Министерство образования Российской Федерации

Кубанский государственный технологический университет

Кафедра электроснабжения промышленных предприятий

Лабораторная работа № 2

по курсу «Математическое моделирование в электроэнергетике»

Программирование алгоритмов решения систем линейных и нелинейных уравнений

Выполнил:

Ст. гр. 12-НБ-ЭЭ2

Черкасов.А.В

12-НБк-155

Проверил:

канд. тех. наук, доцент

Беседин Е.А

Краснодар, 2014

ЦЕЛЬ И ПРОГРАММА РАБОТЫ

1 Целью работы является изучение использования вычислительных возможностей программы «Mathcad» и «MatLAB» для решения линейных и нелинейных уравнений

2 В программу работы входит:

1. Составление программы для уточнения корня методами:

1.1. Прямым методом обратной матрицы в среде MathCad.

1.2. Прямым методом Гаусса с обратным ходом путем проведения ручных расчетов.

1.3. Прямым методом Гаусса с обратным ходом в среде MathCad.

1.4. Прямым методом Гаусса с обратным ходом в среде MatLab.

1.5. Итерационным методом простой итерации в среде MathCad

2. В соответствии с вариантом задания найти решение системы нелинейных уравнений следующего вида методом Ньютона:

3. Составление отчета.

Задание к лабораторной работе № 2

1. В соответствии с вариантом задания найти решение системы линейных уравнений следующими методами:

1.1. Прямым методом обратной матрицы в среде MathCad.

1.2. Прямым методом Гаусса с обратным ходом путем проведения ручных расчетов.

1.3. Прямым методом Гаусса с обратным ходом в среде MathCad.

1.4. Прямым методом Гаусса с обратным ходом в среде MatLab.

1.5. Итерационным методом простой итерации в среде MathCad.

Вариант задания выбрать из таблицы П.1

Таблица П.1 – Варианты систем линейных уравнений

Номер варианта	Система линейных уравнений
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Примечание: номер варианта выбирается по последней цифре зачетной книжки. Для нулевой последней цифры выбирается вариант 10. Внутри уравнений в качестве значения принимается значение предпоследней цифры зачетной книжки. Если оно равно нулю, то значение .

2. В соответствии с вариантом задания найти решение системы нелинейных уравнений следующего вида методом Ньютона:

Примечание: внутри уравнений в качестве значения принимается значение предпоследней цифры зачетной книжки, а в качестве значения - значение последней цифры зачетной книжки. Если какое-либо значение из них равно нулю, то вместо нуля в уравнение подставляется 10.

Задание принял студент: Черкасов.А.В

Группа: 12-НБ-ЭЭ2

Предпоследняя цифра зачетной книжки: 5

Последняя цифра зачетной книжки: 5

Выполнение работы.

1.Взяли выражение линейного уравнения согласно номеру зачетной книжки (175)

Значение а=5(предпоследняя цифра зачётки)

2. Путем проведения ручных расчетов прямым методом Гаусса с обратным ходом находим решение системы уравнений.

Исходная система:

На первом шаге в исходной системе уравнений первое уравнение делим на . Далее исключается из всех последующих уравнений () путем умножения первого уравнения каждый раз на и вычитания из -го уравнения. В ре­зультате этих операций получается система уравнений с матрицей коэффициентов :

Выполнение операций первого шага требует, чтобы элемент , называемый ведущим, был отличен от нуля.

На втором шаге в полученной на первом шаге системе уравнений второе уравнение делится на . Далее исключается из всех последующих уравнений () путем умножения первого уравнения каждый раз на и вычитания из -го уравнения. В ре­зультате этих операций получается система уравнений с матрицей коэффициентов :

На третьем шаге в полученной на втором шаге системе уравнений третье уравнение делится на . Далее исключается из всех последующих уравнений () путем умножения первого уравнения каждый раз на и вычитания из -го уравнения. В ре­зультате этих операций получается система уравнений с матрицей коэффициентов :

