Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

504 Глава 22. Аномалии

Чтобы вычислить эти интегралы, рассмотрим разложение функции fκλ(p + k, c, d) по степеням k:

Член нулевого порядка fκλ(p, c, d) в выражении (22.3.16) явно со-

кращается. Все остальные слагаемые в (22.3.16) являются интегралами от производных по р, и поэтому после виковского поворота могут быть записаны как поверхностные интегралы по большой 3- сфере, скажем, радиуса Р. Тогда n-я производная f дает поверхностный интеграл от функции, которая ведет себя как P–2–(n–1), в то время как площадь 3-сферы радиуса Р ведет себя как Р3, поэтому единственными членами, которые дают вклад при Р → ∞ , будут

члены с n = 1 и n = 2:

После прямого вычисления находим

Iκλ (k, c, d) = ip2 2kλ cκ + 2kκ dλ - kλ dκ - kκ cλ - hκλ k × (k + c + d) ,

(22.3.19)

Теперь следует отдельно рассмотреть слагаемые в следах в выражении (221 .3.15), которые возникают от 1 и от γ5 в проекционной матрице (1 + γ5). Слагаемые от 1 содержат след tr[γκγνγλγρ], который симметричен по κ è λ, а также по ν è ρ, так что интегралы

образуют комбинацию

Iκλ (a − b − k1, b, b + k1) + Iλκ (a − b − k1, b, b + k1) +Iκλ (b − a − k2 , a, a + k2 ) + Iλκ (b − a − k2 , a, a + k2 )

Используя выражение (22.3.19), нетрудно увидеть, что эта комбинация обращается в нуль, если и только если мы выберем произвольные постоянные векторы так, чтобы

Кроме того, этот выбор позволяет избежать некиральной аномалии для всех трех токов, так как в выражении d¶¶yn iGabgμνρ(x, y, z)

векторы a и b должны быть заменены на a¢ = k2 + a è b¢ = –k2 + b, а в выражении d¶¶zr iGabgμνρ(x, y, z) — íà a² = k1 + a è b² = –k1 + b,

так что выбор a = –b одновременно обеспечивает выполнение равенств a¢ = –b¢ è a² = b².

У нас остается слагаемое в следе, содержащее g5. Оно полно-

стью антисимметрично:

ãäå eκνλρ — полностью антисимметричный тензор с e0123 = 1. Ïîä-

ставляя это в выражение (22.3.15) с учетом b = –a находим:

чтобы удовлетворить любым двум из этих условий, так что аномалия может быть устранена из любых двух токов, однако очевидно, что при непараллельных k1 è k2 невозможно одновременно удов-

летворить всем трем условиям a µ k1 + k2, a + k2 µ k1 è a – k1 µ k2. (Например, из первых двух условий следует, что a = –k1 – k2

в противоречии с третьим условием.)

Поэтому мы приходим к выводу, что хотя у нас и есть некоторая свобода в выборе того, какой из токов содержит аномалию, но необращение в нуль величин Dαβγ определенно показывает,что аномалия есть по крайней мере в одном из токов Jaμ (x) , Jbν (y) èëè

Jgρ (z) . В этом заключается один из главных результатов проделан-

ных вычислений, который будет использован в следующем раз-

имодействие локальное слагаемое, вклад которого в дивергенцию тока Jαμ сократит ту дивергенцию, которая дается выражением

(22.3.24).

Возвращаясь теперь к формуле (22.3.24), мы можем выразить этот результат через среднее по вакууму тока Jαμ в присутствии калибровочных полей, связанных с токами Jβν è Jγρ . Вклад треуголь-

ных диаграмм в ток в присутствии калибровочных полей равен

Используя выражение (22.3.24), видим, что этот вклад имеет аномальную дивергенцию

На рис. 22.2 показаны дополнительные диаграммы, также содержащие аномалии. Калибровочная инвариантность требует, что диаграммы рис. 22.2 должны складываться и приводить к калибровоч- но инвариантному результату

Для проверки, рассмотрим теорию с сохранением фермионов с генераторами Tα вида (22.3.4). Константа Dαβγ в аномалии (22.3.26) да-

ется выражением

Конкретнее, в разделе 22.2 мы вычисляли дивергенцию аксиаль-

какое-то калибровочное поле, выбор вектора сдвига aμ становит-

ся вопросом удобства. Когда некоторые (но не все) токи связаны со спонтанно нарушенными симметриями, можно полностью сохранить ненарушенные симметрии, если выбрать aμ так, чтобы в

токах, соответствующих ненарушенным симметриям, не было аномалий. (Это соображение будет важными в разделе 22.7.) Например, в квантовой хромодинамике и подобных теориях, где генераторы Tα глобальных симметрий типа киральной SU(3) × SU(3)

имеют вид (22.3.4), все токи являются либо векторами, соответствующими ненарушенным симметриям, причем tαR = tαL , ëèáî àê-

сиальными векторами, соответствующими нарушенным симметриям, причем tαR = −tαL . Из соотношения (22.3.28) следует, что

единственными треугольными диаграммами с аномалиями в этом случае будут либо диаграммы с одним аксиальным и двумя векторными токами, либо диаграммы с тремя аксиальными токами.

