Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Глава 1. Механика

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
21.05.2015
Размер:
857.37 Кб
Скачать

Глава 1. Классическая механика

Механическим движением называют изменение со временем положения тела относительно других тел. Те тела, относительно которых рассматривается движение других тел, называют телами отсчёта. Тело отсчёта является центром координат какой-либо системы координат, которая с отсчётом времени образует систему отсчёта.

Простейшим механическим движением является движение материальной точки.

§1.1. Кинематика материальной точки

Материальная точка – это тело, размеры и форму которого можно не учитывать при описании его движения. Положение точки в

декартовой системе координат задано тремя координатами x, y, z или

радиус-вектором

 

 

r.

 

z

s

В

А

 

 

 

r

 

r1

r2

 

0

 

y

x

 

 

Рис.1.1

Кинематическим уравнением движения называют

зависимость от времени координат точки: x = x(t), y = y(t), z = z(t) или

 

 

 

 

 

r

r (t). Траекторией называют линию в пространстве, которую

описывает точка при своём движении. Путь S

длина

части

 

 

 

 

это

траектории (длина дуги АВ, рис. 1.1). Перемещение r

r2

r1

направленный отрезок, соединяющий начальное положение точки с

 

равен

конечным. Модуль вектора r

r

x

2

 

 

r (x2

y

2

z

 

x1)2

2

, а модуль перемещения

 

( y2 y1)2 (z2 z1)2 .

10

Положение точки можно определять и дуговой координатой

s,

измеряемой длиной пройденного участка s s(t).

 

 

 

 

При уменьшении перемещения dr ds, т.е.

dr

ds , где

 

единичный вектор, направленный по касательной в сторону

возрастания s.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

dr

 

Средняя скорость V

 

,

мгновенная скорость V

 

,

 

 

cp

 

t

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

модуль мгновенной скорости V

dr

.

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор скорости можно разложить по координатным осям

 

 

 

 

V

Vxi

Vy j

Vz k ,

где

V

 

 

dx

,

V

 

 

dy

,

V

 

 

dz

.

x

dt

y

dt

z

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Движение может быть криволинейным и прямолинейным.

Вопросы для самоконтроля.

1.Что называется материальной точкой? С какой целью вводится эта модель тела?

2.Что такое система координат и система отсчёта?

3.В чём разница между модулем вектора перемещения и длиной отрезка пройденного пути?

§1.2. Прямолинейное движение

Движение, при котором точка за любые равные промежутки времени проходит равные отрезки пути и движется прямолинейно,

называется равномерным прямолинейным движением.

Скорость V такого движения постоянна

и равна

V

s t

,

, где s

путь, пройденный материальной точкой за время t. При равномерном движении

s

 

0

 

 

Vdt Vt s

,

где s0 начальная координата.

 

Если скорость не

 

постоянна,

то

прямолинейном движении определится, как

(1.1)

среднее ускорение при

 

 

 

 

V

 

acp

t

,а ускорением

 

 

11

будет называться производная от мгновенной скорости по времени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

.

 

 

 

 

 

a

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По

направлению

 

это ускорение совпадает

с

вектором

 

 

 

 

 

 

 

 

приращения скорости V ,

который в общем случае (в частности, при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

криволинейном движении)

не совпадает с вектором

V .

Ускорение

также можно разложить на составляющие вдоль координатных осей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

 

d

2

x

 

 

 

 

dV

 

 

d

2

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a a

i a

 

j a

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

k ,

где

a

 

 

 

 

 

,

a

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x

 

 

 

 

2

y

 

 

 

 

2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

dt

 

 

dt

 

 

 

dt

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

 

d

2

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

z

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

dt

 

 

 

dt

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В случае

 

движение называют равноускоренным при

 

 

 

a

a > 0 (равнозамедленным при a < 0), а его скорость определится из выражения

V adt at V

,

(1.2)

0

 

 

где V0 начальная скорость.

