Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

вызывала проблема с вероятностью доминирующей моды распада нейтрального пиона p0 ® 2g. Именно решение этой проблемы при-

вело к открытию нарушающих симметрию аномалий.

После интегрирования по всем тяжелым и находящимся в связанном состоянии частицам можно ожидать, что эффективный лагранжиан для распада p0 ® 2g будет определяться единственным

калибровочно- и лоренц-инвариантным выражением не более чем с двумя производными:

где g — неизвестная константа размерности [масса]–1. Методы раздела 3.4 позволяют вычислить вероятность распада p0 ® 2g:

ãäå Fπ g 190 МэВ использована как типичная шкала масс для сильных взаимодействий, а множитель 1/8p2 включен, потому что ответственные за распад p0 ® 2g диаграммы содержат по крайней

мере одну петлю. Например, в 1949 году, используя предшественницу КХД — теорию пионов и нуклонов с лагранжианом взаимо-

от треугольных диаграмм с единственной протонной петлей равен

Численно это не слишком отличается от (22.1.3), поскольку в силу соотношения Гольдбергера–Треймана (см. раздел 19.4)

GπN = 2mNgA/Fπ.

Эта оценка амплитуды p0 ® 2g не учитывает специальных1 ограничений, накладываемых SU(2) Ä SU(2) симметрией. Большая

часть этой симметрии нарушается электромагнитным взаимодей-

приводит к той же оценке (22.1.7). Иногда говорили, что киральная симметрия запрещает распад π0 → 2γ, но аккуратнее гово-

рить, что благодаря киральной симметрии вероятность этого процесса ведет себя при mπ → 0 íå êàê mπ3, à êàê mπ7.

Трудность в том, что наблюдаемая вероятность распада π0 → 2γ много больше, чем это можно было бы ожидать на основании

(22.1.7), и в действительности много ближе к той цифре, которая получается, если воспользоваться наивным результатом (22.1.3). Конкретнее, из выражений (22.1.7) и (22.1.2) мы можем ожидать, что вероятность распада

а, используя (22.1.3) вместо (22.1.7), мы получили бы

Наблюдаемое значение равно Γ(π0 → 2γ) = (1,19 ± 0,08) × 1016 ñ–1,

что находится в удовлетворительном согласии с грубой наивной оценкой (22.1.9) и почти на три порядка величины больше, чем «исправленный» результат (22.1.8)! Мы вынуждены прийти к выводу, что какая-то аномалия делает недействительной киральную симметрию, в силу которой был введен дополнительный множитель mπ2/mN2 в g. Аналогичные проблемы возникают при попытке понять вероятности других процессов, например, η0 → γ + γ.

В 1969 году Белл и Джэкив 4 установили источник этой аномалии в нарушении киральной симметрии тем регулятором, который необходимо ввести, чтобы получить следствия сохранения нейтрального аксиального тока для однопетлевых фейнмановских диаграмм. Их результат был подтвержден, обобщен и расширен до высших порядков Адлером 5, который независимо обнаружил киральные аномалии при изучении тождеств Уорда для аксиальных токов в квантовой электродинамике. В конце концов, в 1979 году Фуджикава 6 понял, что при функциональной формулировке теории поля нарушающие киральную симметрию аномалии входят только в меру, используемую для определения функционального интеграла по фермионным полям. Как мы увидим в следующем

разделе, этот подход позволяет просто вывести порождаемую такой аномалией амплитуду π0 → 2γ во всех порядках теории

возмущений. Затем мы вернемся к непосредственному вычислению аномалий в более общих теориях и обсудим различные приложения.

22.2. Преобразование меры. Абелева аномалия

Обратимся теперь к вычислению аномалий того типа, который имеет отношение к π0-распаду. Для этого примем принадле-

жащую Фуджикаве 6 интерпретацию аномалий как симптома невозможности определения подходящей инвариантной меры интегрирования по фермионным полевым переменным. Анализ этой проблемы у Фуджикавы основывался на использовании функциональных интегралов в евклидовом пространстве и на разложении фермионных переменных интегрирования по собственным функциям калибровочно-инвариантного оператора Дирака, который эрмитов в четырехмерном евклидовом пространстве. Здесь мы изложим сначала менее строгий вывод, основанный на закомых нам функциональных интегралах в пространстве Минковского, что позволит получить правильный ответ при минимальной затрате усилий. В конце раздела мы коротко коснемся евклидова подхода и используем его для вывода знаменитой теоремы об индексах.

Начнем с вычисления аномалии в преобразовании меры относительно произвольного локального матричного преобразования ψ(x) → U(x)ψ(x) столбца ψn(x) безмассовых комплексных фермион-

ных полей спина 1/2, которые некиральным образом взаимодействуют с множеством калибровочных полей Aαμ(x) (примером мо-

гут служить поля u- и d-кварков, взаимодействующие с электромагнитным векторным потенциалом Aμ(x), в задаче о вычислении вероятности распада π0 → 2γ). Поскольку переменные — ферми-

онные, мера преобразуется не с помощью детерминанта матрицы преобразования, а с помощью обратного детерминанта:

Индексы n, m пробегают по значениям ароматов и дираковских спиновых индексов.

