5. Основные свойства функций алгебры логики
В алгебру логики установлен целый ряд законов, с помощью которых возможно преобразование логических функций (ЛФ):
коммутативный(переместительный)
ассоциативный(сочетательный)
Эти законы полностью идентичны законам обычной алгебры;
дистрибутивный(распределительный)
Закон поглощения.В дизъюнктивной форме ЛФ конъюнкция меньшего ранга, т.е. с меньшим числом переменных, поглощает все конъюнкции большего ранга, если ее изображение содержится в них. Это же справедливо и для конъюнктивных форм:
Закон склеивания
Закон свёртки
.
Правило де Моргана
где F - логическая функция общего вида, не зависящая от переменной х.
6. Функционально полные системы, понятие базиса.
Функционально полной системой булевых функций (ФПСБФ) называется совокупность таких булевых функций (f1, f2, ... fk), что произвольная булева функция f может быть записана в виде формулы через функции этой совокупности.
Функционально полная система логических функций представляет собой набор логических функций, с помощью которых можно записать любую, сколь угодно сложную функцию. В этом случае говорят, что этот набор образует базис. Функционально полными являются 3 базиса:
1) "И-ИЛИ-НЕ" (базис конъюнкции, дизъюнкции, инверсии)
2) "И-НЕ" (базис Шеффера)
3) "ИЛИ-НЕ" (базис Пирса или функция Вебба).
Элементы,
реализующие операцию "И-НЕ", “ИЛИ-НЕ”
и “Исключающее ИЛИ” на
принципиальных и структурных
схемах изображаются так:
7. Минимизация функций алгебры логики, постановка задачи.
На основе ФАЛ осуществляется построение схем различных ДУ. Поэтому актуальной задачей является преобразование ФАЛ к виду, обеспечивающему наиболее простую по количеству используемых логических элементов, схемную реализацию. Решение этой задачи в полном объёме сопряжено со значительными трудностями, обусловленными необходимостью учёта индивидуальных особенностей используемой элементной базы. Однако существуют методы, позволяющие преобразовывать ФАЛ к виду, содержащему минимальное число термов.
Под минимизацией логической функции понимается выполнение преобразований с целью получения наиболее простого представления ФАЛ.
Преобразование логических функций с целью упрощения их аналитического представления называются минимизацией. Существуют два направления минимизации:
1. Кратчайшая форма записи (цель – минимизировать ранг каждого терма). При
этом получаются кратчайшие формы КДНФ, ККНФ, КПНФ.
2. Получение минимальной формы записи (цель – получение минимального числа
символов для записи всей функции сразу).
Метод последовательного перебора основан на простом переборе всех возможных вариантов алгебраического выражения ФАЛ.
Метод последовательного упрощения аналитического выражения базируется на преобразовании ФАЛ с использованием основных законов и тождеств АЛ. Достоинством метода является возможность его применения для минимизации любых ФАЛ, представленных в виде аналитического выражения.
Метод, основанный на применении карт Карно, предусматривает задание ФАЛ в виде координатных карт состояний. После записи ФАЛ в карту Карно сразу можно записать минимальную форму функции, что существенно уменьшает вероятность появления ошибки.