31. Функция распределения системы двух случайных величин
Систему случ чисел величин X и Y изображают случ точкой на плоскости с координатами (X,Y), тогда вместо т. используется понятие случ вектора. Функция распределения системы 2х случ величин называется вероятностью совместного выполнения двух неравенств:
P(x,y)=P(X<x)P(Y<y). Геометрически это означает, что функция распределения есть вероятность попадания случ точки в бесконечный квадрат с вершиной в точке (X,Y), лежащий ниже и левее этой точки.
Свойства функции распределения:
x2>x1, F(x2,y)≥F(x1,y)
y2>y1, F(x,y2)≥F(x, y1)
F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0
F(∞,∞)=1
F(x, ∞)=F(x); F(∞,y)=F(y);
32. Плотность распределения системы двух случайных величин.
Плотностью распределения системы 2х случ величин называется вторая смешанная частная производная от функции распределения:
P((x,y)cP∆)=F(x+∆x, y+∆y)-F(x+∆x, y)-F(x, y+∆y)+F(x,y)
Плотность распределения системы случ величин представляет собой плотность распределения массы в точке с координатами x,y.
f(x,y)dxdy
Элем. вероятность f(x,y)dxdy есть вероятность попадания в элемент. прямоугольник со сторонами dx, dy. Эта вероятность равна объему параллелепипеда, ограниченного сверху поверхностью f(x,y) и отражающегося на элементарный участок dxdy.
Свойства плотности:
f(x,y)≥0
- полный объем тела, ограниченного
поверхностью распределения с плоскостью
xOy
= 1.
33. Условные законы распределения.
Зная совместный закон распределения можно легко найти законы распределения каждой случайной величины, входящей в систему. Однако, на практике чаще стоит обратная задача – по известным законам распределения случайных величин найти их совместный закон распределения. В общем случае эта задача является неразрешимой, т.к. закон распределения случайной величины ничего не говорит о связи этой величины с другими случайными величинами. Кроме того, если случайные величины зависимы между собой, то закон распределения не может быть выражен через законы распределения составляющих, т.к. должен устанавливать связь между составляющими. Все это приводит к необходимости рассмотрения условных законов распределения.
Определение. Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения. Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения, так и плотностью распределения.
Условная плотность распределения вычисляется по формулам:
Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.
34. Зависимые и независимые случайные величины.
2 случ величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.
Следовательно, условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям.
Теорема: Для того, чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих:
F(x, y)=F1(x)F2(y)
Доказательство: а) необходимость. Пусть X, Y –независимы, тогда X<x, Y<y тоже независимы и P(X<x, Y<y)=P(X<x)P(Y<y); F(x,y)=F1(x)F2(y).
б) Достаточность: Пусть F(x, y)=F1(x)F2(y) => P(X<x, Y<y)=P(X<x)P(Y<y) => X, Y- независимы.
Следствие: Для того, чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих:
f(x, y)=f1(x)f2(y)
Доказательство: а) необходимость. Пусть X и Y – независимые непрерывные случайные величины. Тогда F(x,y)=F1(x)F2(y). Дифференцируя это равенство по x, затем по y, имеем:
или f(x,
y)=f1(x)f2(y).
б) достаточность: Пусть f(x, y)=f1(x)f2(y). Интегрируя по х, затем по у, получим
или F(x,y)=F1(x)F2(y).
=> X,
Y
– независимы.