16. Обобщенная теорема Чебышева и теорема Маркова.
Обобщенная теорема Чебышёва:
Если х1…хn независимые случ величины, заданные своими мат ожиданиями и дисперсиями, и сами все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом L (D(x)<L), то при возрастании n ср. арифметическое наблюдаемых значений сходится к среднему арифметическому их мат ожиданий:
P(|(∑xi/n) – (∑mxi/n)|<ε)>1-δ;
Теорема Маркова:
Если
имеются ЗАВИСИМЫЕ случ величины х1..хn
и если при n->∞
выполняется условие 
,
то среднее арифметическое наблюдаемых
значений случ величины Х сходится к
среднему арифметическому их мат ожидания.
17. Характеристические функции
Характеристической
функцией случ величины Х называется
функция 
,
которая представляет собой мат ожидание
некоторой комплексной величины 
.
Если х является дискретной случ величиной,
заданной своим законом распределения,
то ее характеристическая функция
выглядит так:
Если х - непрерывная случ величина, то ее характеристическая функция:
Преобразование, которому надо подвергнуть f(x), чтобы получить g(x), является преобразование Фурье.
Свойства характеристических функций:
y=ax, gy(t)=gx(at)
y=∑Xk, gy(t)=∏gxk(t)
18. Центральная предельная теорема.
Если x1…xn – независимые случ величины, имеющие один и тот же закон распределения, с мат ожиданием и дисперсией, то при неограниченном увеличении n, закон распределения Y неограниченно приближается к нормальному закону.
Yn=∑Xk
Д-во: согласно 2му свойству характеристической функции (все значения имеют одинаковый закон распределения, а значит и характеристическая функция у всех одинакова):
…
19. Следствие из теоремы Ляпунова-теоремы Лапласа.
Теорема Лапласа:
x1…xn – независимые случ величины, заданные своими мат ожиданиями и дисперсией. Предположим, что условия центральной предельной теоремы выполнены и число слагаемых достаточно для того, чтобы случ величина Y=∑Xi была распределена по нормальному закону. Тогда
Д-во: Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью p. Согласно теореме Ляпунова следующие случ величины будут приближаться к нормальному закону распределения:
Локальная теорема Лапласа:
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равняется pn, наступит ровно k раз приблизительно равно:
Интегральная теорема Лапласа:
Вероятность того что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А=р, событие наступит не меньше к1 раз и не больше к2 раз, равна:
Pn(k1,k2)≈Ф(Xk2)-Ф(Xk1).
Xk1=(k1-np)/
;
Xk2=(k2-np)/
;
20. Свойства числовых характеристик(мат ожидание, дисперсия).
Мат ожидание:
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
M(C)=C
Д-во: Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значения С и принимает его с вероятностью р=1. М(С)=С*1=С.
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х)
Д-во: Пусть случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:
|
Х |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
p |
p1 |
p2 |
… |
pn |
или
|
СХ |
Сx1 |
Сx2 |
… |
Сxn |
|
p |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Математическое ожидание случ. величины СХ:
M(CX)=Cx1p1+Cx2p2+…Cxnpn=C(x1p1+x2p2+…xnpn)=CM(X) => M(CX)=CM(X).
Математическое ожидание произведения двух независимых случ. величин равно произведению их мат ожиданий. M(XY)=M(X)M(Y)
Д-во: Пусть независимы случайные величины Х и Y заданы своими законами распределения вероятностей:
|
X |
x1y1 |
Y |
y1y2 |
|
p |
p1p2 |
g |
g1g2 |
Составив все значения, которые может принимать случ. величина XY, напишем закон распределения XY.
|
ХY |
x1y1 |
x2y1 |
x1y2 |
x2y2 |
|
p |
p1g1 |
p2g1 |
p1g2 |
p2g2 |
Мат ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:
M(XY)=x1y1*p1g1+x2y1*p2g1+x1y2*p1g2+x2y2*p2g2=y1g1(x1p1+x2p2)+y2g2(x1p1+x2p2)=
=(x1p1+x2p2)(y1g1+y2g2)=M(X)M(Y).
Следствие:
M(XYZ)=M(X)M(Z)M(Y)
Мат ожидание суммы двух случ величин равно сумме мат ожиданий слагаемых:
M(X+Y)=M(X)+M(Y)
Д-во: Пусть случ величины X и Y заданы следующими законами распределения:
|
X |
x1 |
x2 |
Y |
y1 |
y2 |
|
p |
p1 |
p2 |
g |
g1 |
g2 |
Составим все возможные значения величины X+Y: x1+y1; x2+y1; x1+y2; x2+y2. Обозначим их вероятности соответственно p11, p12, p21 и p22. Мат ожидание X+Y равно:
M(X+Y)=(x1+y1)p11+(x1+y2)p12+(x2+y1)p21+(x2+y2)p22=x1(p11+p12)+x2(p21+p22)+
+y1(p11+p21)+y2(p12+p22).
p11+p12=p, т.к. Событие «Х примет значение х1» влечет за собой событие «Х+Y примет значения x1+y1 или x1+y2», вероятность которого равно p11+p12. Следовательно, p11+p12=p1.
Аналогично: p21+p22=p2; p11+p21=g1 и p12+p22=g2. Получим:
M(X+Y)=(x1p1+x2p2)+(y1g1+y2g2)=M(X)+M(Y)
Следствие:M(X+Y+Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
Дисперсия:
D(C)=0;
Д-во: D(C)=M{[C-M(C)]²}=M[(C-C)²]=M(0)=0.
D(CX)=C²D(X)
Д-во: D(CX)=M{[CX-M(CX)]²}= M{[CX-CM(X)]²}=M{C²[X-M(X)]²}=C²M{[X-M(X)]²}=C²D(X).
D(X+Y) =D(X)+D(Y).
Д-во: D(X+Y) = M[(X+Y)²]-[M(X+Y)]²= M[X²+2XY++Y²]-[M(X)+M(Y)]²=M(X²)+2M(X)M(Y)+
+M(Y²)-M²(X)-2M(X)M(Y)-M²(Y)={ M(X²)-[M(X)]²}+{ M(Y²)-[M(Y)]²}=D(X)+D(Y).
Следствие 1: D(X+Y+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z)
Следствие 2: D(C+X)=D(X)+D(C)=D(X)
D(X-Y)=D(X)+D(Y)
Д-во: D(X-Y)=D(X)+D(-Y)=D(X)+(-1)²D(Y)=D(X)+D(Y)