Гетманов Цифровая обработка
.pdfжет быть тем меньше, чем меньше рассматриваемый временной интервал. В случае, если требуется реализовать построение модели узкополосного сигнала на большом интервале времени, то в качестве такой модели может быть использована последовательность кусочно-синусоидальных модельных функций вида (2.3.4).
Возможно уточнение модели для узкополосного сигнала на малом интервале времени, учитывающее в сигнале частотную модуляцию. Примем модель yМ(c, Ti) в виде кусочно-синусоидальной
функции с линейной частотной модуляцией |
|
|
y (c, Ti) |
acos( Ti (Ti)2 /2) bsin( Ti |
(Ti)2 /2), |
M |
|
|
где сТ (a, b, , |
), амплитудные параметры a, b |
входят в выраже- |
ние для модели линейно, частота и скорость частоты входят нелинейно.
Дальнейшее уточнение модели для узкополосного сигнала может быть реализовано на основе одновременного учѐта амплитудной и частотной модуляции. В этом случае примем модель yМ(c, Ti) в виде кусочно-синусоидальной функции с линейной
частотной и амплитудной модуляцией |
|
||
y (c, Ti) (A |
BTi)cos( |
Ti |
(Ti)2 /2 ), |
M |
|
|
|
где вектор параметров сТ |
(a, b, , |
, ); |
амплитудные параметры |
A, B входят в выражение для модели линейно; частота , скорость |
|||
частоты и начальная фаза |
входят нелинейно. |
Иногда узкополосный сигнал может реализовываться в аддитивной смеси с низкочастотным трендом, природа которого бывает самой различной. В этом случае модель сигнала с трендом на ма-
лом интервале времени для i |
|
0, 1,..., N |
1 целесообразно принять |
|
в виде |
|
|
|
|
yM(c, Ti) acos |
|
Ti bsin |
Ti d1 d2Ti, |
|
где параметры сT |
(a, b, d , d |
2 |
) входят в выражение для модели |
|
|
1 |
|
|
|
линейно; частота |
нелинейно. Низкочастотный аддитивный тренд |
на малом временном интервале представится в виде модельной ку- сочно-линейной функции d1
Для полигармонического сигнала, состоящего из суммы разночастотных узкополосных сигналов, на малом временном интервале для i 0, 1,..., N 1 возможно использование следующей модели
51
|
L |
|
|
|
|
|
|
yM(c, Ti) |
(al cos |
lTi |
bl sin |
lTi). |
|
|
|
l |
1 |
|
|
|
|
|
|
В этом случае вектор параметров cT |
(a ,..., a , b ,..., b , |
,..., |
L |
) |
|||
|
|
1 |
L 1 |
L |
1 |
|
размерности (3L,1) . Амплитуды a1,..., aL, b1,..., bL входят в модель линейно, частоты 1,..., L нелинейно.
Следует отметить важный для дальнейших рассмотрений класс моделей сигналов, которые линейно зависят от вектора параметров
cT (c ,..., |
c ) |
|
|
1 |
m |
|
|
|
m |
|
|
|
yM(c, Ti) |
cr r (Ti), i 0,1,..., N 1. |
(2.3.5) |
|
r |
1 |
|
Для линейных по параметрам моделей должны быть введены базисные функции r (Ti), r 1,..., m, известного вида, зависящие от
дискретных аргументов. Модель (2.3.5) может быть представлена в виде скалярного произведения
|
|
|
|
y (c, Ti) |
сT (Ti), |
(2.3.6) |
||
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
где |
T (Ti) ( |
1 |
(Ti),..., |
m |
(Ti)) |
– векторная базисная функция. |
||
|
|
|
|
|
|
|
Достаточно часто встречаются модели, линейные по части па-
раметров |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (c, Ti) |
y |
(c , c , Ti) |
сT |
(c , Ti). |
|
(2.3.7) |
||
|
M |
M |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
Параметры |
модели (2.3.7) |
объединяются |
в |
блочный |
вектор |
||||
сT cT , cT |
, где вектор сТ |
с ,..., с |
размерности |
m , 1 |
|||||
1 2 |
|
|
1 |
1,1 |
1, m |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
входит в модель линейно, |
вектор сТ |
с |
,..., с |
|
размерности |
||||
|
|
|
|
2 |
2,1 |
2,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
m2,1 входит в модель нелинейно.
