методичка КР СУТПиИТ

Для расчета устойчивости необходимо найти передаточную функцию разомкнутой САУ по формуле 1

4.1.1 Структурные преобразования САУ

Прежде чем приступить к анализу устойчивости САУ необходимо определить характеристическое уравнение замкнутой системы (рисунок 1). Оно может быть найдено путем приравнивания знаменателя передаточной функции замкнутой системы нулю, т.е.

Таким образом, если известна передаточная функция разомкнутой системы, то для получения характеристического уравнения замкнутой системы необходимо сложить полиномы числителя и знаменателя и приравнять сумму нулю

A(P)+B(P)=0.

4.1.2 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Приводится без доказательства. Если характеристическое уравнение САУ имеет вид

то система автоматического управления будет устойчива, если при a 0 > 0 будут положительны все главные диагональные миноры определителя Гурвица до n − 1 порядка.

Определитель Гурвица составляется следующим образом: по диагонали записывают коэффициенты от a1 до a n−1, над диагональю записывают коэффициенты с возрастающим индексом, под диагональю - с убывающим, недостающие коэффициенты заменяются нулями. Например, для системы, имеющей характеристическое уравнение 4-й степени, получим

11

Поскольку D4 = D3 × a4 , то при соблюдении необходимого условия устойчивости (положительность всех коэффициентов) достаточно чтобы положительными были n − 1 диагональный минор. Очевидным является также утверждение, что при an=0 будет иметь место нулевой корень ха-

рактеристического уравнения, т.е. система будет находиться на границе устойчивости. Если a n ¹ 0, а D n−1 = 0, то в характеристическом уравнении будут чисто мнимые корни, и она также будет на границе устойчивости. При этом все главные диагональные миноры до n − 1 порядка должны быть положительными.

Пример

Пусть характеристическое уравнение системы: p4+8p3+6p2+7p+1=0, тогда a0=1, a1=8, a2=6, a3=7, a4=1.

Определитель Гурвица:

Главные диагональные миноры: D1(K1,T1)=a1, D1(K1,T1)→8.

D2(K1,T1)=a1a2-a3a0=41,

D3=a1a2a3-a4(a1)2-a0(a3)2=223.

Следовательно, система устойчива.

4.1.3 Частотный критерий устойчивости Михайлова

Если в характеристическом уравнении

нии ω от− ∞ до + ∞ (рисунок 2). При этом могут быть два случая: корень p1 находится в левой полуплоскости комплексной плоскости, т.е. имеет отрицательную вещественную часть; корень p1 находится в правой полуплоскости комплексной плоскости.

вается против часовой стрелки ( в положительном направлении ) и при ω = +∞ направлен вверх, т.е.

стрелке, т.е.

13

arg( jω − p1) = −π .

− ∞ < ω < +∞

Вектор G ( jω ) представляет произведение элементарных векторов (5), поэтому, если все корни характеристического уравнения (2) находятся в левой полуплоскости комплексной полуплоскости, т.е. САУ устойчива, то

arg( jω) = nπ .

− ∞ < ω < +∞

Из формулы (6) следует, что

G ( jω ) = an + an −2 ( jω )2 + an −4 ( jω )4 + K + an−1 jω + an−3 ( jω )3 +

+ an −5 ( jω )5 + L = x(ω ) + jy (ω ),

где

x(ω) = a n − a n −2ω2 + a n−4ω4 −L, y(ω) = a n−1ω − a n−3ω3 + a n−5ω5 −L.

Вещественная часть G ( jω ) равна x(ω ) - частная функция ω, поэтому ветвь G ( jω ) , построенная при изменении ω от − ∞ до 0, будет симметрична ветви при изменении ω от 0 до + ∞ . Нет смысла изменять ω от − ∞ до + ∞ , достаточно построить G ( jω ) при изменении ω от 0 до + ∞ . При этом приращение аргумента G ( jω ) будет в два раза меньше. Если САУ имеет характеристическое уравнение, корни которого находятся в левой полуплоскости, то

arg G( jω) = n π , 2

0 < ω < +∞.

Поскольку необходимое условие требует положительности и наличия всех коэффициентов характеристического уравнения, то для устойчивой САУ G( j0) = an .

САУ будет устойчива, если годограф Михайлова, начинаясь на положительной вещественной полуоси, последовательно проходит в положительном направлении (против часовой стрелки) " n " квадрантов при изменении ω от 0 до + ∞ , где n - степень характеристического уравнения.

14

-Im

Рисунок 2 - Вращение элементарных векторов

Годограф Михайлова для устойчивых систем автоматического управления при n = 1,2,3,4 изображен на рисунке 3, начинаясь на вещественной положительной полуоси, годограф Михайлова проходит против часовой стрелки последовательно n квадрантов. Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то САУ находится на границе устойчивости. При этом, если он начинается с нуля, то это указывает на наличие нулевого корня, если годограф начинается на положительной вещественной полуоси, но затем проходит через начало координат, то значит имеются мнимые корни в характеристическом уравнении.