На четвертом шаге в полученной на третьем шаге системе уравнений четвертое уравнение делится на . Далее исключается из всех последующих уравнений () путем умножения первого уравнения каждый раз на и вычитания из -го уравнения. В ре­зультате этих операций получается система уравнений с матрицей коэффициентов :

:

3. Набираем текст программы в программе «MathCad» и находим решение системы методом обратной матрицы и с помощью встроенной функции isolve. Файл «lr2.mcd» в папке «Лабораторная работа №2».

x₁= 0.643

x₂= 0.98

x₃= 0.378

x₄= -0.745

4. Набираем текст программы в программе «MathCad» и находим решение системы используя метод Гаусса с обратным ходом. Файл «lr2.mcd» в папке «Лабораторная работа №2».

x₁= 0.643

x₂= 0.98

x₃= 0.378

x₄= -0.745

5. Набираем текст программы в программе «MatLab» и находим решение системы используя метод Гаусса с обратным ходом. Файл «lr2.m» в папке «Лабораторная работа №2».

x =

0.643

0.98

0.378

-0.745

6. Набираем текст программы в среде «MathCad» используя итерационный метод простой итерации. Файл «lr2.mcd» в папке «Лабораторная работа №2».Решение “при eps=0,1” будет иметь такой вид:

,

Таблица 1 – Результаты расчета методом простой итерации

Результаты расчета	Заданная точность приближения eps
	1,0	0,5	0,1	0,05	0,01	0,005	0,001	0,0005	0.00001
	0,65	0,65	0,644	0,644	0,643	0,643	0,643	0,643	0,643
	0,989	0,989	0,98	0,98	0,98	0,98	0,98	0,98	0,98
	0,379	0,379	0,379	0,379	0,378	0,378	0,378	0,378	0,378
	-0,754	-0,754	-0,745	-0,745	-0,745	-0,745	-0,745	-0,745	-0,745

7. Взяли выражение нелинейного уравнения согласно номеру зачетной книжки (155)

Значение а=5 b=5

8. Набираем текст программы в среде «MathCad» и находим решение системы используя итерационный метод Ньютона. Файл «lr2.mcd» в папке «Лабораторная работа №2».

Таблица 2 – Результаты расчета методом Ньютона

Результаты расчета	Заданная точность приближения eps
	1,0	0,5	0,1	0,05	0,01	0,005	0,001	0,0005	0.00001
	1,59	1,361	1,341	1,341	1,341	1,341	1,341	1,341	1,341
	2.085	2.074	2.074	2.074	2.074	2.074	2.074	2.074	2.074
	1,978	1,975	1,975	1,975	1,975	1,975	1,975	1,975	1,975

Вывод:

Вывод по таблицам 1 и 2:

Результат сходится быстрее при решении методом Ньютона. Сходимость происходит при заданной точности приближения eps=0,5 в методе Ньютона, тогда как в методе простой итерации сходимость происходит при eps=0,05.

Метод Гаусса

Достоинство метода – решение находится путем выполнения достаточно малого количества вычислений.

Недостаток – обязательное условие ненулевых ведущих элементов. В противном случае решения не будет, а при значениях этих элементов близких к нулю решение получается со значительными погрешностями.

Метод простой итерации

Итерационные методы решения являются альтернативой прямым методам. Они дают возможность найти приближенное решение с заранее заданной точностью за определенное количество итераций. Количество итераций зависит от вида системы уравнений и соотношения ее коэффициентов. Количество итераций может быть малым, а может быть и бесконечным, т.е. когда система уравнений не решается этим методом.

Метод Ньютона

Достоинством данного метода является быстрая его сходимость. Недостатком является то, что процесс вычисления матрицы Якоби и нахождение ее обратной матрицы является достаточно трудоемким процессом.

Метод обратной матрицы

Метод обратной матрицы можно применять при сравнительно небольших размерностях систем линейных уравнений. С увеличением увеличиваются трудности в нахождении обратных матриц.

Предпоследняя цифра зачетной книжки: 5

Последняя цифра зачетной книжки: 5