Отметим особо подкласс линейных моделей, для которых дискретные базисные функции являются ортогональными. По опреде-
лению, функции r (Ti) , r 1,..., m, составляют ортогональный базис для точек i 0,1,..., N 1, если выполняется условие
N 1 |
|
2 |
, |
r |
s; |
|
r (Ti) |
s (Ti) |
r |
|
|
|
(2.3.8) |
0, |
|
r |
s. |
|||
i 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
2.4. Оценивание параметров моделей сигналов
2.4.1. Оценивание параметров моделей как задача аппроксимации
Рассмотрим возможную постановку задачи оценивания параметрических модельных функций сигналов. Реализуем подход, свя-
занный с оптимальной аппроксимацией наблюдений сигналов.
Допустим, что имеется возможность замены параметрической
функции сигнала p(t) |
на (t , t |
f |
), |
p(t) P , |
на специальную по- |
|
0 |
|
0 |
|
добранную модельную параметрическую функцию сигнала в виде функции известного вида f (c, t), зависящей от конечно-мерного
вектора параметров cT (c1,..., cm ). Будем считать, что функции f (c, t) принадлежат некоторому множеству F0, которое, в свою очередь, является подмножеством множества Р0:
f (c,t) |
F |
P . |
|
0 |
0 |
Условие принадлежности f (c, t) |
F0 |
будем считать эквивалент- |
ным введению ограничивающего множества для вектора парамет-
ров |
с Rm , где Rm – заданное подмножество множества Rm , |
||
|
0 |
0 |
|
Rm |
Rm, |
Rm – множество всех возможных векторов размерности |
|
0 |
|
|
|
m. Примем, что множества F |
и Rm являются замкнутыми. |
||
|
|
0 |
0 |
Из-за того, что вектор с является конечно-мерным, в общем случае оказывается невозможным осуществить замену p(t) на f (c, t)
с бесконечно малой погрешностью. Однако всегда можно подобрать такую функцию f (c, t), которая с некоторой заданной конеч-
ной точностью смогла бы заменить параметрическую функцию
p(t). Последнее означает, что для любой функции p(t), |
принадле- |
||||||||||
жащей к P , и некоторых малых , |
0 |
(не любых малых), должны |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
найтись векторы |
c R0 |
и, |
соответственно, функции |
f (c, t) F , |
|||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
которые обеспечивали бы выполнение неравенств |
|
|
|||||||||
|
p(t) |
f (c, t) |
|
, |
|
x( p(t), t) |
x( f (c,t), t) |
|
0. |
(2.4.1) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В связи с условием (2.4.1) в качестве параметрической модели сигнала может быть принята функция вида
yM (c, t) x( f (c, t), t). |
(2.4.2) |
53 |
|
Примем, что функция наблюдения у(t), модель сигнала x( f (c, t), t) и погрешности наблюдений w(t) cвязаны соотношени-
ем
у(t) x( f (c, t), t) w(t).
Введѐм функционал S(c, y), являющийся мерой близости наблюдений у(t) и модельной функции x( f (c,t), t):
S(c, y) y(t) x( f (c,t), t).
Оценка p (t) исходной параметрической функции вследствие замкнутости R0m определяется на основе решения задачи опти-
мальной и аппроксимации наблюдений заданной моделью сигнала, сводящейся к применению нелинейного программирования
c arg{ min |
S(у,c)}, p (t) f (c , t). |
(2.4.3) |
c Rm |
|
|
0 |
|
|
Таким образом, благодаря введению замены функции |
p(t) на |
f (c, t) с удовлетворением условий (2.4.1), формированием соответствующей модели сигнала x( f (c, t), t) (2.4.2) и введению функционала S(c, y) предложена технология решения задачи получения оценок исходных параметрических функций p (t) на основе нели-
нейного программирования в задаче (2.4.3).
Поясним особенности выбора модельных параметрических функций f (c, t) на примере для нестационарного колебательного
сигнала x(t), рассматриваемого на некотором ограниченном ин-
тервале времени
x(t) E(t)cos (t).
