Дегтяренко Введение в физику неупорядоченных конденсированных 2011
.pdf
решеток и в группе объемных решеток это произведение меняется= малоK=
=
Таблица=TK4K=Произведение=f·xy=для разных решеток=
Тип решетки= |
f= |
xy= |
f·xy= |
|
|
Плоские решетки= |
|
|
|
Квадратная== |
|
MIT9= |
MIR9= |
MI4T= |
Треугольная== |
|
MI9N= |
MIRM= |
MI4S= |
Шестиугольная== |
|
MISN= |
MITM= |
MI4P= |
|
Объемные |
решетки= |
|
|
Простая кубическая== |
|
MIRO= |
MIPN= |
MINS= |
Объемноцентрированная |
ичеJ |
MIS8= |
MIOR= |
MINT= |
ская== |
|
|||
|
|
|
|
|
Гранецентрированная кубическая== |
MIT4= |
MIOM= |
MINR= |
|
Типа алмаза== |
|
MIP4= |
MI44= |
MINS= |
= |
|
|
|
|
Отсюда следуетI=что с точностью порядка=NM=–=NRB=справедJ ливы формулы:==
f·xy = 0,5 |
ETK4F |
для плоских решетокI=и== |
|
f·xy = 0,16 |
=ETKRF |
для объемных решетокK== |
|
Так как вычислить коэффициент заполнения= f сравнительно= простоI= формулы= ETK4F= и= ETKRF= дают возможность оценить порог= протекания задачи узлов для любой решеткиK==
Легко понятьI=что критическая доля объемаI=заполненная беJ лыми шарамиI= при которой возникает протеканиеI= монотонно= уменьшается с увеличением размерности пространстваK= В одноJ мерном пространствеI=т.еK=в линейной цепочке узловI=протекание по= белым узлам невозможно при сколь угодно малой концентрации= черных узловK= Даже один черный узел запирает путь протеканияI= так как обойти его невозможноK= В плоской= EдвухмернойF= решетке= появляется возможность обхода черных узловI= а в трехмерной=
NSN=
=
(объемнойF=решетке таких возможностей большеI=так как обходные= пути не ограничены плоскостьюK==
Идея критического объема оказывается плодотворной = не только для решеточных задачK=Далее столкнемся с задачейI=в котоJ рой белые и черные шары вообще не находятся в узлах решеткиI=а= просто беспорядочно насыпаны в банкуK= Нас будет интересовать= вопрос о протекании по касающимся друг друга белым шарамK= ОказываетсяI= это протекание тоже возникаетI= когда объемI= заполJ ненный белыми шарамиI= составляет примерно= MINS= полного объеJ маK= Этот результат слабо меняетсяI= если шары отличаются друг от= друга радиусомK= Может быть рассмотрена задача о пространствеI= которое раскрашено случайным образом белой и черной краскойK= ОказываетсяI=что протекание по областям одного цвета возникает в= плоском случаеI= когда доля поверхностиI= выкрашенной этим цвеJ томI= точно равна= MIRI= а в трехмерном случаеI= когда доля объемаI= выкрашенного этим цветомI=примерно равна=MINSK==
=
Таблица=TKR=Пороги протекания=
Тип решетки= |
|
Задача связей= |
|
|
Задача узлов= |
|
||
|
с |
w = |
с |
с |
= |
f = |
с |
|
|
u св = |
|
w u с в = |
u узл |
|
fu узл = |
|
|
Плоские решетки= |
|
|
|
|
|
|
||
Квадратная= |
MIR= |
4= |
OIM= |
MIR9= |
|
MIT9= |
MI4T= |
|
Шестиугольная== |
MISR= |
P= |
NI9R= |
MIT= |
|
MISN= |
MI4P= |
|
Треугольная= |
MIPR= |
S= |
OIN= |
MIR= |
|
MI9N= |
MI4S= |
|
Объемные |
решетки |
= |
|
|
|
|
|
|
ПК= |
MIOR= |
S= |
NIR= |
MIPN= |
|
MIRO= |
MINS= |
|
ОЦК= |
MIN8= |
8= |
NI4= |
MKOR= |
|
MIS8= |
MINT= |
|
ГЦК= |
MIN4= |
NO= |
NI4= |
MIOM= |
|
MIT4= |
MINR= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обобщенные результаты представлены в табл K =TKRK = |
||||||||
Существуют некоторые |
приближенные |
интегралыI= зависящие от= |
||||||
типа задачи= Eзадача узлов или |
задача |
связейиF= |
от размерности= |
|||||
NSO=
=
пространстваK= Значения этих интегралов получены в множестве=