Кинематическое

уравнение

прямолинейного равноускоренного движения можно получить из (1.1) при подстановке V из (1.2)

 

 

 

 

 

 

at

2

s

 

Vdt

 

(at V

)dt V t

 

 

 

 

 

0

0

2

 

 

 

 

 

 

Из выражений (1.2) и (1.3), исключая время t,

t

V V 0

, s s

V

V V 0

 

a

V V 0

 

 

 

 

 

 

 

 

a

0

0

a

 

2

a

 

 

 

 

 

 

 

s .

 

 

 

(1.3)

 

0

 

 

 

 

получим

 

 

2

V

2

V 0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

или

V

2

2

2a(s s0 ).

 

 

(t) V0

(1.3а)

Если в момент t 0

принять

s

s(0) 0

и V V (0) 0, то

 

 

 

0

 

 

0

из последнего равенства следует

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

2as.

(1.3б)

Полученные формулы (1.3а) и (1.3б) могут быть полезными при решении многих задач.

Вопросы для самоконтроля.

1.Какое движение называют равномерным и прямолинейным?

2.Что такое ускорение? Всегда ли его направление совпадает с вектором скорости?

12

3.Напишите закон для прямолинейного равноускоренного движения.

§1.3. Свободное падение тел

Галилей установил, что все тела в безвоздушном пространстве у поверхности Земли падают с одинаковым ускорением g=9,8м/с2. Тогда свободное падение тел будет равноускоренным движением, которое можно описать согласно (1.2), 1.3) и (1.3а) уравнениями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gt

2

 

 

 

 

 

V (t) V (t

 

) gt, h(t) h(t

 

) V (t

 

)t

 

,

 

 

 

 

0

0

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V 2 (t) V 2 (t

0

) 2g[h(t

0

) h(t)].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь t

0

 

начальная точка отсчёта времени, t текущее время

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

падения

тела

 

(t t

0

). При таком движении

 

высота

 

уменьшается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h(t) h(t

0

),

 

а скорость возрастает V (t) V (t

0

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если за начало отсчёта времени взять момент начала падения

тела

t

0

0,

 

 

то

V (0) 0 и

 

h(0) H максимальная высота, с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которой тело начало падать. При этом уравнения движения тела примут вид:

 

gt

2

 

 

 

V (t) gt, h(t) H

 

, V (t)

2g[H h(t)].

 

2

 

 

 

 

h( ) 0

В момент t , когда падающее тело коснётся земли,

и V ( ) g

2gH .

тела с заданной высоты

Откуда находится время

 

2H

 

падения

g

 

 

 

 

H.

Если тело бросить с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью V (0) V0 , то под действием ускорения

свободного падения скорость тела начнёт убывать, т.е. такое движение будет равнозамедленным, а скорость будет изменяться по

закону V (t) V0 gt. Высота

h(t) будет расти по закону

h(t) V t

gt 2

до момента t

полной остановки вертикального

 

0

2

 

 

 

 

 

подъёма тела (V ( ) 0), когда этот подъём достигнет максимальной

13

высоты h( ) H V0

V ( ) V0 g 0, т.е.

g

2

 

2

 

 

. Величина

определится из условия

V

 

 

 

0

,

и тогда

максимальная высота

g

 

 

 

подъёма будет равна

 

g 2

 

V

g

V

 

2

V 2

h( ) H V

V

 

 

0

 

 

0

 

0 .

0

2

0

g

2

g

 

2g

 

 

 

 

 

Вопросы для самоконтроля.

1.К какому типу движения относится свободное падение тел?

2.При каких условиях все тела на Землю падают с одним и тем же ускорением?

3.Как соотносятся между собой время подъёма и время падения тела, брошенного вертикально вверх?

4.Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью

V (0) V

20м / с.

0

 

Определите высоту его максимального

подъёма и время его движения с момента броска до его

соприкосновения с землёй.

 

 

5. Камень

свалился в

пустой

колодец. Через

промежуток

времени

t 5c был

услышан

стук камня о

дно колодца.

Определить глубину колодца, если скорость звука равна 330

м/с.

