ЛЕКЦИЯ 5 Методы преобразований

ЛЕКЦИЯ 5 СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ

Вопросы:

1.Способ замены плоскостей проекций.

2.Способы вращения (вращение вокруг оси, перпендикулярной к

плоскости проекций; способ плоскоспараллельного перемещения; вращение вокруг оси, параллельной плоскости проекций; способ совмещения).

Задание прямых линий и плоских фигур в частных положениях относительно плоскостей проекций значительно упрощает решение задач, а подчас позволяет получить ответ или непосредственно по чертежу, или при помощи простейших построений.

Способы преобразования чертежа дают возможность переходить от общих положений прямых линий и плоских фигур относительно плоскостей проекций к частным. Это достигается:

1) изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем их вращения вокруг некоторой оси так, чтобы прямая или фигура оказались в частном положении относительно неизменной системы

2) заменой системы плоскостей проекций новой системой так, чтобы прямая линия или плоская фигура, не изменяя своего положения в пространстве, оказались в каком-либо частном положении в новой системе плоскостей проекций (способ замены плоскостей проекций).

1 СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Способ замены плоскостей проекций широко применяют в машиностроении.

Сущность способа: положение точек, плоских фигур, поверхностей в пространстве не изменяется, а система плоскостей проекций π2/π1 дополняется новыми плоскостями, образующими с π1, π2 или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.

Каждая новая система выбирается так, чтобы по отношению к заданным геометрическим элементам она заняла положение, наиболее удобное для выполнения требуемого построения.

На рис. 40 изображена точка А в системе π2/π1. Затем плоскость π2 заменена плоскостью проекций π4, которая также перпендикулярна к π1. Образовалась система π4/π1; x1-ось проекций в новой системе плоскостей.

параллельной заданному отрезку АВ. Новая ось проекций x 1 при этом, очевидно, должна быть параллельна горизонтальной проекции A1B1 отрезка. Для нахождения новой фронтальной проекции отрезка построены новые фронтальные проекции его концов (точек А и В) в системе π2/π4. Новая

фронтальная проекций A4B4 отрезка — истинная величина отрезка АВ.

На рис. 44 эта же задача решена путем замены плоскости проекций π1 новой плоскостью π4. В этом случае новая ось должна быть расположена параллельно A2B2. Новая горизонтальная проекция (A4B4) отрезка — его истинная величина.

Задача 2. Определить расстояние от точки S до плоскости треугольника ABC.

Расстояние от точки до плоскости может быть определено непосредственно на эпюре, если плоскость будет проецирующей.

Заменим плоскость π2 на новую плоскость проекций π4 (рис.45) . Плоскость π4 выберем так, чтобы она оказалась перпендикулярной плоскости треугольника ABC. Новая ось проекции x 1 при этом должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали. Проецируем треугольник АВС и точку S на новую плоскость. Через точку S4 проводим перпендикуляр к отрезку A4C4. Искомое

расстояние S4K4.

Рисунок 45

Задача 3. Определить угол наклона плоскости Р к горизонтальной плоскости проекций (рис. 46)

Если плоскость, заданная следами, фронтально-проецирующая, то угол, образованный фронтальным следом с осью проекций, и будет определять угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций.

Заменим систему плоскостей π2/ π1 новой системой π4/π1. Новую ось x 1 проведем перпендикулярно следу Pπ1.

Положение следа Pπ1 не изменяется. Точка Рх1 — точка схода следов в новой системе.

Задача 1. Определить натуральную величину отрезка АВ прямой l (рис.50)

Проводим ось вращения i (i1,i2) перпендикулярно π1 через точку В(B1B2) прямой l (l1,l2). При вращении прямой l вокруг оси i точка В прямой останется неподвижной, так как принадлежит оси, а точка А будет вращаться по правилам, рассмотренным выше. Точку А поворачиваем относительно оси i на угол α, прямая l в этом случае займет положение, параллельное плоскости π2, а следовательно, спроецируется на эту плоскость в натуральную величину (A2 B2). Одновременно в натуральную величину проецируется угол наклона ( )

горизонтальной проекции горизонтали ( = K1 A1 K1'). Точка A1 неподвижна, так как она принадлежит оси вращения. Остальные построения основаны на правилах, изложенных ранее, и понятны из чертежа. Треугольник АВ'С' перпендикулярен π2 и поэтому его фронтальная проекция B2' A2 C2' вырождается в прямую линию.