В этом месте читатель может удивиться, почему мы беспокоимся о включении множителей γ4 в выражение (22.2.3), хотя

они дают вклад только в унитарное преобразование, которое не должно влиять на детерминанты. Ответ заключается в том, что для придания расчетам смысла окажется необходимым при вы- числении пропагаторов и детерминантов регуляризовать сумму по фермионным модам, и мы увидим, что множители γ4 влияют

на регуляризованные детерминанты. Таким образом, вопрос о том, включать или не включать множители γ4, зависит от мето-

да регуляризации, который мы используем, чтобы сделать наши напоминающие размахивание руками манипуляции осмысленными. Мы включаем множители γ4, потому что хотим осуществ-

лять регуляризацию так, чтобы сохранялась лоренц-инвариан- тность, а в интересующих нас сейчас случаях как скаляр преобразуется не U(x)†, à γ4U(x)†γ4.

Во-первых, рассмотрим случай, когда U(x) — унитарное некиральное преобразование

где t — обычная эрмитова матрица (не содержащая γ5, но не обязательно бесследовая), а α(x) — произвольная действительная фун-

кция x. В этом случае U псевдоунитарна:

так что мера инвариантна относительно преобразований такого типа. В частности, симметрия относительно самой калибровочной группы, где t — один из некиральных генераторов tα, не портится ка-

кими-то аномалиями.

Во-вторых, рассмотрим локальное киральное преобразование

где t — опять обычная эрмитова матрица, а α(x) — снова произ-

вольная действительная функция x. В этом случае матрица U псевдоэрмитова:

U = U (22.2.7)

.

Мера неинвариантна относительно кирального преобразования; имеем

Ограничимся случаем бесконечно малого локального кирального преобразования. Выбирая α(x) в выражении (22.2.6) бесконечно

малым, имеем теперь

Используя тождество Det M = exp (Tr ln M) и предельную формулу ln(1 + x) → x ïðè x → 0, видим, что теперь мера преобразуется

êàê

и «Tr» означает здесь след как по дираковским индексам, так и по индексам сортов. Мера входит в функциональный интеграл с весом exp{i z d4xL(x)}, так что множитель exp{i z d4xα(x)A (x)} â

законе преобразования (22.2.10) для меры приводит к тому же эффекту, как если бы плотность лагранжиана была не инвариантной по отношению к таким преобразованиям, а преобразовывалась как L(x) → L(x) + α(x)A(x). Отсюда, когда мы используем эффективный

лагранжиан, в котором проведено интегрирование по фермионам, то для того, чтобы учесть аномалии, мы должны включить неинвариантное слагаемое, так что

Остается только вычислить аномалию A(x).

490 Глава 22. Аномалии

(Производная по x равна нулю, когда она действует, находясь в крайнем правом положении во втором выражении, но не равна нулю при действии на Aαμ(x).) Обезразмеривая импульс kμ множи-

телем М, получаем:

Аргумент обрезающей функции можно записать как

В пределе М ® ¥ в выражение (22.2.17) дают вклад только члены в разложении fd-[ik/ + D/ x / M]2 i , имеющие не более четырех мно-

жителей 1/М, а также члены, содержащие не менее четырех дираковских гамма-матриц, поскольку в противном случае след по дираковским индексам равен нулю. В результате остаются только слагаемыме второго порядка по D/ x2 :

которые теперь уже не зависят от регуляризующей массы М. Чтобы вычислить интеграл по k, совершим поворот контура

интегрирования по k0 того же типа, что и при вычислении фейнмановских диаграмм, так что k0 заменится на ik4, ãäå k4 изменяется от –¥ äî +¥. (Этот шаг можно обосновать, только если с самого

начала работать с евклидовыми функциональными интегралами.) Тогда интеграл сводится к

После повторного интегрированием по частям с использованием выражений (22.2.16) и затем (22.2.15) получаем:

Единственное слагаемое с D/ x4 , которое дает вклад в след по дира-

ковским индексам, содержит произведение четырех матриц Дирака, поэтому

ãäå «trD» обозначает след только по дираковским индексам, и, как обычно, εμνρσ — полностью антисимметричный тензор с ε0123 = +1.

После подстановки выражений (22.2.21)–(22.2.23) в формулу (22.2.19) получаем аномалию в виде

где «tr» здесь означает след только индексам, отмечающим различные сорта фермионов. В частном случае, когда t — единичная матрица, величина (22.2.24) известна как плотность Черна–Понт- рягина.

Этот результат можно записать через ток, связанный с аномальной симметрией. Для простоты предположим, что само действие инвариантно относительно преобразования симметрии ψ(x) → ψ(x) +iψγ5αψ(x) с постоянным бесконечно малым параметром α.

Тогда, как обсуждалось в разделе 7.3, если проделать такое преобразование с зависящим от пространственно-временной точки параметром α(x), изменение действия можно записать как δI = z d4xJ5μ (x)∂μα(x) , ãäå J5μ (x) — ток, который становится сохра-