В случае одного аксиального и двух векторных токов мы выбираем aμ так, чтобы не возникала аномалия, интерферирующая с сохранением векторных токов. Следовательно, если Jαμ (x) — аксиальный ток, а Jβν (y) è Jγρ (z) — два векторных тока, то, как и в (22.3.23), мы должны выбрать aμ = k1μ − k2μ , так что аномалия будет

определяться выражением (22.3.24). С другой стороны, в случае трех аксиальных токов нет оснований требовать, чтобы любой из них был свободен от аномалий. Вместо этого естественно придать вектору aμ такое значение, которое не нарушает симметрии между

тремя токами. На основании лоренц-инвариантности можно попробовать выбрать a = αk1 + βk2, ãäå α è β — константы. Тогда из

симметрии будет следовать, что импульс каждой внутренней линии должен равняться р плюс произведение α на импульс, вытекающий с конца линии, плюс произведение β на импульс, вытека-

Подставляя это в формулу (22.3.22) и сравнивая с выражением (22.3.23), видим, что аномалия в аксиальном токе в фейнмановской амплитуде для трех аксиальных токов равна одной трети от той, которая была бы в случае одного аксиального и двух векторных токов.

Дивергенция тока содержит дополнительные аномалии от диаграмм рис. 22.2. Калибровочная инвариантность здесь не помогает, поскольку даже вклад треугольной диаграммы не приводит к сохраняющимся токам. Полная аномалия была вычислена Бардиным8 для киральной SU(3) × SU(3) симметрии сильных взаимодействий,

причем векторы сдвига по импульсу были выбраны так, что векторные токи сохранялись, а диаграммы только со всеми аксиальными токами были симметричны по этим токам. Хотя в квантовой хромодинамике такая SU(3) × SU(3) симметрия (действующая не на

цвета, а на ароматы кварков) не является калибровочной, удобно выразить аномалию как нарушение калибровочной инвариантности функционала Γ[V,A] фиктивных слабо связанных калибровочных полей: октета векторных полей Vaμ (x) и октета аксиальных полей Aaμ (x). Введем также бесконечно малые операторы калибровочных

преобразований *

ãäå fabc — структурные константы SU(3). Как отмечалось выше, выбор импульсов внутренних линий сделан так, что векторный ток не содержит аномалии:

* Здесь операторы Ya è Xa — те же, что в работе 8 обозначались Xa è Ya. Такое изменение обозначений сделано для того, чтобы сохранить согласованность с обозначениями гл. 19, где генераторы нарушенной симметрии последовательно обозначались Xa.

но при этом аномалии появляются в аксиальных токах

Как уже объяснялось, появление множителя 1/3, сопровождающего второе слагаемое в правой части формулы (22.3.34), есть следствие разного выбора aμ в AVV и AAA диаграммах. В разделе

22.6 мы опишем условия согласованности, благодаря которым, зная квадратичные члены, можно вычислить кубичные и четвертичные члены в выражении (22.3.34).

Для аномалий, включающих симметрии, которые все спонтанно нарушены, нет оснований выбирать aμ так, чтобы отличать

разные токи. Наоборот, естественно пометить импульсы внутренних фермионных линий таким способом, который симметричен относительно прикрепленных линий калибровочных бозонов. Как мы видели, это означает, что2 треугольная диаграмма должна вычисляться при выборе a = (k1 – k2). При этом вклад треугольной аномалии становится равным 1/3 значения, даваемого выражением (22.3.26). С учетом квадратных и пятиугольных диаграмм этот результат принимает вид 8à

ãäå Aμ ≡ AαμTα . Мы не станем выводит эту формулу, поскольку уже знаем, что в таких случаях квадратичные по Aμ члены равны

одной трети от соответствующих членов в (22.3.26), а в разделе 22.6 мы сумеем с помощью условий согласованности вывести выражения для остальных слагаемых в формуле (22.3.38), исходя из квадратичных слагаемых.

Теперь следует рассмотреть возможные поправки к этим результатам. Тщательный вывод аномалии во всех порядках теории возмущений был сделан Адлером и Бардиным 9. Ниже мы приводим только суть их анализа.

Рассуждения, которые привели к выражению (22.3.22), можно повторить в любом порядке теории возмущений и показать, что в общем случае аномалия возникает от интегралов в импульсном пространстве, которые можно записать как поверхностные члены. Отсюда, как мы уже видели в формуле (22.3.18), единственные диаграммы для дивергенции тока, которые дают вклад в анома-лию, — это те, у которых интеграл по импульсу, циркулирующему по фермионной петле, имеет размерность (в степенях импульса) нуль или больше. Взаимодействия фермионов в петле с виртуальными калибровоч- ными бозонами уменьшило бы размерность интеграла по импульсу в фермионной петле в степени, достаточной для устранения аномалии. Поэтому вклад в аномалию от таких радиационных поправок отсутствует. (Конечно, интеграл по импульсам виртуальных калибровочных бозонов, а также по фермионной петле имел бы неотрицательную размерность, но в противоположность фермионному пропагатору можно регуляризовать пропагаторы калибровочных бозонов, не нарушая обсуждаемую киральную симметрию.) На аномалию влияют взаимодействия калибровочных бозонов, прикрепленных к фермионной петле, с другими калибровочными бозонами и

фермионными петлями, но такие взаимодействия сводятся к перенормировке операторов типа εκνλρFκνβ (x)Fλργ (x). По тем же соображе-

ниям, любая фермионная масса, не нарушающая обсуждаемые симметрии (если такое было бы возможным), не изменяла бы аномалию, поскольку извлекаемые из этой массы множители понижали бы размерность интеграла в импульсном пространстве.

Последнее замечание предыдущего абзаца поднимает вопрос, можем ли мы вычислить аномалию, не зная всех фермионов в теории — как тяжелых, так и легких или безмассовых. Да, мы можем это сделать. Сейчас мы покажем, что ни один фермион,