13. Числовые характеристики случайных величин.
Числовые характеристики случайной величины – числа, суммарно описывающие случайную величину.
Математическое ожидание:
Для дискретной случ. величины – сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
M(x)=x1p1+x2p2+…+xnpn
Если дискретная случ. величина Х принимает счетное множество возможных значений, то
причем мат ожидание существует, если ряд в правой части сходится абсолютно.
Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.
Вероятностный смысл : математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Математическое ожидание M(X) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления событий в каждом испытании: M(X)=np.
Для
непрерывной случ величины: 
Отклонением называют разность между случ величиной и ее мат ожиданием.
Мат ожидание отклонения равно 0: M[X-M(X)]=0, т.к. M[X-M(X)]=M(X)-M[X(X)]=M(X)-M(X)=0.
Дисперсия:
Для дискретной случ величины - мат ожидание квадрата отклонения случ величины от ее мат ожидания: D(X)=M[X-M(X)]². Для тот, чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности
D(X)=M(X²)-[M(X)]²
Д-во: D(X)= M[X-M(X)]²=M[X²-2XM(X)+M²(X)]=M(X²)-2M(X)M(X)+M²(X)=M(X²)-M²(X).
Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D(X)=npq.
Для
непрерывной случ величины: 
Среднее квадратическое отклонение:
– для оценки
рассеяния возможных значений случ
величины вокруг ее среднего значения.
Начальный
момент: 
Центральный
момент: 
Мода случ величины – наиболее вероятное значение этой случ величины.
Медиана – это такое значение, для которого выполняется равенство p(x<Me)=P(x>Me). Геометрически это означает, что медиана является абсциссой точки, которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.
14.Неравенство Чебышева.
Пусть имеется случ величина Х, заданная mx и D(x). Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число α, вероятность того, что величина Х отклонится от своего мат ожидания не меньше, чем на α, ограничено сверху величиной:
Д-во:
|
X |
x1 |
… |
xn |
|
P |
p1 |
… |
pn |
Возьмем произвольное положительное число α>0 и вычислим вероятность того, что величина Х отклонится от своего mx не меньше чем на α.
Вероятность
,
т.е. надо просуммировать вероятности
значений, которые не лежат на AB.
Т.к. не все члены суммы не отрицательны, то D(x) можно уменьшить , взяв не все значения xi:
что и требовалось доказать.
15. Теорема Чебышева.
Среднее
арифметическое (
,
my=mx,
D(y)=D(x)/n)
случ величины Х есть случ величина с
очень маленькой дисперсией и при
достаточно большом n
ведет себя как не случ.
Теорема Чебышева:
При достаточно большом числе независимых опытов, среденее арифметическое наблюдаемых значений случ величины сходится по вероятности к ее mх.
P(|xn-a|<ε)>1-δ, ε, δ -> 0.
P(|(∑xi/n) - mx|<ε)>1-δ
Д-во:
Y=∑xi/n, my=mx, Dy=Dx/n.
Применим к случ величине Y неравенство Чебышёва.
P(|y-my|≥ε)≤Dy/ε²=Dx/nε².
P(|(∑xi/n)-mx|≥ε)≤δ
P(|(∑xi/n)-mx|<ε)>1-δ