Для того чтобы плоскость преобразовать в горизонтально - проецирующую, ее необходимо вращать вокруг оси i π2, а в качестве вспомогательной линии уровня взять фронталь.

2.2 Способ вращения без указания положения осей (плоскопараллельное перемещение)

При вращении любой пространственной формы около оси, перпендикулярной одной из плоскостей проекций, проекция ее на эту плоскость но своей величине не изменится. Изменится лишь положение этой проекции относительно оси проекций. Что касается другой проекции - на плоскость, параллельную оси вращения, - то все точки этой проекции (за исключением точек, расположенных на оси вращения) перемещаются по прямым, параллельным оси проекций.

Пользуясь этим, для решения той или иной задачи можно применять способ вращения, не изображая на чертеже осей вращения. На рис. 52 определена истинная величина треугольника ABC способом вращения без указания положения осей. Сначала вращением вокруг некоторой оси, перпендикулярной плоскости π1 (положение ее на чертеже не указано), треугольник поставлен перпендикулярно плоскости π2, затем поворотом вокруг какой-либо оси, перпендикулярной плоскости π2, треугольник приведен в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций π1.

Рисунок 52

2.3 Вращение вокруг оси, параллельной плоскости проекций

Вращение вокруг линии, параллельной плоскости проекций, позволяет повернуть плоскую фигуру в положение, параллельное плоскости проекций. В этом случае ортогональная проекция фигуры будет конгруентна оригиналу, что позволит определить все метрические характеристики проецируемой фигуры непосредственно по ее проекции без каких-либо дополнительных построений.

Следовательно, для нового изображения горизонтальной проекции треугольника надо найти положение других двух его вершин.

Рассмотрим вращение вершины В (рис. 54). Точка В вращается вокруг некоторой горизонтально расположенной оси ОN, описывая дугу окружности, лежащую в плоскости S. Эта плоскость перпендикулярна к оси вращения и, следовательно, является горизонтально-проецирующей; поэтому горизонтальная проекция окружности, описываемой точкой В, должна находиться на следе Sπ1.

Если треугольник, одной из вершин которого является точка В, займет положение, параллельное плоскости π1, то радиус вращения точки В (отрезок ОВ) расположится параллельно плоскости π1 и ОВ=O1B1. Опуская

продолжением перпендикуляра O1B1 определяем новое положение точки B1 – B1'. Затем определяем положение точки С, причем можно не определять радиус точки С, а найти положение точки C1 в пересечении двух прямых, одна из которых является перпендикуляром, проведенным из точки C1 к прямой A1D1, а другая проходит через найденную точку B1' и точку D1. Горизонтальная проекция A1 B1' C1' равна самому треугольнику АВС, так как после вращения плоскость треугольника АВС параллельна плоскости π1.

2.4 Способ совмещения

Способ совмещения является частным случаем способа вращения плоскости вокруг горизонтали или фронтали, когда за ось вращения принимается горизонтальный или фронтальный след плоскости.

Сущность способа совмещения состоит в том, что плоскость R (рис. 55) вращением вокруг следа Rπ1 совмещается с плоскостью проекций π1. Горизонтальный след плоскости (ось вращения) при этом остается на месте.

Для нахождения совмещен-

тальному следу Rπ1 плоскости R, т. е. оси вращения. Совмещенное положение N1 точки N определилось в пересечении этой дуги с горизонтальным следом Pπ1 плоскости P. Прямая, проходящая через точки Rх и N2', и есть R π2’ .

На рис. 56 это же построение выполнено на эпюре. Истинная величина радиуса вращения ONо точки N опреде-

лена способом прямоугольного треугольника. Когда точка схода следов

Рх плоскости находится в пределах чертежа (рис. 56), совмещенное положение точки N можно найти более простым построением. Так как PxN2 = РхN2' то, проведя из точки Рх дугу радиуса PxN2 до пересечения со следом R π1 , найдем совмещенное положение точки N. Чтобы совместить с плоскостью π1 точку, принадлежащую плоскости Р, но не лежащую на следе P π2 ,нужно найти совмещенное положение горизонтали, проходящей через заданную точку, и из горизонтальной проекции точки опустить перпендикуляр на след P π1 до пересечения с совмещенной горизонталью (точка А на рис. 56).

При помощи способа совмещения можно построить в плоскости общего положения фигуру, форма и размеры которой заданы.

Задача.

Определить натуральную величину треугольника АВС, лежащего в плоскости S, если задана его горизонтальная проекция (рис.57)

пошаговое решение задачи:

Рисунок 58