Высш мат 2014

Занятие № 1.

Тема: Производная и дифференциал функции.

Цель: 1. Повторение теоретических основ дифференцирования.

2. Приобретение практических навыков нахождения производной и дифференциала простых и сложных функций.

Краткая теория. Производной функции f(x) называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x в точке x при стремлении x к нулю:

, где y = f(x₁)-f(x₂), x = x₁-x₂ и - производная функции.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Производные некоторых функций :

(1.1) (1.8)

(1.2) (1.9)

(1.3) (1.10)

(1.4) (1.11)

(1.5) (1.12)

(1.6) (1.13)

(1.7) (1.14)

Правила дифференцирования:

Производная суммы (разности) функций y=u  v:

(1.15)

Производная произведения функций y=uv :

(1.16)

Производная частного функций :

(1.17)

Производная сложной функции у=f(g(x)) :

(1.18)

II. Дифференциал независимой переменной равен ее приращению:

dx = x (1.19)

Дифференциал функции y =f(x) :

dy = (1.20)

Дифференциал некоторых выражений :

d(uv)=dudv (1.21)

d(uv)=vdu+udv (1.22)

d(= (1.23)

Примеры решения задач.

1). y= - ;

2). ;

3). ;

Задания для самостоятельного решения и решения у доски.

Найти производные следующих функций :

1. y=x³+2x²+8; =

2. y=2; =

3. y=x^a+b ; =

4. y=(1-4x³)(1+2x²); =

5. y=2^x- ; =

6. y=tgx + lnx + ; =

7. y=e^xcosx ; =

5

8. y=; =

9. y= ; =

10. y=e^3x; =

11. y= x+sinx cosx ; =

12. y=sin ; =

13. y=; =

14. y=; =

15. y=ln(e^cosx) ; =

16. y=; =

17. y=; =

18. y=; =

19. y= lg³(x²); =

20. y=; =

Примеры нахождения дифференциала функции :

1. y=; dy = dx ;

; dy = ;

2. y=;

dy=

= = ;

Найти дифференциалы следующих функций :

1). y=(2x+x²)³ ; dy=

2). y=; dy=

3). y=; dy=

4). y=xe^x-e^x-2; dy=

5). y=; dy=

Домашнее задание :

I). Найти производные функций :

1). y=(x⁴-x²+1)³; =

2). y=; =

3). y= ; =

4). y=; =

5). y=sin(cos²x)cos(sin²x); =

6). y=; =

7). y=; =

II). Найти дифференциалы функций :

1). y=; dy=

2). y=e^x/2 cos x/2 ; dy=

3). y=; dy=

Занятие №2.

Тема: Градиент функции. Основы интегрирования.

Цель: 1. Изучение основных понятий и определений. 2. Получение навыков интегрирования. 3. Освоение основных методов интегрирования.

Краткая теория. I. Говорят, что в пространстве задано поле некоторой величины, если в каждой точке пространства определено значение этой величины. Поле может быть скалярным (давление, температура, концентрация) или векторным ( скорость, сила).

Поле может быть стационарным, если оно не меняется со временем, или нестационарным в обратном случае. С формальной точки зрения стационарное поле - это функция трех переменных x, y,z :

U (x,y,z). В поле дана точка М. Возможное направление выхода из нее - l.

Производной от U по направлению l называется скорость изменения поля в этом направлении в расчете на единицу длины :

 l

Эту производную можно записать :

Правую часть удобно записать в виде скалярного произведения двух векторов :

Первый из них называется градиентом поля :

grad U = (2.1)

Второй вектор :

называется единичным вектором направления l.

Вектор grad U в точке М всегда указывает в сторону наибыстрейшего возрастания поля U.

II. Функция F(x) , имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x).

Например: f(x)=cos x F(x)=sin x

f(x)= x²  F(x)=x³/ 3

Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x) dx называется неопределенным интегралом и обозначается : = F(x) + C.

Основные интегралы:

1)., (n  -1) (2.2); 5).sin x dx= - cos x + C , (2.6);

2).x + C , (2.3); 6).cosx dx= sin x + C , (2.7);

3). , (2.4); 7). tg x + C , (2.8);

4).e^x dx= e^x + C , (2.5); 8). - ctg x + C , (2.9).