§1.4. Нормальное и тангенциальное ускорения

 

 

 

Если

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

тело

бросить

под

некоторым

углом

 

 

 

 

 

,

придав

ему

начальную

скорость

 

2

 

 

 

 

к горизонту

 

 

 

V0

,

то под

действием ускорения эта скорость будет изменяться не только по величине, но и по направлению. Без учёта сопротивления воздуха

горизонтальная составляющая этой скорости

Vx V0 cos

будет

оставаться

V

y

V sin

 

0

постоянной, а вертикальная будет изменяться по закону

gt

(здесь знак минус соответствует подъёму, а знак

плюс – падению тела). Траектория движения будет представлять собой некоторую кривую в плоскости угла .

14

Если траектория материальной точки лежит в одной плоскости (такое движение называют плоским), вектор ускорения разлагают на две составляющие: вдоль касательной и нормали. Пусть материальная точка движется из положения А1 в А2. При этом её

скорость изменится от V1 до V2 (рис. 1.2).

а)

 

 

 

d dV

 

n

 

 

б)

dV

 

 

 

 

 

V

 

 

1

 

 

А1

dS

А2

R

 

 

 

d

 

 

 

 

dV

О

 

Рис.1.2.

V1

d

V2

dV

Пусть расстояние между точками А1 и А2 стремится к нулю, тогда оно приблизительно равно длине дуги А1А2, т.е. dS Rd . Радиус этой окружности называют радиусом кривизны R, а её центр

О – центром кривизны траектории в данной точке. Поскольку

перемещение бесконечно мало, то и изменение скорости будет тоже

бесконечно малым. Представим dV в виде суммы также бесконечно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

малых векторов

dVn

и

dV

(рис.

1.2б). Первый из

них

dVn

характеризует

изменение

скорости

по

направлению

(т.е.

угол

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поворота вектора V ), второй dV - изменение модуля, т.е. изменение

скорости по величине.

 

 

 

 

угла d ) следует,

 

Из рис.

1.2б (с

учетом

малости

что

d

dVn

. С другой стороны (рис.

 

1.2а)

 

 

 

V1

 

 

 

 

 

 

 

 

Откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

V

2

 

 

 

a

 

 

 

 

.

 

 

 

n

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

dt

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

dS R

, а dS V1dt.

(1.4)

15

V 2

Таким образом, нормальное ускорение an R . Оно всегда

направлено к центру кривизны траектории в данной точке. Его также называют центростремительным ускорением.

Быстрота изменения скорости по модулю характеризуется

 

 

 

 

 

dV

тангенциальным ускорением

a

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

вектор

совпадает по направлению с

a

 

 

 

 

 

 

.

При ускоренном движении

 

 

 

вектором скорости

V , а при

замедленном

движении

dV

0

и вектор

 

 

противоположен

dt

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

направлению вектора V .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полное

ускорение

определяется как

векторная сумма:

 

 

 

 

 

 

равен a

 

2

a

2

 

a a

a , а его модуль (рис. 1.3)

a

.

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор полного ускорения всегда направлен «внутрь» траектории. При этом особо следует выделить два частных случая:

1)

 

 

 

это

случай

а

a

 

 

 

 

 

 

 

траектории, когда R

2)

 

 

 

это

случай

а

a

 

 

n

 

 

 

движения по прямолинейной

 

0;

и a

n

 

движения по криволинейной

траектории с постоянной по модулю скоростью, когда

 

0.

a

 

 

 

 

a

n

 

А

a

a

Рис. 1.3.

Вопросы для самоконтроля.

1.Куда всегда направлено нормальное ускорение?

2.Куда всегда направлено тангенциальное ускорение?

3.Каким будет движение при радиусе кривизны R ?

4.Какой вид будет иметь траектория материальной точки, когда её скорость изменяется только по направлению?

16

§1.5. Относительность движения. Преобразования Галилея

Движение одного и того же тела можно рассматривать относительно разных систем отсчёта. Например, движение лодки, пересекающей реку, можно рассматривать относительно воды или относительно берега.

y

y’

 

 

V

 

 

V

 

в

берег

О

Рис. 1.4

Vл

O’ х

Система отсчёта относительно берега имеет систему координат хОу, а относительно воды – хОу. Пусть река течёт в направлении оси

Ох со скоростью течения Vв и ось Охпараллельна оси Ох. Тогда координаты лодки относительно берега (в системе хОу) определятся

x x Vвt; y y .

