ) p	n+ s	+ [nμ + (s + 1)ν ]p	n+ s+ 1	s = 0,1,2,..(m − 1)	(2)
dt	n+ s− 1		n+ s		n+ s+ 1
dt

Осталось вывести уравнение для вероятности состояния n + m . Для этого необходимо рассмотреть только два вышеперечисленных пункта (третий пункт отбрасывается, т.к. при наличии полной очереди покупатель сразу покидает магазин).

1. Система находилась в состоянии n + m и осталась в нем (за время dt не освободился ни один из n продавцов и ни один из m покупателей не ушел из общей очереди или пришел один покупатель и освободился один из продавцов или один из покупателей ушел из очереди)

(t){(e− μ dt )n (e− ν dt )m + (1−

e− λ dt )[n(1−

e− μ dt ) + m(1− e− ν dt )]} ≈

pn+ m

(t)[(1−

nμ dt)(1−

mν dt) +

λ dt(nμ dt +

mν dt)] ≈

pn+ m (t)[1− (nμ

+ mν )dt]

2. Система находилась в состоянии

n + m − 1 и перешла в состояние

n + m (за время dt

пришел один покупатель, не освободился ни один из

n продавцов и ни один из m − 1

покупателей не ушел из общей очереди)

pn+ m− 1 (t)(1−

e− λ dt )(e− μ dt )n (e− ν dt )m− 1 ≈

pn+ m− 1 (t)(λ dt)[1− nμ dt −

(m − 1)ν dt] ≈ pn+ m− 1 (t)(λ dt)

С помощью этих соотношений получаем требуемое уравнение

dpn+ m = λ p

n+ m−

− (nμ + mν ) p

n+ m

(3)

= λ t (перешли от времени к среднему числу

Ведем безразмерные параметры: τ

покупателей, пришедших к данному моменту времени),α

, β =

, где α - число

покупателей обслуженных продавцом за средний интервал времени между приходом

покупателей, β

- число покупателей покинувших очередь за тот же интервал времени.

Тогда система (1)-(3) перепишется в виде

dp0

− p

+ α p

dτ

dpk

k −

− (1+

kα ) p

+ (k + 1)α p

k + 1

k = 1,2,..(n − 1)

dτ

(4)

dpn+ s

n+ s− 1

−

(1+ nα

+ sβ ) p

n+ s

+ [nα

+ (s + 1)β ]p

n+ s+ 1

s = 0,1,2,..(m − 1)

dτ

dpn+ m

= p

n+ m−

− (nα + mβ ) p

dτ

Систему уравнений (4) следует дополнить начальными условиями

p0 (0) = 1, p1 (0) =

p2 (0) =

..., pn+ m (0) = 0

(5)

Система (4) и условия (5) представляют собой математическую задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Ее численное интегрирование можно выполнить методом Рунге-Кутта 2-го порядка, известным также, как метод «предиктор-корректор» или более точно методом Рунге-Кутта 4-го порядка (использована

векторная запись задачи: ddtp = F (t, p); t = 0, p(0) = p0 ; j

- шаг интегрирования)

1. Метод Рунге-Кутта 2-го порядка

= p

+ h

(

, p

) +

+ h, p*

)), j = 0,1....

j+ 1

+ 1

где

= p

, p

)

+ hF

j+ 1

2. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

j = 0,1....

j+ 1

+ 2k

+ k

где

h k

, p

)

, p

h k

+ h, p

)

), k

+ hk

Из уравнений (4) легко получить системы уравнений, описывающих изменения вероятностей для различных вариантов функционирования магазина.

1. Магазин без очереди - при отсутствии свободного продавца покупатель сразу покидает магазин ( m = 0 ).

dp0

= − p

+ α p

dτ

dpk

k − 1

−

(1+ kα ) p

+ (k + 1)α p

k + 1

k = 1,2,..(n − 1)

(6)

dτ

dpn

n− 1

−

nα p

dτ

2.Магазин с неограниченной очередью – описывается уравнениями (4) (без последнего уравнения), в которых m = ∞ .

3.Магазин с неограниченным временем ожидания покупателей в очереди – описывается

уравнениями (4), в которых β = 0 .