Амплитудная и фазовая функции E(t), (t) служат в качестве параметрических функций для сигнала x(t), pT (t) (E(t), (t)), p1(t) E(t), p2(t) (t). Векторная параметрическая функция p(t) для сигнала имеет размерность (2, 1).
Положим, из априорных сведений, связанных с физическими особенностями сигнала и объекта, что сигнал x(t) имеет почти си-
нусоидальную амплитудную модуляцию и его несущая частота меняется почти линейно во времени. В этом случае параметрической функции p1(t) может быть поставлена в соответствие модельная
54
функция |
f1(c, t) c10 c11 sin(c12t |
|
c13), параметрической функции |
||||||||||||
p (t) |
– |
модельная |
функция |
f |
2 |
(c, t) |
c |
c t |
c t2. |
Вектор |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
21 |
22 |
|
|
cT (c |
, c |
, c |
, c |
, c |
|
, c |
, c ) |
для f (c, t) |
имеет размерность |
||||||
|
10 |
11 |
12 |
13 |
20 |
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m 7. С учѐтом введѐнных формул для |
f1(c, t), |
f2(c, t) |
функция |
f (c, t) примет следующий вид
f (c, t) |
|
f1(c, t) |
|
c10 |
c11 sin(c12t c13 ) |
|
. |
||||
|
|
|
|||||||||
|
f |
|
(c, t) |
|
c |
|
c t c t2 |
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
20 |
21 |
22 |
|
|
||
В качестве модели сигнала может выступать функция |
x( f (c, t)t) (c10 c11 sin(c12t c13))соs (c20 c21t c22t2 ) .
Рассмотрим возможную постановку задачи нахождения решения для задачи (2.4.3) – оценивания параметрических функций сигналов в дискретном случае.
Положим, что все переменные заданы в дискретные моменты времени Ti, i 0, 1,..., N 1, T – шаг дискретности по времени. От-
резок времени наблюдения (t0, t f ) определяется условиями: t0 0,
t f T(N |
1). Разберѐм случай наблюдений, который представля- |
ется следующей моделью |
|
|
y(i) x( f (c, Ti), Ti)) w(i). |
Пусть |
погрешности наблюдений w(i) являются некоррелиро- |
ванными нормально распределѐнными нормальными числами с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Функционал S(y, c) с учѐтом заданных свойств погрешностей за-
пишется в виде соотношения
N 1 |
|
|
S(y, c) |
(y(i) x( f (c, Ti), Ti))2. |
(2.4.4) |
i |
0 |
|
Минимизация функционала S(y, c) по вектору параметров |
с Rm |
|
|
|
0 |
приводит к задаче нелинейного программирования. Нахождение оптимального вектора параметров с позволяет построить оптимальную аппроксимационную модель x( f (c , t), t), оценку для па-
раметрической модельной функции и на еѐ основе определить оценку параметрической функции сигнала
55
c arg{ min S(у, c)}, p (Ti) f (c , Ti), i 0,1,..., N 1.
c R0m
2.4.2. Оценивание параметров линейных моделей для действительных сигналов
Рассмотрим решение задачи оценивания параметров линейных моделей для действительных сигналов. Пусть произведены наблю-
дения y(i) |
y(Ti) на конечном временном интервале для |
i 0,1,..., N |
1. Представим линейную по параметрам модельную |
функцию сигнала с использованием (2.3.6) |
yM (c, Ti) cT (Ti).
