4.2.2. Доказательство через контрпример

Доказательство через контрпример строится по другой схеме. Сначала принимают предположение, что утверждение A верно, а затем рассматривается особый случай – контрпример, при котором

данное утверждение A неверно.

Полученное противоречие показывает, что исходное предполо-

жение было неверным, и поэтому верно утверждение A.

Задача 4.5. Исследовать, является ли общезначимой формула

xP(x) xQ(x) x(P(x) Q(x)) .

Решение. Предположим, что формула общезначима. Тогда она тождественно истинная для любой области.

Приведем контрпример. Положим Q(x) P(x) , оба не тождественно истинные. Тогда x(P(x) P(x)) x1 1 – тождественно истинное высказывание, xP(x) xP(x) 0 0 0 – тождест-

венно ложное высказывание.

Правая и левая части формулы не равны между собой. Это означает, что мы получили противоречие и на данном контрпримере рассматриваемая формула ложна.

Следовательно, наше предположение об общезначимости было неверным. Значит, рассматриваемая формула не является общезначимой.

Контрольные вопросы и задания

4.1. Даны формулы x(P(x)&Q(x)) и xP(x)& Q(x). Прове-

рить, являются ли они равносильными.

4.2. Даны формулы x(Q(x) C) и xQ(x) C . Проверить,

являются ли они равносильными.

4.3. Даны формулы x(C Q(x)) и C xQ(x). Проверить,

являются ли они равносильными.

4.4. Доказать общезначимость формулы

x(R(x) P(x)) ( xR(x) xP(x)) . 4.5. Доказать общезначимость формулы

123

x(R(x) P(x)) ( xR(x) xP(x)).

4.6. Построить прямое доказательство утверждения, что форму-

ла R1 :(((A (B C)) ((A B) (A C))) A A является противоречием.

4.7. Построить косвенное доказательство утверждения, что формула R1 :((A (B C)) ((A B) (A C))) не является

ни противоречием, ни тавтологией.

4.8. Построить прямое доказательство утверждения, что формула R1 :((A (B C)) ((A B) (A C))) не является ни про-

тиворечием, ни тавтологией.

4.9. Построить косвенное доказательство утверждения, что формула R1 :((A (B C)) ((A B) (A C))) является тав-

тологией.

4.10. Построить прямое доказательство, что R: A(t) xA(x) –

аксиома исчисления предикатов.

4.11. Построить косвенное доказательство, что R: xA(x) A(t) – аксиома исчисления предикатов.

4.12. Построить прямое доказательство, что R:((B A) ((B A) B)) – аксиома исчисления предикатов .

4.13.Построить доказательство от противного для утверждения «Формула R (P,Q) не общезначима».

4.14.Построить доказательство от противного с использованием контрпримера для утверждения «Формула R(P,Q) не общезначима».

4.15.Построить доказательство через контрпример для утверждения «Формула R ( x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x) не об-

щезначима».

4.16. Построить доказательство через контрпример для утверждения «Формула R ( x(P(x)&Q(x)) xP(x)& xQ(x) не об-

щезначима».

4.17. Из каких компонентов строится прямое математическое доказательство:

1) тезис;

124

2)антитезис;

3)аргументы;

4)контрпример;

5)демонстрация;

6)индукция?

4.18.Какие виды доказательств относятся к прямым доказательствам, а какие – к косвенным:

1)логический вывод;

2)доказательство по индукции;

3)использование контрпримера;

4)внесение противоречия;

5)доказательство от противного;

6)доказательство на основе трансфинитной индукции?

4.19.Построить прямое доказательство по индукции для утверждения: «Бинарное отношение T(N)={res(b+1,a)=1}, заданное на множестве натуральных чисел N>1, обладает свойством рефлексивности».

4.20.Построить прямое доказательство по индукции для утверждения: «Бинарное отношение T(N)={res(b,a)=1}, заданное на множестве натуральных чисел N>1, иррефлексивно».

125