3.3. Стационарный случай

Если в системе (4) все производные приравнять нулю, то получим систему алгебраических уравнений для определения вероятностей состояний для установившегося режима


− p	+ α p = 0
pk − 10	− (1+1 kα ) pk		+ (k + 1)α pk + 1
pn+ s− 1		− (1+ nα +	sβ ) pn+ s + [nα
pn+ m− 1		− (nα + mβ ) pn+ m = 0

Сюда необходимо добавить условие

=	0 k = 1,2,..(n − 1)				(7)
+	(s + 1)β ]p	n+	s+ 1	= 0 s = 0,1,2,..(m − 1)

nå+	m pi = 1	(8)
i=	0

Из системы (7) можно последовательно, начиная с первого уравнения, выразить все вероятности pi через p0

2α

3!α

..........

p0 ,

k =

4..n

k!α

pn+ 1 =

n!α n (nα + β )

pn+ 2 =

n!α n (nα + β )(nα + 2β )

.............

pn+ s

p0 ,

s = 3..m

n!α

n Õ (nα

+ iβ )

i= 1

Подставляя эти формулы в условие (8), находим и само p0

p0 =

ån

åm

k = 0 k!α

s= 1 n!α n Õ (nα + iβ )

i= 1

3.4. Статистические характеристики

С помощью рассчитанных

вероятностей

pk (t) можно определить

различные

статистические характеристики, связанные с работой магазина:

1. Среднее число занятых продавцов

= ån

+ nåm

Nпродавцов

kpk

pn+ s

k= 1

s= 1

2. Вероятность того, что произвольный продавец занят

pзанят

Nпродавцов

tпростоя

pпростоя

3. Среднее время простоя продавца (следует из очевидного соотношения

t занят

pзанят

)

1 (1−

pзанят )

tпростоя

pзанят

Здесь μ - среднее время обслуживания одного покупателя, (1− pзанят ) - вероятность

простоя продавца.

4. Среднее число покупателей в очереди

Nочереди = åm spn+ s s= 1

5. Вероятность простоя всех продавцов

pпростоя = p0

6. Вероятность отсутствия очереди

pнет очереди =	ån	pk
7. Вероятность наличия очереди	k = 0
7. Вероятность наличия очереди	ån
pочереди = 1−	ån	pk
	k = 0

8. Среднее время пребывания покупателя в очереди (среднее число покупателей в очереди

умножается на средний интервал между приходом покупателей λ1 )

tочередь	=	Nочереди
		λ

9. Вероятность ухода любого покупателя из очереди не обслуженным (вероятность ухода произвольного покупателя равна отношению среднего числа уходящих из очереди покупателей к среднему числу приходящих в магазин покупателей, умноженному на среднее число покупателей в очереди, т.к. имеет место сложение вероятностей)

pотказа = νλ Nочереди = β Nочереди

Отметим, что при m = 0 (магазин без очереди) pотказа = pn .

10. Среднее число покупателей, обслуживаемых магазином в единицу времени (пропускная способность магазина)

Nобс.покупателей = λ (1− pотказа )

Здесь (1− pотказа ) – вероятность отказа в обслуживании произвольного покупателя.

3.4. Оптимизация прибыли магазина

Прибыль магазина в единицу времени рассчитывается следующим образом

φ (n) = s1 Nобс.покупателей − ns2

(9)

Задача ее оптимизации решается для стационарного случая. При этом используется метод целочисленного перебора, когда значения прибыли последовательно

рассчитываются для n = 1,2,... и определяется nопт , при котором прибыль имеет максимальное значение.

3.5. Программа для исследования статистических характеристик работы магазина

Изложенные результаты были использованы при реализации программы для исследования статистических характеристик работы магазина.

Приведем несколько экранов этой программы с полученными результатами.

1.Вход в программу (рис. 3). Справа показаны значения статистических параметров, рассчитанные для установившегося режима работы магазина.

2.Графики изменения статистических параметров, которые получены после численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (4) методом Рунге-Кутта (рис. 4).

3.Результаты решения задачи поиска оптимального числа продавцов, обеспечивающего оптимальную прибыль магазину в единицу времени для введенных входных параметров (рис. 5). Видно, что для заданных параметров при оптимальном выборе числа продавцов можно повысить прибыль почти в три раза (см. рис. 3 и 5).

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.201313.93 Mб1129Климанов Радиобиологическое и дозиметрическое планиров. Ч.1 2011.pdf
#
16.08.201319.74 Mб690Климанов Радиобиологическое и дозиметрическое планирование 2011.pdf
#
16.08.20134.6 Mб1376Климанов Сборник задач по теории переноса, дозиметрии и засчите 2011.pdf
#
16.08.20134.03 Mб227Когденко Краткосрочная и долгосрочная финансовая политика 2010.pdf
#
16.08.2013919.62 Кб107Козин Експертные системы Учебное пособие 2008.pdf
#
16.08.20131.75 Mб184Козин Математическое моделирование Учебное пособие 2008.pdf
#
16.08.20131.37 Mб137Козин Программирование численных методов линейной алгебры 2010.pdf
#
16.08.20131.82 Mб77Колдобский Ионизируюсчая радиация воздействие, риски, обсчественное восприятие 2008.pdf
#
16.08.20131.27 Mб121Колдобский Создание термоядерного оружия 2007.pdf
#
16.08.20132.3 Mб192Колесников Спектроскопическая диагностика плазмы 2007.pdf
#
16.08.201322.79 Mб200Колобашкина-Част-1.pdf