Контрольные вопросы
1. Как работает машина Тьюринга?
2. Что означает понятие «проблема останова»?
3. Что означает понятие «невычислимая функция»?
4. Какую проблему невозможно решить с помощью любой алгоритмической системы?
5. Какая классификационная система лежит в основе оценки сложности задач?
6. Что означает понятие «полиномиальные и не полиномиальные задачи»?
7. Что означает понятие «детерминированные и недетерминированные алгоритмы»?
8. Какие задачи относятся к группе NP-задач?
Лекция № 35 Методы защиты информации
Цель лекции
Сформировать представление о методах криптографической защиты информации.
План лекции
1. Шифрование с открытым ключом.
2. Модульная арифметика.
1 Шифрование с открытым ключом
Тот факт, что для NP-полных задач пока что не найдено эффективных решений, приводит ко многим интересным приложениям, например к обработке зашифрованной информации. В этом разделе мы познакомимся с такой техникой шифрования. Она использует значения, называемые ключами, для шифрования и дешифровки данных. Однако ключи шифрования, которые применяются для шифрования данных, отличаются от ключей декодирования, при помощи которых зашифрованная информация дешифруется. Люди, которым известны ключи шифрования, могут зашифровать сообщения, но не смогут дешифровать сообщения, зашифрованные другими людьми, даже если те применяли те же ключи шифрования. Поэтому ключи шифрования можно не прятать, и это не поставит под угрозу безопасность системы. В такой системе шифрования множество людей могут отправлять зашифрованные сообщения на один и тот же адрес, где их сможет прочитать единственный человек, знающий ключи декодирования. Подобные техники шифрования образуют область изучения, известную как криптография с открытым ключом; этот термин отображает тот факт, что ключи, при помощи которых зашифрованы сообщения, могут быть известны неограниченному количеству людей.
Описание определенной системы шифрования с открытым ключом мы начнем с NP-полной задачи, известной как задача о ранце. Это задача выбора чисел из набора таким образом, чтобы сумма выбранных чисел равнялась определенному значению. Она называется задачей о ранце, так как аналогична проблеме выбора набора предметов, которые точно заполняют ранец. Например, возьмем такую задачу о ранце: выбрать набор значений из списка:
191 691 573 337 365 730 651 493 177 354
так, чтобы их сумма была равна 2063.
Наиболее известный способ решения задачи о ранце заключается в последовательной проверке всех возможных комбинаций чисел, пока не будет найдено решение. Но если в списке п значений, проверить придется 2" комбинаций. Поэтому, если только нам не посчастливится найти правильную комбинацию в начале поиска, время, необходимое для решения, будет очень большим. Чтобы самостоятельно понять эту особенность, попробуйте решить приведенную ранее задачу о ранце. Вы обнаружите, что это займет много времени, хотя список состоит всего из 10 значений. Представьте свое замешательство, если вам будет дано 20 значений, то есть более миллиона комбинаций для проверки.
Одна из наиболее популярных систем шифрования, используемая для безопасной передачи данных в Интернете, — это PGP (Pretty Good Privacy), которую разработал Филипп Циммерман в 1991 году. PGP — простая в использовании система шифрования общего назначения с открытым ключом, бесплатно распространяемая в Интернете для некоммерческого использования. Алгоритм, на основе которого разработана PGP, — это RSA, названный в честь его создателей: Рона Райвеста (Ron Rivest), Ади Шамира (Adi Shamir) и Леонарда Адлемана (Leonard Adleman). В отличие от систем шифрования, основанных на сложности решения задачи о ранце, которые мы обсуждаем в этом разделе, RSA основана на сложности поиска множителей больших целых чисел.
RSA является примером того, как патентное право и государственное регулирование влияют на распространение программного обеспечения. Действительно, за RSA велось множество патентных битв, и правительство США продолжает ограничивать ее распространение. Подробнее об этой грандиозной эпопее вы можете узнать, найдя соответствующие документы в Сети. Для начала советую вам поискать узлы, посвященные PGP и RSA. Задачу о ранце на основе приведенного выше списка можно применять для шифрования сообщений следующим образом: сначала представим сообщениев виде строки битов, возможно, используя ASCII или Unicode. Затем разобьем эту строку на сегменты по 10 битов и представим каждый 10-битовый сегмент в виде одного числа. Это число получается путем сложения значений из списка, занимающих места, соответствующие позициям единиц в 10-битовом сегменте.Например, 10-битовый сегмент 1001100001 будет представлен числом 1247 (рис. 1): единицы в сегменте находятся на первой, четвертой, пятой и десятой позиции, а сумма соответствующих значений в списке (191, 337, 365 и 354) равна 1247. Аналогично, комбинация 0010011010 будет представлена числом 2131 (573 + 730 + + 651 + 177). Сообщение 1001100001001О011010 будет зашифровано последовательностью из двух чисел: 1247 и 2131.