(1.5)

Эти соотношения называют преобразованиями координат

Галилея.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скорость лодки относительно берега V определится по правилу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сложения векторов

V

и

V

л

, где

V

л

скорость лодки относительно

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

воды. Следовательно,

V

Vв Vл .

Если движение лодки

равноускоренное (равнозамедленное), то её ускорение можно получить, взяв производную по времени от её скорости.

Продифференцируем

последнее равенство

с

учётом

того, что

 

 

 

 

 

 

 

 

Vв const (река течёт

с неменяющейся

по

времени

скоростью

 

 

 

 

 

 

 

течения), получим

dV

 

dVл

, то есть ускорение тела

в разных

 

 

 

dt

 

dt

 

 

 

системах отсчёта, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, одно и то же!

17

Системы отсчёта, движущиеся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, называются инерциальными.

Вопросы для самоконтроля

1.В чём суть относительности движения?

2.Какие из характеристик движения (координаты, скорости, ускорения) в инерциальных системах не меняются при переходе из одной системы в другую?

3.Какова траектория движения иглы относительно: а) грампластинки при её проигрывании, б) корпуса проигрывателя, в) головки звукоснимателя?

§1.6. Динамика. Первый закон Ньютона

Раздел механики, в котором устанавливается связь между движением тела и причинами, которые вызвали или изменили это движение, называется динамикой.

Основу динамики составляют законы Исаака Ньютона, открытые им на основе обобщения накопленных в течение длительного времени экспериментальных фактов. Все следствия из них хорошо согласуются с данными опыта. Механика Ньютона является образцом физической теории. В ней широко используется математический аппарат, выводы и методы механики широко применяются в технике.

В ХХ веке на смену ньютоновской механике приходит релятивистская механика, основанная на постулате Эйнштейна:

скорость света в любой координатной системе одинакова и не зависит от движения в ней его источника. Справедливость этого постулата не подтверждена ни одним прямым экспериментом. Однако существует множество фактов в физике микромира и астрономии, которые можно трактовать, как его косвенные подтверждения. Тем не менее, и квантовая механика, и физика элементарных частиц еще ждут своего Ньютона, чтобы прояснить физическую природу наблюдаемых там явлений.

Все задачи ньютоновской динамики можно свести к двум типам:

1)прямая задача – по известным взаимодействиям и начальным условиям определить, как движется тело (т.е. найти кинематический закон движения);

2)обратная задача – по известному кинематическому закону движения тела определить взаимодействия.

18

Исходя из большого числа опытных фактов, Галилей пришёл к выводу, что, если на тело не действуют другие тела, то оно продолжает двигаться с постоянной скоростью. Но это открытие определило не пустое созерцание фактов, а догадка. Галилею удалось вообразить экспериментально недостижимую ситуацию отсутствия трения и поставить трение в ряд других взаимодействий между телами.

Немного позже этот вывод получил чёткую формулировку в виде первого закона Ньютона:

Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку воздействие со стороны других тел не побуждает его изменить это состояние.

Этот закон ещё называют законом инерции, так как свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения называется инертностью.

Первый закон Ньютона справедлив лишь для материальных точек, а для реальных тел – лишь в случае их поступательного движения. Этот закон выполняется лишь в инерциальных системах. Он же является средством определения – являются ли системы отсчёта инерциальными или нет? Если тело движется относительно двух разных систем отсчёта равномерно и прямолинейно, то, следовательно, и сами эти системы движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, то есть они инерциальные.

Если тело движется с ускорением относительно какой-то системы отсчёта, то оно будет иметь такое же ускорение и во всех системах отсчёта, инерциальных с данной.

Вопросы для самоконтроля

1.В чём разница между кинематикой и динамикой?

2.Сформулируйте прямую и обратную задачи динамики.

3.Сформулируйте первый закон Ньютона.

4.Можно ли экспериментально получить равномерное и прямолинейное движение какого-либо тела в чистом виде?

§1.7. Второй и третий законы Ньютона. Условия равновесия

Масса тела (m) это мера инерции и гравитационных свойств тела. Масса в СИ измеряется в килограммах (кг).

Сила ( F ) – векторная физическая величина, являющаяся мерой

19