Сформируем функционал S(c, y), являющийся мерой близости мо-
дели и наблюдений, |
который |
|
определяется |
|
разностями |
|||||||||
y(c, Ti) y(i) cT |
(Ti). Вследствие |
линейности модели S(c, y), |
||||||||||||
представляет собой квадратичную форму от c |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
N 1 |
|
|
N 1 |
|
|
|
cT (Ti))2. |
|
|
|
|
|
S(c, y) = |
y2 (c, Ti) |
|
(y(i) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Введѐм векторно-матричные переменные: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
y(0) |
|
|
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Y |
y(1) |
|
, |
c |
|
c2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(N 1) |
|
|
|
|
cm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1(T 0), |
2 (T 0), |
|
... |
|
m (T 0) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
X |
|
1(T 1), |
2 (T 1), |
|
... |
|
m (T 1) |
|
, |
|||||
|
. |
|
. |
|
|
|
... |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1(T(N |
1)), |
2 (T(N |
1)), ... |
|
m (T(N |
1)) |
|
где Y – вектор наблюдений размерности (N,1); c – вектор параметров модели размерности (m, 1); X – матрица плана сигнала размерности (N, m). Нетрудно видеть, что разность для наблюдений и модели может быть сформирована в векторном виде
56
Y(c) Y Xc . |
(2.4.5) |
На основе введѐнных векторов и матриц функционал S(c, Y) запи-
сывается как скалярное произведение и представляет собой квадратичную форму
S(c, Y) YT (c) Y(c) (Y Xc)T (Y Xc) |
(2.4.6) |
|
YTY YT Xc cT X TY cT X T Xc. |
||
|
С учѐтом того, что имеет место равенство YT Xc cT XTY, можно записать
S(c, Y) YTY 2cT XTY cT XT Xc.
Нетрудно проверить, что для квадратичной формы S(c, Y) спра-
ведливо равенство
YTY 2cT XTY cT XT Xc YTY ((XT X) 1 XTY c)T (XT X ) ((XT X) 1 XTY c) YT X(XT X)XTY.
Очевидно, минимальное значение этой квадратичной формы достигается при
c (XT X) 1 XTY. |
(2.4.7) |
Последнее выражение может быть представлено в виде системы линейных уравнений
X T X c |
XTY. |
Введѐм обозначения D X T X , b |
XTY. Матрица D имеет раз- |
мерность (m, m); элементы этой матрицы симметричны относи-
тельно главной диагонали и определяются как скалярные произведения базисных функций
N 1 |
|
|
drs |
r (Ti) s (Ti), |
r, s 1,..., m. |
i |
0 |
|
Элементы вектора b |
XTY размерности (m,1) – коэффициенты |
|
Фурье, вычисляются как взвешенные суммы наблюдений |
||
|
N 1 |
|
br |
r (Ti)y(i) , |
r 1,..., m. |
|
i 0 |
|
Нахождение оптимального вектора параметров c сводится к решению линейной системы уравнений
Dc b.
57
2.4.3. Оценивание параметров линейных моделей для комплексных сигналов
Рассмотрим решение задачи оценивания параметров линейных моделей для комплексных сигналов. Введѐм комплексные наблю-
дения y(i) |
y (i) |
jy (i) |
и комплексную модель сигнала |
cT (Ti), |
||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
определяемую комплексным вектором параметров cT |
(c ,...,c ) и |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
m |
комплексной |
базисной |
функцией |
T (Ti) ( |
1 |
(Ti),..., |
m |
(Ti)), |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сr |
c1r jc2r , |
r (Ti) 1r (Ti) |
j 2r (Ti), |
|
|
r |
1,..., m, |
|||
i |
0,1,..., N |
1. Функционал (2.4.6) в этом случае запишется с ис- |
пользованием суммы произведений сопряженных комплексных множителей
N 1 |
|
|
S(c, Y) |
(y(i) cT (Ti))*(y(i) cT (Ti)). |
(2.4.8) |
i |
0 |
|
По аналогии с (2.4.5) введѐм комплексную разность функции наблюдения и модели Y(c) Y Xc. Воспользовавшись введѐнными
векторно-матричными переменными, но в комплексной форме, представим функционал S(Y, c) (2.4.8)
S(Y, c) Y*T (c) Y(c) (Y Xc)*Т (Y Xc).
С учѐтом равенства Y*T Xc c*T X*T Y запишем
S(Y, c) (Y Xc)*Т (Y Xc)
(2.4.9)
(Y* X *c*)T (Y Xc) Y*T Y 2Y*T Xc c*T X *T Xc.
Очевидно, справедливо равенство
Y*T Y 2Y*T Xc c*T X*T Xc Y*Т Y ((X*Т X ) 1 X*Т Y c*)T
(X*Т X) ((X*Т X) 1 X*Т Y c) YT X*(X*T X ) 1 X*T Y.
