4.Геометрическая вероятность. Задача о встрече.
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством
Р = Длина l / Длина L.
З а м е ч а н и е 1. Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу (в указанном выше смысле) в область g — часть области G, равна
Р = mes g / mes G.
З а м е ч а н и е 2. В случае классического определения вероятность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю): справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно). В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.
Задача о встрече:
Два
лица
и
условились
встретиться в определенном месте между
двумя и тремя часами дня. Пришедший
первым ждет другого в течении 10 минут,
после чего уходит. Чему равна вероятность
встречи этих лиц, если каждый из них
может прийти в любое время в течение
указанного часа независимо от другого?
Решение.
Будем считать интервал с 14 до 15 часов
дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть
(«кси»)
и
(«эта»)
— моменты прихода
и
(точки
отрезка [0,1]). Все возможные результаты
эксперимента – множество точек
квадрата со стороной 1: 
.
Можно
считать, что эксперимент сводится к
бросанию точки наудачу в квадрат. При
этом благоприятными исходами являются
точки множества
(10
минут = 1/6 часа). То есть попадание в
множество
наудачу
брошенной в квадрат точки означает, что
и
встретятся.
Тогда вероятность встречи равна
5. Теоремы сложения вероятностей.
Теорема: Вероятность суммы 2х несовместных событий равняется сумме их вероятностей.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Д-во:
Используем схему случаев, из которых m~A, k~B, P(A)=m/n, P(B)=k/n. Поскольку А и В несовместные, то получается, что
m+k=A+B
P(A+B)= (m+k)/n=m/n+k/n=P(A)+P(B )/
Если события А1…Аn образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей = 1. Противоположными называются 2 несовместных события, которые образуют полную группу {0;P}
A=”0” – P
A=”P” – q
Сумма вероятностей события и его противоположности равняется 1
P(A)+P(-A)=1
p+q=1
Вероятность суммы 2х совместных событий А и В равняется сумме их вероятности без учета вероятности их совместного появления.
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)