Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

Это уравнение позволяет переписать выражение (22.2.26) как условие

ãäå

Однако сохранение тока Kμ не может служить аргументом в пользу подавления распада π0 → 2γ, как это мы сделали в предыдущем

разделе, поскольку при таком рассуждении предполагалась не только киральная симметрия, связанная с сохранением аксиального тока, но и электромагнитная калибровочная инвариантность. Но из выражения (22.2.29) следует, что хотя ток Kμ сохраняется, он ка-

либровочно-неинвариантен.

Наш вывод формулы (22.2.24) для аномалии показывает, что если вычислять функцию аномалии, используя в (22.2.13) вместо fd− ∂/ 2x M2 i дифференциальный оператор fd− D/ x2 M2 i , то в резуль-

тате получим нулевую аномальную функцию. На самом деле, при такой процедуре регуляризации аксиальный ток есть не J5μ , à Kμ.

Как отмечалось выше, проблема с такой процедурой заключается в том, что регуляризующий оператор уже калибровочно неинвариантен, что отражается в наличии калибровочно неинвариантного слагаемого в Kμ. Не существует процедуры регуляризации ферми-

онных пропагаторов и детерминантов, которая была бы и калибровочно, и кирально-инвариантной.

Теперь можно вернуться к проблеме, давшей старт вопросу об аномалиях, и использовать полученные результаты для вычисления истинной вероятности процесса π0 → 2γ. Интересующая нас

симметрия порождается зарядово-нейтральными киральными преобразованиями легких кварковых полей

В чистой квантовой хромодинамике эта симметрия свободна от аномалий, поскольку u и d принадлежат одному представлению цветовой калибровочной группы, так что их вклады в глюон-глю- онные слагаемые в аномалию симметрии (22.2.33) сокращаются.

С другой стороны, в присутствии электромагнитного поля Aμ(x)

эта симметрия имеет аномалию

A (x) = − 1 εμνρσ Fμν (x)Fρσ (x) trnq2τ3 s , 16π2

где q — матрица кварковых зарядов, а t3 — диагональная 2 × 2

матрица с элементами +1 для u и –1 для d. Если, как обычно, предположить, что имеются Nc u-кварков заряда 2е/3 и равное число d-кварков заряда –е/3, то след равен

Теперь мы должны включить в эффективный лагранжиан слагаемые, которые под действием кирального преобразования (22.2.33) преобразуют лагранжиан по правилу (22.2.12), т. е.

Под действием преобразования (22.2.33) пионное поле преобразуется как

ãäå Fπ = 184 МэВ — введенная в гл. 19 амплитуда пионного распада.

(Условие нормировки для этой константы фиксируются нашим определением генератора симметрии как γ5τ3 = 2γ5t3.) Отсюда, мы дол-

жны включить в эффективный лагранжиан слагаемое

Сравнивая это выражение с общей формулой (22.1.1) для эффективного лагранжиана распада π0 → 2γ, видим, что константа g в

(22.1.1) должна быть равной 5

(Это показывает, что наша предыдущая грубая оценка по порядку величины (22.1.3) была завышена на множитель 6/Nc.) Таким образом, предсказывается, что вероятность (22.1.2.) распада пиона равна

Наблюдаемая вероятность равна Γ(π0 → 2γ) = (1,19±0,08) × 1016 ñ–1

и она хорошо согласуется с теоретическим расчетом (22.2.39) тогда и только тогда, когда Nc = 3. Успех этого вычисления был одним из первых свидетельств твердой уверенности в существовании трех цветов кварков.

Как мы видели в предыдущем разделе, вскоре после открытия π0 Штейнбергер вычислил g, исходя из диаграммы с одной протонной петлей, и получил в результате g = e2G/(32π2mN), ãäå G —

псевдоскалярная пион-нуклонная константа связи. Этот результат точно согласовывался бы с (22.2.38) при Nñ = 3, если бы мы воспользовались соотношением Гольдбергера–Треймана с gA = 1, чтобы положить G = 2mN/Fπ. Правильный результат больше, чем получен-

ный Штейнбергером, на множитель gA2 = 1,56. Причина, по которой Штейнбергер получил почти правильный ответ, заключается в том, что ответ определяется треугольной аномалией, пропорциональной tr{q2t3}. Для одного протона этот след равен е2, что совпадает с найденным выше значением следа в случае трех цветов кварков.

* * *

Как отмечалось выше, более строгий вывод выражения для аномалии можно получить, используя функциональные интегра-

496 Глава 22. Аномалии

лы в евклидовом пространстве-времени. (Применения евклидовых функциональных интегралов кратко обсуждается в приложе-

нии А к гл. 23.) Вводим четвертую евклидову координату x4 = ix0 =

–ix0, и соответственно ∂4 = –i∂0, γ4 ≡ iγ0 è A4α = iA0α. Тогда про-

странственно-временной объем записывается как d4x = –i(d4x)E, ãäå (d4x)E — евклидов элемент объема (d4x)E = dx1dx2dx3dx4. В евклидовом пространстве-времени поля ψ(x) è`ψ(x) должны рассмат-

риваться как совершенно независимые, а их локальные киральные преобразования определяются следующими формулами:

δψ(x) = iα(x)tγ 5ψ(x) , δψ(x) = −iα(x)ψ(x)tγ 5 . Преобразование меры

вновь дается выражением (22.2.10), с функцией аномалии A(x), определяемой формулой (22.2.11). Вводя, как и ранее, регуляризующую функцию, приходим к формуле (22.2.13) для A(x). Большим преимуществом евклидова подхода является то, что при действительных x4 è A4α оператор Дирака iD/ в (22.2.13) эрмитов:

где по i, j, и т. д. проводится суммирование по значениям 1, 2, 3, 4. Поэтому он имеет ортонормированные спинорные собственные функции ϕκ(x):

с собственными значениями λκ. Мы предполагаем также, как и везде в данном разделе, что t коммутирует с iD/ , и можно выбрать ϕκ òàê, ÷òî tϕκ = tκϕκ. Эти собственные функции удовлетворяют усло-

вию полноты

ãäå «1» — 4 × 4 единичная матрица. Поэтому функция аномалии

может быть записана как предел явно сходящейся суммы:

κ

Совершенно так же, как мы вывели формулу (22.2.24) для функции аномалии, мы можем показать, что теперь

ница в знаках в выражениях (22.2.24) и (22.2.45) возникает из-за того, что в (22.2.45) опущены по сравнению с (22.2.24) два множителя i: один — из формулы (22.2.23), так как

trD {g 5 [g i , g j ][g k , g l ] = 16eEijkl ,

а другой — от замены d4k íà (d4k)E â (22.2.20).)

Пусть дана любая собственная функция jκ(x) операторов iD/ и t с собственным значением lκ ¹ 0, тогда существует другая нормированная собственная функция jκ–(x) с собственными значениями

lκ– = –lκ è tκ, равная jκ–(x) = g5jκ(x). (Напомним, что в обозначе- ниях, используемых по всей книге, g5 — эрмитова матрица, g5 =

–ig1g2g3g0 = g1g2g3g4.) Поскольку jκ(x) è jκ–(x) — собственные векто-

ры эрмитового оператора с разными собственными значениями, они ортогональны, так что z d4xdj†κ (x)g 5jκ (x)i = 0. Поэтому остается только сумма по собственным функциям с lκ = 0. Эти собственные

функии в общем случае не объединены в пары; так как g5 антикоммутирует с iD/ , они могут быть выбраны как одновременно ортонормированные собственные функции ju, jv оператора iD/ с собственным значением нуль и оператора g5 с собственными значениями

+1 и –1, соответственно.

Используя то, что f(0) = 1, выражение (22.2.44) принимает вид

Далее, поскольку ju è jv нормированы как в выражении (22.2.42),

интеграл от (22.2.47) дает

498 Глава 22. Аномалии

где суммы по u и v пробегают по левым и правым нулевым модам оператора iD/ , соответственно. В частности, в случае, когда t —

единичная матрица, можно с помощью выражения (22.2.45) выразить это как связь между функционалом калибровочного поля и числом нулевых мод оператора Дирака с определенными спиральностями:

где здесь n± — число нулевых мод D/ , имеющих собственные значе- ния γ5 = ±1. Это — знаменитая теорема об индексе Атьи–Зингера 6à.

Среди прочего, она показывает, что в результате вариаций калибровочного поля интеграл в левой части выражения (22.2.49) может изменяться не плавно, а лишь на целые значения, и поэтому может зависеть только от топологии калибровочного поля. Эту зависимость мы опишем в разделе 23.5.

22.3.Прямое вычисление аномалий. Общий случай

Âразделе 22.2 мы видели, как можно использовать элегантный подход Фуджикавы для вычисления аномалий киральных симметрий в калибровочных теориях типа квантовой хромодинамики, где калибровочные взаимодействия не киральны, и фермионное число сохраняется. Этот же метод можно использовать и для более общих задач, хотя при этом он становится менее наглядным 7.

Âэтом разделе мы найдем аномалию с помощью прямых вычислений, как это и было впервые сделано. Мы получим при этом полезные новые представления об аномалиях, что в конечном итоге позволит с минимальными дополнительными хлопотами обсудить аномалии в произвольных теориях.

Чтобы рассмотреть общий случай, объединим все левые фер-

мионные поля (включая антифермионы в случаях, когда такое различие имеет смысл) в один столбец χ. Например, если ψ — столбец,

Рис. 22.1. Две треугольные диаграммы для аномалии в токе @. Сплошные линии — фермионы, волнистые линии изображают фиктивные калибровочные поля, связанные с токами

а S(x) — пропагатор безмассового фермионного поля:

(Дальнейшие комментарии по поводу такого использования фейнмановских правил см. в конце данного раздела.) Собирая все множители в выражении (22.3.7), получаем

где здесь «tr» означает след либо по дираковским, либо по групповым индексам в зависимости от того выражения, которое стоит под знаком следа. В это выражение введены произвольные постоянные 4-векторы a и b, поскольку, несмотря на то, что выражение (22.3.10) сходится и поэтому не зависит от того, как обозначе- ны импульсы внутренних линий, вычисление ∂mΓabgμνρ включает

манипуляции с расходящимися интегралами, которые зависят от этих обозначений. Мы увидим, что произвол в выборе aμ è bμ

соответствует свободе перекидывания аномалии в этих интегралах от одного тока к другому, но не позволяет устранить все аномалии.

Беря дивергенцию выражения (22.3.10), мы используем тождества

k/1 + k/ 2 = (p/ + k/ 2 + a/ ) − (p/ − k/1 + a/ ) = (p/ + k/ 2 + b/) − (p/ − k/ 2 + b/)

и находим