7. Законы НСВ(ТерВер)

Занятие №7. Основные законы распределения непрерывных случайных величин

Основные понятия: непрерывная случайная величина, плотность вероятности непрерывной случайной величины, кривая распределения, функция распределения, математическое ожидание, дисперсия, мода, медиана непрерывной случайной величины, функция надежности.

Вопросы:

1. Равномерный закон распределения.

2. Экспоненциальный закон. Функция надежности.

3. Нормальный закон.

Домашнее задание

1. Все значения равномерно распределенной непрерывной случайной величины лежат на отрезке от 2 до 8. Найти плотность вероятности, функцию распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины и вероятность попадания в интервал от 3 до 5. Построить графики.

2. Непрерывная случайная величина распределена по экспоненциальному закону с параметром . Найти плотность вероятности, функцию распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины, а так же вероятность попадания значения непрерывной случайной величины в интервал (0.1; 0.2). Построить графики.

3. Длина детали, изготавливаемой на станке – непрерывная случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 25 см и среднеквадратическим отклонением 0.4 см. Найти плотность вероятности, функцию распределения и вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более, чем на 0.16 см. Построить графики.

4. Время безотказной работы телевизора распределено по экспоненциальному закону. Среднее время безотказной работы телевизора 500ч. Найти плотность вероятности, функцию распределения и числовые характеристики времени безотказной работы телевизора, а так же вероятность того, что он проработает 1000ч. Построить графики.

Задания для аудиторной работы

1. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти плотность вероятности, функцию распределения и числовые характеристики ошибки в показаниях часов. (Под ошибкой понимается разность между истинным временем и показываемым.) Построить графики. Определить вероятность того, что разница между истинным и показываемым временем не превышает 20с.

2. Диаметр выпускаемой детали – непрерывная случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием 5 см и среденеквадратическим отклонением 0.9 см. Найти плотность вероятности, функцию распределения, моду и медиану диаметра детали. Построить графики. Установить:

а) вероятность того, что наудачу взятая деталь имеет диаметр в пределах от 4 до 7 см;

б) вероятность того, что размер детали отличается от математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 2 см;

в) в каких пределах следует ожидать симметричный относительно среднего размер диаметра детали, чтобы вероятность не выйти за эти пределы была равна 0.95.

3. Время расформирования состава через горку – непрерывная случайная величина, подчиненная экспоненциальному закону распределения. Среднее число поездов, которые горка расформировывает за один час, равно 5. Найти плотность вероятности, функцию распределения и числовые характеристики времени расформирования состава. Построить графики. Определить вероятности того, что время расформирования состава:

а) меньше 30 мин.;

б) больше 6 мин., но меньше 24 мин.;

в) больше 0.3 ч.

4. Время безотказной работы элемента подчинено экспоненциальному закону. Среднее число отказов в течение одного часа равно 0.6. Найти вероятность того, что за 2 ч. элемент а) не откажет; б) откажет.

5. Масса груза, перевозимого в товарном вагоне – непрерывная случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с параметрами т. Масса пустого вагона 22,5 т. Найти плотность вероятности, функцию распределения и числовые характеристики массы груженого вагона. Построить графики. Определить вероятность того, что из 5 очередных груженых вагонов 3 имеют массу не более 92,5т и не менее 82,5т.

6. Среднее число обращений в сервисный центр по поводу ремонта стиральной машины некоторой марки в течение гарантийного срока равно 1.1. Гарантийный срок службы для стиральной машины этой марки – 2 года. Срок бесперебойной службы машины подчинен экспоненциальному закону распределения. Установить закон распределения числа владельцев 1000 стиральных машин этой марки, которые в течение последующих 10 лет не посетят сервисный центр. Определить числовые характеристики этой случайной величины.

7. Отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является непрерывной случайной величиной, подчиненной нормальному закону распределения, причем длина лишена систематической ошибки. Если стандартная длина равна 40 см и среднеквадратическое отклонение 0.4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0.8? Сколько следует вероятнее всего ожидать деталей с такой точностью длины среди 50 изготовленных?