численных экспериментов:=================линейные=– f × u узлс =NK=
плоские=– f × u узлс = MIR =
объемные=– f × u узлс = MINS ========================ETKSF=========
Гипотеза критического объема в задаче узлов позволяет= отказаться от регулярности решеткиK==
=
T.T.=Задача координационных сфер=
=
Обобщение состоит в том I =что связь распространяется на = узлыI=расположенные не только в первой координационной сфереK=
На рисK= TKNR= |
показан путь |
протекания |
по охватывающим= |
|
окружностямI= |
построенным |
на |
квадратной |
K=решетке |
Взаимодействие учитывается на расстоянии втрое большемI= чем= между ближайшими соседямиK= Путь протекания показан ломаной= линиейK=Результаты были получены только путем расчетов на ЭВМ=
(таблKTKSFK=
=
РисKTKNRK= Путь протекания по охватывающим= окружностямI=построенным на квадратной решетке==
NSP=
=
Таблица=TKSK======Пороги протекания для плоских решеток=
|
Тип решетки= |
Z= |
u скс = |
wu кс = |
||
Шестиугольная однократная= Eсвязаны= |
|
|
|
|||
узлы только |
первой |
координационной= |
P= |
MITMM= |
OINM= |
|
сферыF== |
|
|
|
|
|
|
Треугольная однократная=Eсвязаны узлы= |
S= |
MIRMM= |
PIMM= |
|||
только первой координационной сферыF= |
||||||
|
|
|
||||
Шестиугольная=NIOIP=Eсвязаны узлы перJ |
N |
|
|
|||
войI= второй и |
третьей |
координационных= |
MIPMM= |
PIO8= |
||
сферF= |
|
|
O= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Треугольная=NIOIP=Eсвязаны узлы первойI= |
N |
MIOOR= |
4IMR= |
|||
второй и третьей координационных сферF= |
8= |
|||||
|
|
|||||
=
Эти результаты могут быть обобщены на случай= w ® ¥ K= А=
именно:= p× n × oO » 4IN = – = =условие на порог протекания K =Если= o= увеличитсяI= то нужна меньшая плотность окружностейI= что бы= реализовать протекание=En=–=средняя плотность в единицу площади= поверхностиFK=
=
Таблица=TKTK=Пороги протекания для объемных решеток=
Тип решетки= |
Z = |
u скс = |
wu кс = |
Типа алмаза= |
4= |
MI4ORM= |
NITM= |
|
|
|
|
ПК=N= |
S= |
MIPMTM= |
NI84= |
|
|
|
|
ОЦК=N= |
8= |
MIO4PM= |
NI94= |
|
|
|
|
ГЦК=N= |
NO= |
MIN9TR= |
OIP4= |
|
|
|
|
ПК=NIOIP=EGF= |
OS= |
MIM9TM= |
OIRO= |
|
|
|
|
ОЦК=NIOIP=EGF= |
OS= |
MIM9RM= |
OI4T= |
|
|
|
|
ГЦК=NIOIP=EGF= |
4O= |
MIMSNM= |
OIRS= |
|
|
|
|
Примечание= EGF:= все сферы= NIOIP= = используются для связиI= следовательноI=число связей увеличиваетсяK=
NS4=
=
В случае объемных решеток все также может быть обобщено=
для= w ® ¥ K================== lim (w × uc ) = B » OIT = |
|
w ®¥ |
|
Рассмотрим задачу о вложенных сферах=EрисKTKNSF= |
|
4p oPk = OIT I= |
ETKTF= |
P |
|
где=o=–=радиус сферI=k=–=плотность центров в единице объема= Смысл соотношения в следующем:= число центровI= попадающих в=
зону влияния должно достичь определенного значения= Eконкретно= OITFK=
=
=
=
= = =
=
= =
=
=
=
РисK= TKNSK= Пути протекания по охватывающим окружноJ стям= Eпоказаны ломаными линиямиI= точки= –= центры окружноJ стейF=
=
Сделаем следующие обобщенияK=
NK=В случае произвольной формы вложенных объектов=
4p oPkc = OIT I======следовательноI=sNkl Z=OITK== P
Условие образования бесконечного кластера выполняется =с
хорошей точностьюK= МожноI= напримерI= заменить сферу оваломK= ОказываетсяI= интеграл сохраняется для всех выпуклых фигурK=
Существенным является критическое заполнение объемаI= а чем= – =
NSR=
=
не |
важноK= Когда |
концентрация достигнет критической величины= |
||
для объектов данного размераI=тогда появится протеканиеK= |
||||
OK |
