Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный технологический университет

Предмет:

Математика

Файл:

Tipovye_kontrolnye_zadania_s_otvetami_mat

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

963 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

В свою очередь производная также берется по правилу дифференцирования сложной функции:

Ответ.

13. Полное исследование функции и построение графика

x4
y x3 1
1. Область определения
x3 1 0;	x 1, поэтому x ;1 1;

2.Пересечение с осями координат: точка 0;0 .

3.Ввиду того, что область определения несимметрична относительно начала координат, проверка на четность невозможна.

4.Интервалы знакопостоянства

Так как

x4 0 x R , то знак дроби

будет зависеть только от знака

знаменателя, т.е. от знака x3 1 x 1 x2 x 1 . Поэтому при

x ;0 0;1 y 0 , а при x 1;

y 0 .

5. Интервалы монотонности

4x3

1 x4 3x2

4x6

4x3 3x

x6 4x3

;

x3 1 2

x6 4x3 0;

x3 x3 4 0;

3 4

При x ;0

4; функция возрастает,

При x 0;1 1;3

функция убывает.

0;0 - точка максимума,

- точка минимума.

6. Интервалы выпуклости и вогнутости:

6x5 12x2

x3 1 2 6x2 x6

4x3 x3

x3 1 4

6x2

x3 2 x3 1 x6 4x3

6x2

x3 2x3 2 x6 4x

x3 1 3

6x2 x3 2 ;

x3 1 3

x3 2 0; x 32

x ; 32 1; график функции вогнутый, x 32; 1 график функции выпуклый.

				2 3
					2
					2
	3	2;
	3	2;
				3
				3			- точка перегиба.
							- точка перегиба.
7. Асимптоты
						x4
Так как lim								, то x 1 - вертикальная асимптота.
Так как lim								, то x 1 - вертикальная асимптота.
			x 1 x3 1

Уравнение наклонной асимптоты будет искать в виде y kx b :

k lim

b lim

lim

x x x

x x

Следовательно, y x - наклонная асимптота.

КР: "Интегралы".

Примерные задания на контрольную работу:

Вариант 31

а. Найти неопределѐнный		4arctg x x				dx.
интеграл		1		x	2	dx.
интеграл		1		x
б. Вычислить определѐнный	2
б. Вычислить определѐнный	x ln		2	xdx.
интеграл	x ln			xdx.
	1

в. Вычислить определѐнный

1 2

8x arctg 2x

dx.

интеграл

г. Вычислить площади фигур,

y x

9 x2 ,

y 0,

ограниченных кривыми

0 x 3 .

д. Вычислить длины дуг

y ch x 3,

0 x 1.

кривых

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ :

а. Найти неопределѐнный

4arctg x x

dx.

интеграл

1 x

Постановка задачи и план решения: Интегрирование подведением под

знак дифференциала

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл F(x)g(x)dx

План решения. Пусть g(x) имеет очевидную первообразную G(x), а F(x) есть функция этой первообразной, т.е. F(x)=u(G(x)). Тогда

F(x)g x dx u G x G' x dx u G dG

Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала.

Если метод избран удачно, то последний интеграл оказывается табличным или известным образом сводится к табличному.

а. Найти неопределѐнный

4arctg x x

dx.

интеграл

4arctgx x

arctgx

xdx

d 1 x2

ln 1 x

dx 4

4 arctgxd arctgx

2arctg

1 x

б. Вычислить

x ln

xdx.

определѐнный интеграл

Постановка задачи и план решения: Интегрирование по частям

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл F(x)g(x)dx

План решения. Пусть g(x) имеет очевидную первообразную G(x), а F x 0 дифференцируемая функция, причем ее производная f x F ' x 0 является более простой функцией, чем. F x Тогда применяем формулу интегрирования по частям.

F x g x dx F x G x f x G x dx

Если метод избран удачно, то интеграл в правой части этого равенства оказывается табличным или известным образом сводится к табличному, например, повторным интегрированием по частям.

Замечание 1. Чаще всего в учебниках и справочных пособиях встречается следующая формула интегрирования по частям (обозначения которой мы и используем в решениях): UdV UV VdU

Замечание 2. В случае определенного интеграла имеем формулу

UdV UV |ba VdU

б. Вычислить

x ln

xdx.

определѐнный интеграл

x ln 2 xdx

U ln 2 x, dU

2 ln x

dx,

dV xdx, V

x 2 dx

x2 ln x |12

x ln xdx 2ln 2 2 x ln xdx

U ln x,

dV xdx,

x2 dx

б. Вычислить	1
	e 2 x 4x 3 dx
определѐнный интеграл	0

U=4x-3 dU=4dx

dV=e-2x V=-1\2e-2x dx


1				1			1			1					1
							1

	2 x					2 x						2 1					2 0
e		4x 3 dx	2x		e			2	1		e		2	0		e
e		4x 3 dx	2x		e			2	1		e		2	0		e
0				2			0			2					2
0				2			0			2					2

в. Вычислить	1 2	8x arctg 2x
				dx.
определѐнный интеграл		1 4x	2	dx.
определѐнный интеграл	0	1 4x
	0

Постановка задачи и план решения: Интегрирование подведением под знак дифференциала

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл F(x)g(x)dx

План решения. Пусть g(x) имеет очевидную первообразную G(x), а F(x) есть функция этой первообразной, т.е. F(x)=G(u(x)). Тогда

F x g x dx u G x G x dx u G dG

Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала.