Минимальное значение этой квадратичной формы (2.4.9) достигается при
c (X*T X ) 1 X*T Y. |
(2.4.10) |
Оценка с из (2.4.10) может быть найдена с помощью решения системы линейных уравнений
58
|
(X*T X) c |
X*T Y, Dc |
b. |
(2.4.11) |
|||
Коэффициенты матрицы D вычисляются в виде скалярных произ- |
|||||||
ведений векторов |
* (Ti), |
s |
(i), |
i 0,1,..., N |
1: |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
* (Ti) |
|
|
|
|
|
d |
rs |
s |
(Ti) , r, s |
1,..., m. |
(2.4.12) |
||
|
r |
|
|
|
|
||
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты вектора b (коэффициенты Фурье) вычисляются в
виде скалярных |
произведений |
векторов |
* (Ti), |
y(i), |
|
|
|
r |
|
i 0,1,..., N 1: |
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
b |
* (Ti)y(i) , |
r 1,..., m. |
|
(2.4.13) |
r |
r |
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
Если базисные функции ортогональны, то нахождение параметров модели упрощается. Матрица D будет диагональной с элементами
drr r2 , r 1,..., m, drs 0, r s.
Оптимальные параметры модели выразятся через коэффициенты Фурье
|
1 N 1 |
* (Ti)y(i) |
b |
|
|
|
|
с |
|
|
r |
, |
r 1,..., m. |
(2.4.14) |
|
r |
2 |
|
r |
2 |
|
|
|
|
r i 0 |
|
r |
|
|
|
2.5. Модели сигналов на основе рядов Фурье. Интеграл Фурье
2.5.1. Модели сигналов на основе действительного ряда Фурье
Рассмотрим построение моделей сигналов на основе действительного ряда Фурье.
Пусть наблюдения cигнала заданы в виде действительной функции y(t) на конечном интервале времени 0 t T0. Рассмот-
рим варианты условий сходимости рядов Фурье для y(t) . Первый вариант: если в некотором промежутке (t0 h, t0 h) с центром в точке t0 функция y(t) имеет ограниченное изменение, то еѐ ряд
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: Физматгиз. 1963. 656 с.
59
Фурье в указанном интервале для t0, 0 t0 T0, сходится к y(t0). Второй вариант: если функция y(t), определѐнная на интервале 0 t T0, имеет на нѐм не более чем конечное число точек разрыва, еѐ ряд Фурье в точке непрерывности t0 сходится к y(t0 ) или к сумме (y(t0 0) y(t0 0))/2 в каждой точке разрыва t0. Будем полагать, что для рассматриваемого сигнала y(t) выполнены
сформулированные условия сходимости.
Выбирается модель для указанного сигнала в форме действи-
тельного ряда Фурье следующего вида |
|
|
|
||||
|
yM (c, t) |
a0 |
|
(al cos |
lt bl sin lt). |
|
(2.5.1) |
|
2 |
|
|
||||
|
|
l |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Значения |
модельных |
|
частот |
фиксированы |
l |
l, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 /Т0, |
l 2 l T0 и определяются длиной интервала наблю- |
дения, модельные синусоиды располагаются с шагом по частоте , который зависит от Т0. Вектор параметров модели имеет бес-
конечную размерность, |
сT (a , a , a ,....., b , b ,....), |
b 0. |
Благо- |
||||
|
0 |
1 |
2 |
1 |
2 |
0 |
|
даря выбору частотного параметра |
|
оказывается, что на интер- |
вале времени Т0 укладывает целое число периодов базисных
функций cos lt |
cos |
lt и sin lt |
sin |
lt. Вследствие этого, |
|||
указанные базисные функции являются ортогональными. |
|||||||
Функционал для решения задачи аппроксимации функции на- |
|||||||
блюдений y(t) на основе сформированной модели имеет вид |
|||||||
|
T0 |
|
a0 |
|
|
2 |
|
S(c, y) |
y(t) |
|
(al |
cos lt |
bl sin lt) dt. |
||
2 |
|||||||
|
0 |
l 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Нахождение вектора параметров модели сводится к минимизации указанного функционала, который, очевидно, является квадратичным по с:
с arg{min S(c, y)}, |
c T (a , a , a ,....,b , b ,...). |
||||
c |
0 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Ограничимся конечным числом синусоид, составляющих модель, равным L. В этом случае вектор базисных функций для моде-
60