Можно |
ввести |
понятие= касающихся |
сфер= Eили= |
проводимость по белым сферамI=а черные сферы того же радиуса=–= диэлектрикиF=EрисKTKNTFK=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
РисK=TKNTK=Смесь проводящих и непроводящих частиц=
=
Для= касающихся сфер критическим условием является=
следующее:=== uc × f = MINS K==Если эффективный объем проводящих=
Pa
шаров=~MINSI=возникает бесконечный кластерK=
=
Рассмотрим пример физической задачиK= Наличие примеси= создает в запрещенной зоне полупроводника локализованные= состоянияK= Как отмечалосьI= если атом помещается в среду= с диэлектрической проницаемостью= e I=то его боровский радиус:=
а* = MIRP´NM-8 ´ e |
|
m |
|
I===где=e=»=NM=¸=NR=I=mG=»=MKNmeI= |
||||||
(m G) |
||||||||||
Б |
14243 |
|
|
|
|
|
||||
|
aM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bG =NPIS × |
æ |
m* |
ö |
× N I= |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
B |
|
ç |
÷ |
e |
||||
|
|
|
|
|
|
è |
m ø |
|||
т.еK= электрон |
примесного |
атома в |
|
среде имеет большой радиус= |
||||||
орбиты и небольшую энергию связиK= |
|
|
|
|
||||||
NSS=
=
При |
введении примесейI= они распределяются |
хаотическиK= |
||
Однако |
эксперимент |
показываетI= что |
при |
увеличении= |
концентрации примесей происходит переход к металлической= |
||||
проводимостиI= т.еK= имеет |
место переход |
диэлектрик= –= металлK= |
||
ПокажемI =что в определенных условиях это т переход = соответствует образованию связанных примесей и создание=
бесконечного кластераK= По |
бесконечному кластеру |
примесей= |
|
возможна проводимостьK= |
|
|
|
ДействительноI= эксперимент |
показалI= что |
переход= |
|
происходит при выполнении |
условия= n |
´ a*P Z= MIMOI= где= |
a*P = –= |
|
d |
Б |
Б |
эффективный объемI=занимаемый волновой функцией примесиK=
Пусть= e-Or /aGБ =–=волновая функция=pJтипаI=где= a*B =–=большоеK= Концентрация примеси является заданной=EETKTFI=где=k-заданоFK=
ДалееI=пусть= rM = q ´ a*B =–=необходимый эффективный радиус=
перекрытия волновых функций примесных атомовI= достаточный= для переходов электрона с атома на атомI= тем самымI= создающих= бесконечный кластерK= Пусть выполняется соотношение= критического условия для трехмерного случай перекрывающихся= сферK=
|
4p k |
c |
(Or P) = B = OKT I= |
|
|
|
P |
M |
|
|
|
тогда после |
подстановки= e Z= NM= ÷= NRI= m* = MIN× mM можно найти= |
||||
параметр перекрытия=?хвостов?=волновых функций= q =NIS K= |
|||||
На |
этих= "хвостах"= |
|
волновых |
функций |
происходит= |
перекрытие и образование бесконечного кластераK= |
|
||||
= |
|
|
|
|
|
T.8.=Структура бесконечного кластера.= Модель Шкловского=–=де Жена=
=
Рассмотрим задачу узловI=допускаяI=что концентрация неблоJ кированных узлов немного выше пороговойI= так что существует= бесконечный кластерK=Он представляет собой бесконечные цепочки=
NST=
=
из связанных друг с другом узловK= Если соединить все связанные= узлы бесконечного кластера отрезками прямыхI=то получится набор= пересекающихся друг с другом ломаных линий= EсмK= рисKTKN8I= где= показана одна такая линияFK=
Структурой бесконечного кластера называют его геометрию= в масштабахI=гораздо большихI= чем период решеткиK= В таких масJ штабах изломыI=происходящие в отдельных узлах решеткиI=не восJ принимаются глазомI= и цепочка представляется плавно изогнутой= линиейK==
РисK=TKN8K=Фрагмент бесконечного кластера с мертвыми концами=
=