Основные методы интегрирования.

1. Метод замены переменной.

Если (t) = f(t) и t=  (x) , то F((x)) + C.

Например :

d(2x - 5)=2dx ==

=

2. Интегрирование подстановкой.

Рассмотрим на примере :

Пусть: 1 - x =t и x=1- t . Дифференцируя имеем: dx= - dt . Тогда:

-

= - .

3. Интегрирование по частям.

UdV=UV - VdU

Пример :

x sinx dx== - x cosx - (-cosx)dx= - x cosx+sin x + C .

Задания для самостоятельного решения и решения у доски.

1). Найти интегралы методом замены переменной.

1). =

2). =

3). =

4). =

5). =

2). Проинтегрировать методом подстановки:

1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

4). Найдите интегралы:

1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

6. =

Домашнее задание.

Вычислить интегралы:

1. =

2. =

3. =

15

3). Проинтегрировать по частям.

4. =

5. =

6. =

7. =

8. =

9. =

10. =

Занятие № 3.

Тема: Определенный интеграл. Дифференциальные уравнения.

Цель: 1. Освоение нового материала, повторение ранее изученного.2. Приобретение практических навыков вычисления определенного интеграла и решения дифференциальных линейных уравнений.

Краткая теория.

1. Формула Ньютона- Лейбница:

, где (3.1)

F(x) - первообразная функции f(x) , т.е. .

Свойства определенного интеграла:

; (3.2)

(3.3)

(3.4)

Примеры решения :

1.

2.

3.

4.

=.

Обратите внимание, при подстановке пределы интегрирования меняются.

Для вычисления определенного интеграла используются те же методы, что для нахождения неопределенного.

5). Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями :

y=2x - x² и y=x.

Нужно найти пределы интегрирования a и b. Для этого нужно решить уравнение :

2x - x² = x

x - x² = x² - x = 0

x(x - 1) = 0

x₁ = 0 = a

x₂ = 1 = b

S= =1/2 - 1/3 = 1/6 .

II. Общий вид дифференциального уравнения :

F(x, y, (3.7)

Общее решение дифференциального уравнения :

y=f( x, C₁, C₂, . . . , C_n) . (3.8)

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка :

(3.9)

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка :

y=f(x , C ). (3.10)

1). Дифференциальное уравнение типа :

dy=f(x) dx

Общее решение : y=f(x)dx=F(x) + C.

2). Дифференциальное уравнение типа :

;

Общее решение :

3). Дифференциальное уравнение с разделенными переменными :

f(x) dx +  (y) dy = 0

Общее решение :

F(x) + (y) = C.

4). Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

f(x) (y) dx + (x) Ф(y) dy = 0.

Приведем уравнение к уравнению с разделенными переменными:

Общее решение : или F₁ (x) + F₂ (y) = C.

Примеры решения :

1). Является ли решением данного дифференциального уравнения указанная функция ?

, y=x e^x

Для этого продифференцируем функцию два раза и подставим в исходное уравнение ее вторую производную и саму функцию . Если тождество окажется верным, значит приведенная функция является решением уравнения .

это

Подставляем в уравнение y и :

2 e^x + x e^x + x e^x = 2 e^x + 2 x e^x  2

Таким образом, данная функция не является решением приведенного дифференциального уравнения.

2). Найдем общее решение дифференциального уравнения :

Разделим переменные :

Интегрируем обе части уравнения :

y² = ln x + C ,

- общее решение.

Задания для самостоятельного решения и решения у доски.

1). Вычислите интегралы:

1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

6. =

7. =

8. =

9. =

21

10. =

2. Выясните, является ли решениями данных дифференциальных уравнений указанные функции :

1.

2.

3.

4.

5. (x+2)dx - 2 dy = 0 , y=x² / 4 + x .

3. Найдите общее решение следующих дифференциальных уравнений :

1.

2. (x + 1 ) dx - 2 xy dy = 0 ;

3. x dx = y dy ;

4.

5.

Домашнее задание :

1. Вычислить интегралы :

1). =

2). =

3). =

4). =

23

5).

2. Являются ли решениями данных дифференциальных уравнений приведенные функции

1)

2)

3)

3. Найти общее решение :

1)

2)

3) dy + 3y dx = 0.