Замечание. В случае определенного интеграла все аналогично, только необходимо подставить пределы интегрирования.

в. Вычислить	1 2	8x arctg 2x
				dx.
определѐнный интеграл		1 4x	2
	0

г. Вычислить площади
г. Вычислить площади	y x 9 x2 ,	y 0,
фигур, ограниченных	0 x 3 .
кривыми	0 x 3 .

Постановка задачи и план решения: Вычисление площадей в декартовых координатах

Постановка задачи. Вычислить площадь области, ограниченной графиками функций y=f1(x) и y=f2(x) (f1(x) ≥ f2(x) или f1(x) ≤f2(x) ) для всех точек области) и, возможно, прямыми x=a и x=b.

План решения. Если область D задана системой неравенств

то площадь области находится по формуле D S f2 x f1 x dx .

Если неравенства, определяющие область D, неизвестны, т.е. неизвестны a и b и неизвестно, какая из функций f1(x) и f2(x) больше на (a,b), то выполняем следующие операции.

1.Находим a и b как абсциссы точек пересечения графиков функций y=f1(x) и y=f2(x), т.е. решаем уравнение f1(x) = f2(x).

2.Исследуем знак разности на . Для этого

достаточно вычислить значение в какой-нибудь точке из

	b	f1 x f2	x dx ,
(a,b). Если оно положительно, то f1(x) ≥ f2(x) и S		f1 x f2	x dx ,
	a
b
если оно отрицательно, то f1(x) ≤f2(x) и S f2	x f1 x dx .
a

Замечание. Иногда бывает полезным построить график области ,

ограниченной функциями	и		.

г. Вычислить площади
г. Вычислить площади	y x	9 x2 ,	y 0,
фигур, ограниченных	0 x 3 .
кривыми	0 x 3 .

На указанном отрезке 1-я функция неотрицательна, поэтому применяем формулу:

д. Вычислить длины дуг	y ch x 3,	0 x 1.
кривых

Постановка задачи и план решения: Вычисление длин дуг y=f(x)

Постановка задачи. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением y=f(x) и ограниченной точками с абсциссами x=a и x=b.

План решения.

Длина L кусочно-гладкой кривой y=f(x), ограниченной точками с

			b
абсциссами x=a и x=b , равна L				1 y 2 dx (1)
			a
1.	Находим	.
2.	Вычисляем дифференциал дуги
				.
3.	Находим длину дуги, воспользовавшись формулой (1).

д. Вычислить длины дуг				y ch x 3,	0 x 1.
кривых

					.
Находим производную.			.
Тогда					.

КР. «Дифференциальные уравнения и ряды».

Примерные задания на контрольную работу:

Вариант 31

а. Исследовать сходимость ряда

n 1

3n 2

б.Исследовать на абсолютную и

условную сходимость

5n 1

n 1

в. Найти область сходимости

степенного ряда

2n 3n

n 1

г. Решить дифференциальное

уравнение

д.Найти решение задачи Коши	y y e2x y2 ; y 0 1.
д.Найти решение задачи Коши

е. Найти решение ДУ	y	7 y 6y sin x
е. Найти решение ДУ

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ :
			n	n
			n
а. Исследовать сходимость ряда
а. Исследовать сходимость ряда
	n 1		3n 2

Применим радикальный признак Коши:

		n n
lim	n

n		3n 2

сходится.

	n				1		1		n	n
lim	n		lim		1		1	1, поэтому ряд	n


n 3n		2	n		2		3	n 1	3n 2
				3
				3		n

б.Исследовать на абсолютную и			n
			1
условную сходимость		5n 1
	n 1

1 n

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда . n 1 5n 1

Проверим выполнение условий признака Лейбница для данного знакочередующегося ряда:

lim	1		0;	1		1	1		.

		1		5n 1		n 1 1		4
n 5n					5		5n

Оба условия признака Лейбница выполнены.

Рассмотрим ряд, элементы которого равны модулям элементов данного

ряда:

5n 1

n 1

5n 1

. Так как ряд

расходится, следовательно, будет расходиться

5n 1

n 1 n

и ряд

, поэтому, согласно признаку сравнения, будет расходиться и ряд

5 n 1 n

n 1

5n 1

Так как признак Лейбница выполнен, но ряд из модулей расходится, то

ряд

сходится условно.

5n 1

n 1

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>