На рисK= TKN8=изображен небольшой фрагмент бесконечного= кластераK=На концах=A и=B кластер не кончается=–=он уходит налево= и направо на бесконечное расстояниеK= Введем теперь следующую= классификацию точек и линий бесконечного кластераK= Участки= бесконечного кластера делятся на=скелет и=мертвые концыK==
СчитаетсяI=что точка принадлежит скелету бесконечного клаJ стераI=если по крайней мере два путиI=выходящие из нее в разные= стороныI=позволяют уйти на бесконечное расстояниеK=Такой точкой= являетсяI=напримерI=точка=С на рисKTKN8K=Из этой точки можно уйти= на бесконечное расстояниеI =двигаясь как в правуюI =так= = в левую= стороныK= Если только один путьI= выходящий из точкиI= ведет на= бесконечное расстояниеI= то эта точка принадлежит мертвому конJ цуK=НапримерI=из точки=a на рисK=TKN8=можно уйти на бесконечное=
NS8=
=
расстояниеI= двигаясь только вверхK= Движение вниз приводит в туJ пикK=Поэтому считаетсяI=что точка=a лежит на мертвом концеK==
Отбросим мысленно все мертвые концы и постараемся предJ ставить как устроен скелет бесконечного кластераK= Простейшая= модель скелета была предложена независимо друг от друга ШкловJ ским и де ЖеномK=Для плоской задачи эта модель представляет соJ бой нечто вроде очень большой рыболовной сетиI=старой и изрядно= потрепаннойK=Она уже потеряла строгую периодичностьI=ее веревки= не натянутыK =некоторые узлы в ней порваныI =другие съехали со= своего местаI=но тем не менее=«в среднем»=–=это сеть=EрисKTKN9FK==
РисK=TKN9K=Скелет бесконечного кластера=
Характерный линейный размер ячейки этой сети=o называетJ ся=радиусом корреляции бесконечного кластераK=Он резко возрастаJ ет с приближением к порогу протекания:==
o = |
|
l |
|
|
|
. |
ETK8F |
|
x - x |
c |
|
n |
|||
|
|
Здесь=l=–=длинаI=равная по порядку величины периоду решеткиI==v=–= положительное числоI= которое называется= индексом радиуса корJ реляцииK= Таким образомI= по мере приближения к порогу протекаJ ния сетка становится все более и более редкойK==
Существование обращающегося в бесконечность радиуса= корреляции является общим свойством всех критических явленийK= ТоI= что он обращается в бесконечность именно но степенному Jза кону= ETK8FI =не является строго доказаннымI =но лежит в основе соJ
NS9=
=
временных представлений о критических явлениях иI=по-видимомуI= хорошо подтверждается экспериментальными даннымиK==
Радиус корреляции имеет смысл и при=x=Y=xcI=т.еK=ниже пороJ
гаK= В этой области он описывает= максимальный размер конечных=
кластеровK= Если= x →= xc со стороны меньших значений=Ex=Y= xcFI= то= радиус корреляции тоже обращается в бесконечность по закону= ETKTFK=Это означаетI=что при подходе к порогу протекания снизу коJ нечные кластеры неограниченно увеличивают свои размеры и при=======
x= Z= xc сливаются в бесконечный кластерK =Таким образомI =зависиJ мость=oExF=имеет видI=схематически показанный на рисKTKOMK==
В случае объемных задач модель Шкловского=J=де Жена имеJ ет аналогичный видK= Она похожа на сильно испорченный провоJ лочный каркас трехмерной решеткиI= причем средняя длина одной= ячейки выражается формулой= ETK8FK= Следует только иметь в видуI= что численные значения индексов радиуса корреляции для плоских= и объемных задач разныеK= Рассмотрим теперьI= к каким следствиям= приводит представление о сеточной структуре бесконечного клаJ стераK==
=
РисK= TKOMK= Зависимость радиуса корреляции от= xK=Показана= ширина критической области δ для квадрата=i=×=i=EсмK=следующий= разделF=
=
NTM=
=