Модель Кронига-Пенни Кrоnig r. De l., Penney w. G., Quantum mechanics of electrons in crystal lattices, "Proc. Roy. Soc. London", 1931, V. 130a, p. 499

Рис.1. Изменение потенциальной энергии электрона:  а - в реальном кристалле; б - в модели Кронига-Пенни

Теорема Блоха позволяет аналитически решить задачу об электроне в периодическом поле кристаллической решетки в приближении слабой связи при некоторых упрощающих предположениях. Основная трудность в решении уравнения Шредингера связана с невозможностью точно записать вид функцииU(r). Поэтому часто периодическую зависимость функцииU(r) заменяют более простой функцией с точно таким же периодом. В модели Кронига-Пенни ограничиваются рассмотрением одномерной задачи, в которой периодический потенциал заменяется цепочкой прямоугольных потенциальных ям (рис.1). Ширина каждой ямыа, они отделены друг от друга прямоугольными потенциальными барьерами высотойU₀и ширинойb. Период повторения ямс =а +b.

   Стационарное уравнение Шредингера будет иметь в этом случае вид:

                         

.                    (1)

      

Начало системы координат (точку х= 0) выберем так, чтобы она совпадала с левым краем потенциальной ямы, как это показано на рис.1, б. Tогда потенциальная функция

 

                           .                         (2)

 

В соответствии с теоремой Блоха волновая функция электрона (x) может быть представлена в виде

 

                              .                                   (3)

 

Индексы nиkупущены для простоты записи. Функцияu(x) (блоховский множитель) имеет периодc

 

 

       Подставляя (3) в уравнение (1), получим дифференциальное уравнение для блоховского множителя

 

                   (4 a)

 

для электронов, находящихся внутри потенциальных ям, и

 

(4 б)

 

для электронов, находящихся вне потенциальных ям. В этих уравнениях E_k- кинетическая энергия электрона

 

                            .

 

       Общее решение уравнения (4 а) для электронов внутри потенциальных ям может быть записано в виде

 

,                    (5 а)

 

где - некоторый параметр, который может быть найден подстановкой решения в виде (5 а) в исходное уравнение (4 а). Эта подстановка приводит к следующему значению:

 

.

 

       В области вне потенциальных ям при условии, что высота потенциального барьера U₀выше полной энергии электронаЕ, решение уравнения (4 б) имеет вид:

 

,                 (5 б)

 

где

.

 

       Постоянные A,B,CиDв формулах (5 а) и (5 б) находятся как обычно из граничных условий. Граничные условия требуют, чтобы функцияu(x) и ее первая производная в местах скачков потенциала, т. е. на стенках потенциальных ям, были непрерывны. Эти требования приводят к следующей системе уравнений:

 

                                 (6)

 

Система уравнений (6) после подстановки в нее функций и , согласно равенствам (4 а) и (4 б), преобразуется в систему линейных однородных алгебраических уравнений, в которых неизвестными являются коэффициентыA,B,CиD. Определитель этой системы будет равен нулю (только при этом условии система линейных однородных уравнений имеет отличные от нуля решения), если выполняется следующее равенство:

 

             .         (7)

 

Выражение (7) можно значительно упростить, если допустить, что ширина барьера стремится к нулю , а его высота - к бесконечности , но таким образом, чтобыпроизведение U₀b оставалось постоянным .При этих условиях выражение (7) преобразуется к виду:

 

                               ,                      (8)

 

где

                                    .

 

       Поскольку - параметр, определяемый энергиейЕ электрона

(напомним, что ), аk- волновой вектор электрона, то выражение (8) представляет собой зависимостьE(k), т. е. дисперсионное соотношение для электрона в кристаллической решетке. Это дисперсионное соотношение можно записать в явном виде, решив уравнение (8) относительнопри фиксированном значении параметраp.