4.2. Спектральный (частотный) метод

4.2.1. Прямое и обратное преобразования Фурье

Формы сигналов, используемых в различных областях техники делятся на:

• периодические сигналы геометрически правильной формы;

• периодические сигналы произвольной формы: задаются графиками, осциллограммами;

• непериодические сигналы произвольной формы.

Первые два типа сигналов представляются аналитически или графически в виде ряда Фурье.

Третий тип сигнала представляется в виде интеграла Фурье.

Ряд Фурье– тригонометрический ряд, представляющий собой изображение периодической функции суммой синусоид, амплитуды которых конечны, а аргументы кратны основной частоте.

Интеграл Фурье– тригонометрический ряд, представляющий апериодическую функцию суммой бесконечно большого числа синусоид, амплитуды которых бесконечно малы, а аргументы соседних синусоид отличаются на бесконечно малые значения.

Преобразование

позволяет преобразовать функцию времени в функцию частоты–прямое преобразование Фурье, где–спектр функции (спектральная плотность, спектральная функция, спектральная характеристика).

Интеграл Фурье(обратное преобразование Фурье):

.

Представление функции времени в виде функции частоты в комплексной форме (интеграл Фурье) привело к необходимостиформальноввести отрицательную угловую частоту.

Пример-пояснение:

Сумма слагаемых подынтегральной функции интеграла Фурье при дает синусоидальные колебания частоты.

Сопоставим прямое преобразование Фурье

;;

и прямое преобразование Лапласа

;;.

Если учесть, что прии заменитьpнато формула для спектра функцииможет быть получена из выражения для изображения по Лапласу путем замены pна:

;

.

Обратное преобразование Лапласа:

.

;

.

Обратное преобразование Фурье:

;

.

Пример:

–экспоненциальный импульс, тогда

;

;

;

.

4.2.2. Частотный (спектральный) метод

Сущность метода заключается в представлении с помощью прямого преобразования Фурье непериодической функции в виде суммы бесконечного множества синусоидальных функций с бесконечно малыми амплитудами и с частотами, имеющими все возможные значения отдо(дискретный спектр функции). Затем, пользуясь хорошо известными приемами расчета токов в цепи при синусоидальных напряжениях, находим токи в цепи от действия отдельных составляющих напряжения, а затем, пользуясь методом наложения, получаем результирующий ток.

Спектральный (частотный) метод исследования широко применяют в радиотехнике (прохождение модулированных колебаний через усилители, фильтры и т. д.) импульсной технике, теории автоматического регулирования.

Алгоритм расчета такой же, как и в операторном методе.

1. Находим спектральную или частотную характеристику функции f(t)с помощью прямого преобразования Фурье (используя интеграл Фурье):

,

но при , т.е.

;

.

Сопоставляя преобразование Фурье и Лапласа

видим, что первое есть частный случай второго при (вещественная часть равна 0).

Поэтому можно получить частотные характеристики , воспользовавшись готовыми таблицами для, заменивна.

Пример:

;

.

Величина , характеризующая зависимость амплитуды от частоты – АЧХ.

Величина – зависимость начальной фазы от частоты – ФЧХ.

2. Зная комплексное сопротивление цепи , можно получить частотную характеристику тока в цепи:

, где.

3. Искомый переходный ток (переходная функция) находится с помощью обратного преобразования Фурье:

.

Частотный метод дает существенное преимущество перед операторным если есть возможность снять экспериментально зависимость входного комплексного сопротивления цепи от частоты, то есть получить экспериментально и.

Тогда, вычислив спектральную характеристику ,легко определитьи, а затем определитьодним из приближенных методов интегрирования.

При ненулевых начальных условиях можно воспользоваться (как и в операторном методе) методом наложения, рассчитав процесс при нулевых начальных условиях частотным методом и наложив на него процессы, которые получаются только от действия одних начальных напряжений на конденсаторах и токов в катушках.

23