Если годограф Михайлова непоследовательно проходит квадранты комплексной плоскости или проходит не " n " квадрантов, то САУ неустойчива.

15

Для анализа устойчивости по частотному методу Михайлова запишем выражение годографа Михайлова. Для этого в характеристическое уравнение подставим

P=jω ,

G(j ω )=5(jω )3+2(jω )2+2(jω )+1 .

Для облегчения процесса построения G(jω ) при изменении ω от 0 до + ∞ , найдем точки пересечения с вещественной и мнимой осью комплексной плоскости. Для этого представим G(jω ) в виде вещественной и мнимой части:

G(j ω )=х(ω )+jy( ω )=1-2 ω 2 +j(2ω − 5ω3 ) .

Поскольку j2=-1 , j3=-j.

Для определения точек пересечения годографа Михайлова с вещест-

венной осью приравняем нулю мнимую его часть: 2ω − 5ω3 =0.

управления неустойчива. В этом легко убедиться, построив годограф по полученным точкам( рисунок 4 ), из которого следует, что он непоследовательно проходит 3 квадранта в положительном направлении при изменении ω от 0 до + ∞ . Он из первого квадранта попадает в четвертый, а затем в третий.

Система неустойчива.

17

Рисунок 4 – Годограф Михайлова

4.2 Проектирование системы управления

При выполнении проектирования системы управления необходимо: 1. Дать краткое описание технологического

процесса с указанием технологического регламента (значений и погрешности измерения регулируемых и контролируемых величин),описать блокировки процесса при аварийных режимах и способы представления информации о них (световая, звуковая сигнализация, отключения и переключения);

2. Выбрать средства контроля и управления и пояснить их взаимодействие (привести описание работы системы автоматизации);

3. Составить схему автоматизации.

18

Схема автоматизации является основным техническим документом, определяющим структуру (иерархию) пунктов контроля и управления, функции систем контроля и управления автоматизируемого объекта, оснащение СА техническими средствами: приборами и средствами автоматизации, щитами, пультами, вычислительной техникой и т.п..

На основе схем автоматизации осуществляется разработка остальной проектной документации.

Схемы автоматизации разрабатываются после изучения технологии производства (или технологии инженерной системы), особенностей его функционирования, действий производственного персонала по пуску, остановке производства и поддержанию процесса в требуемом режиме, правил безопасной эксплуатации конкретного производства (оборудования), задания на автоматизацию объекта, опыта эксплуатации систем автоматизации на аналогичных действующих объектах.

Общие правила выполнения схем автоматизации На схеме автоматизации изображают:

1)технологическое и инженерное оборудование и коммуникации (трубопроводы, газоходы, воздуховоды) автоматизируемого объекта (в дальнейшем – технологическое оборудование);

2)технические средства автоматизации или контуры контроля и управления;

3)линии связи между отдельными техническими средствами автоматизации;

5)необходимые пояснения к схеме.

При этом допускается наносить текстовые пояснения либо непосредственно на схеме, либо выполнять в качестве последующего листа к схеме автоматизации.

Над основной надписью, по ее ширине, сверху вниз располагают при необходимости таблицу не предусмотренных стандартами условных обозначений.

-Толщину линий на схеме выбирают на основании требований ГОСТ 2.303 и ГОСТ 21.404.

19

Рекомендуется использовать линии следующей толщины:

1)контурные (для агрегатов, установок, технологических аппаратов) - 0,2-0,5 мм;

2)коммуникаций - 0,5-1,5 мм;

3)обозначений приборов и средств автоматизации - 0,5-0,3 мм;

4)линий связи - 0,2-0,3 мм;

5)прямоугольников, изображающих щиты, пульты, агрегатированные комплексы и т.п. - 0,5-1 мм;

6)выносок - 0,2-0,3 мм.

При одинаковой толщине линий различного назначения их рекомендуется вычерчивать (для выделения) по толщине в противоположных (большем и меньшем) пределах.

Размеры цифр и букв для позиций, позиционных обозначений и надписей выбирают на основании ГОСТ 2.304.

Рекомендуется применять следующие размеры шрифта:

1)для позиций - цифры - 3,5 мм; буквы (строчные) - 2,5 мм;

2)для позиционных обозначений - буквы и цифры - 3,5 мм;

3)для пояснительного текста и надписей - 4- 5 мм.

Расстояние между параллельными линиями связи должно быть не менее 3 мм.

Условные графические обозначения и размеры условных графических обозначений по ГОСТ 21.404 приведены в приложении В, таблица В1.

Условные буквенные обозначения по ГОСТ 21.404 приведены в приложении Г, таблица Г1.

Выбор средств контроля и регулирования осуществить из числа серийно выпускаемой продукции отечественных производителей.

20