Рисунок 1 – Шифрование битовой комбинации при помощи задачи о ранце
Предположим, что кто-то перехватил это зашифрованное сообщение, более того, предположим, что этот человек знает список значений, который использовался для шифрования. Теперь для декодирования сообщения злоумышленнику понадобится решить две задачи о ранце, что потребует существенных затрат времени. Если же размер списка, применяемого для шифрования сообщения, будет намного больше 10, задачу декодирования перехваченных сообщений будет совершенно невозможно решить — то есть содержание сообщения останется в тайне.
Проблема в этом простом примере заключается в том, что никто не сможет декодировать это сообщение быстро — даже адресат. Нам необходима хитрость, которая позволит адресату быстро решить задачу о ранце, тогда как все остальные столкнутся с требующей исключительно больших временных затрат задачей.
Чтобы получить эту хитрость, заметим, что некоторые задачи о ранце решаются легко. Предположим, что список состоит из следующих значений: 1 4 6 12 24 51 105 210 421 850
Каждое число в списке больше суммы всех предшествующих чисел. Поэтому, если нам необходимо выбрать набор значений, сумма которых равна 995, мы будем точно знать, что одно из требуемых значений — это 850, так как сумма всех остальных значений будет слишком мала. Сделав этот выбор, мы сократим задачу до выбора чисел, сумма которых равна 995 - 850, то есть 145. Но это означает, что нужно обязательно выбрать 105, так как это самое близкое к искомому меньшее значение. Продолжая размышлять подобным образом, мы быстро сделаем вывод, что нужные нам значения — это 850, 105, 24, 12 и 4. А теперь финальный аккорд: существует способ преобразования подобных простых задач о ранце в сложные задачи и обратно. Рассмотрим процесс преобразования в терминах трех «волшебных» чисел. Позже мы узнаем, откуда берутся эти волшебные числа и как построить собственную систему шифрования. Наши волшебные числа — это 642, 2311 и 18.
Первый шаг — преобразовать список
1 4 6 12 25 51 105 210 421 850
при помощи которого конструируется простая задача о ранце, в другой список, соответствующий более сложной задаче. Мы сделаем это, умножив каждое число из списка на 642 (первое магическое число) и записав остатки от деления произведений на 2311 (второе магическое число). В итоге получим список
642 257 1541 771 2184 388 391 782 2206 304
В частности, вместо значения 4 из исходного списка теперь стоит 257, так как 4 х 642 = 2568, а остаток от деления 2568 на 2311 равен 257.
Заметим, что задача о ранце в терминах нового списка будет сложнее, так как процесс преобразования разрушил отношения, существовавшие между значениями исходного списка. Но, зная волшебные числа, мы можем быстро решить новую задачу. Умножим целевую сумму на 18 (третье волшебное число), разделим результат на 2311 (второе волшебное число) и запишем остаток от деления. Затем будем считать этот остаток суммой нужных значений задачи о ранце с исходным «простым» списком. После того как эта простая задача будет решена, значения первого списка, решающие исходную задачу о ранце, будут значениями, которые занимают позиции, соответствующие решению простой задачи о ранце.
Например, наша задача — выбрать значения из списка
642 257 1541 771 2184 388 391 782 2206 304
сумма которых равна 4895. Сначала умножаем 4895 х 18 = 88 110, затем делим 88 110 на 2311, остаток равен 292. Затем определяем, что значения 6, 25, 51 и 210 —это значения из списка
1 4 6 12 25 51 105 210 421 850
дающие в сумме 292. Так как это третье, пятое, шестое и восьмое значения в соответствующем списке, делаем вывод, что третье, пятое, шестое и восьмое числа в списке
642 257 1541 771 2184 388 391 782 2206 304
дают в сумме 4895. Действительно, 1541 + 2184 + 388 + 782 - 4895, что и требовалось.
Полная система шифрования с открытым ключом работает следующим образом: мы свободно распространяем список
642 257 1541 771 2184 388 391 782 2206 304
и позволяем людям шифровать сообщения в терминах задачи о ранце, основанной на этом списке. Однако мы храним исходный список и три волшебных числа в тайне. Получив зашифрованные сообщения, мы быстро декодируем их, преобразовав в простую задачу о ранце, что не сможет сделать никто другой. Следовательно, сообщения, отправленные нам, останутся в безопасности.
Рисунок 2 – Шифрование с открытым ключом с использованием задачи о ранце