Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

Количественные свойства сверхпроводников типа глубины проникновения можно извлечь 46 из разложения выражения (21.6.84) по степеням A0 (x, t) − ϕ& (x, t) è A(x, t) - Ñj(x, t) .

Приложение. Произвольная унитарная калибровка

В этом приложении мы покажем, что в произвольных спонтанно нарушенных калибровочных теориях всегда можно выбрать «унитарную» калибровку, в которой поля голдстоуновских бозонов удовлетворяют условию (21.4.30)

Используя экспоненциальную параметризацию, верную для всех групп, заметим, во-первых, что любой элемент G, по крайне мере, в конечной окрестности единицы, может быть записан в виде

Это легко увидеть, когда элемент g бесконечно близок к единице. Любой такой элемент g можно записать как

474 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Для любого данного можно выбрать θa так, чтобы минимизировать

положительную величину

В этом минимуме величина (21.А.8) стационарна по отношению к вариациям θa, òàê ÷òî ϕa(θ) удовлетворяет условию (21.А.3). Для бесконечно малых ϕ, μ è θ формула (21.А.5) совпадает с (21.А.2), так что мы видим, что множество всех g вида (21.А.2) (с ϕa, óäîâ-

летворяющими условию (21.А.3)) включает все g, бесконечно близкие к единице. Из соображений непрерывности следует, что все это верно для всех g по крайней мере в некоторой конечной окрестности единицы.

Далее, рассмотрим конкретный групповой элемент

Опуская штрихи, видим, что нам удалось построить калибровку, в которой ξa удовлетворяет (21.А.1), что и требовалось доказать.

Задачи

1. Вычислите эффективный лагранжиан духов в «обобщенной унитарной калибровке», причем B[f] дается, как обычно, выражением (15.5.22), но где теперь величина f дается выраже-

íèåì fα (x) = iϕn (x)(tα )nm ϕm (0)VAC , ϕn — действительные ска-

лярные поля, а ta — мнимые антисимметричные матрицы, представляющие алгебру Ли калибровочной группы. Чему равен пропагатор гостов? Является ли эта часть лагранжиана перенормируемой?

2.Что случилось бы с SU(2) × U(1) электрослабой теорией, если

калибровочная симметрия была бы нарушена средним по ваку-

óìó ïîëÿ ϕ3, принадлежащего действительному триплету ϕr = (ϕ+ , ϕ0 , ϕ− ) , а не обычному комплексному дублету (ϕ0, ϕ–)?

3.Рассмотрите обычную электрослабую теорию с единственным скалярным дублетом. Вычислите в однопетлевом приближении влияние обмена Z0-бозоном и нейтральным скалярным бозоном на аномальный магнитный момент мюона.

4.Чему равен магнитный момент частиц W+ è Z0 в стандартной электрослабой модели в низшем приближении?

5.Каково было бы влияние открытия четвертого поколения кварков и лептонов на предсказания обсуждавшихся в разделе 21.5 единых теорий сильного и электрослабого взаимодействий?

6.Предположим, что несколько полей с несоизмеримыми значениями электрического заряда имели бы ненулевые вакуумные средние в сверхпроводнике. Как это повлияло бы на обсуждавшиеся в разделе 21.6 свойства сверхпроводников?

Список литературы

1.Goldstone, J., Nuovo Cimento, 9, 154 (1961); Goldstone, J., Salam, A., and Weinberg, S., Phys. Rev. 127, 965 (1962).

2.Higgs, P.W., Phys. Lett., 12, 132 (1964); Phys. Rev. Lett., 13, 508 (1964); Phys. Rev., 145, 1156 (1966); Englert, F. and Brout, R., Phys. Rev. Lett., 13, 321 (1964); Guralnik, G.S., Hagen, C.R., and Kibble, T.W.B., Phys. Rev. Lett., 13, 585 (1964); Kibble, T.W.B., Phys. Rev., 155, 1554 (1967); Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 18, 507 (1967).

3.Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 19, 1264 (1967); Salam, A., in Elementary Particle Physics, ed. N. Svartholm (Almqvist and Wiksells, Stockholm, 1968), p. 367.

3a. Фейнмановские правила для произвольных калибровочных теорий в унитарной калибровке даны в работе: Weinberg, S., Phys. Rev., D7, 1068 (1973).

4.'t Hooft, G., Nucl. Phys., B35, 167 (1971); Lee, B.W., Phys. Rev., D7, 823 (1972).

5.Fujikawa, K., Lee, B.W., Sanda, A., Phys. Rev., D6, 2923 (1972).

5a. Lee, B.W. and Zinn-Justin, J., Phys. Rev., D5, 3121, 3137 (1972); Phys. Rev., D7, 1049 (1972); 't Hooft, G. and Veltman, M., Nucl. Phys., B50, 318 (1972); Lee, B.W., Phys. Rev., D9, 933 (1974).

6.Georgi, H. and Glashow, S.L., Phys. Rev. Lett., 28, 1494 (1972).

7.Lee, T.D. and Yang, C.N., Phys. Rev., 98, 101 (1955).

8.Модели с неполной SU(2) × U(1) симметрией были предложе-

ны в работах: Glashow, S.L., Nucl. Phys., 22, 579 (1961); Salam, A. and Ward, J., Phys. Lett., 13, 168 (1964). См. также: Schwinger, J., Ann. Phys. (N.Y.), 2, 407 (1957).

9.Спекуляции на тему о возможности существования нейтральных токов восходят к работам: Gamov, G. and Teller, E., Phys. Rev., 51, 288 (1937); Kemmer, N., Phys. Rev., 52, 906 (1937); Wentzel, G., Helv. Phys. Acta, 10, 108 (1937); Bludman, S., Nuovo Cimento, 9, 433 (1958); Leites-Lopes, J., Nucl. Phys., 8, 234 (1958).

10.Нейтральные токи впервые наблюдались в ЦЕРНе в одиноч-

ном событии рассеяния`νμ-e–: Hasert, F.J. et al., Phys. Lett., 46,

121 (1973).

11.Cabibbo, N., Phys. Rev. Lett., 10, 531 (1963).

12.Towner, I.S., Hagberg, E., Hardy, J.C. et al., Chalk River preprint nucl-th/9507005 (1995).

13.Glashow, S.L., Illiopoulos, J., and Maiani, L., Phys. Rev., D2, 1285 (1970).

14.Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 27, 1688 (1971); Phys. Rev., D5, 1413 (1972).

15.Aubert, J.J. et al., Phys. Rev. Lett., 33, 1404 (1974); Augustin, J.E. et al., Phys. Rev. Lett., 33, 1406 (1974).

16.Perl, M.L. et al., Phys. Rev. Lett., 35, 1489 (1975).

17.Herb, S.W. et al., Phys. Rev. Lett., 39, 252 (1977).

18.Abe, F. et al., Phys. Rev. Lett., 74, 2626 (1995); Abachi, S. et al., Phys. Rev. Lett., 74, 2632 (1995).

19.Значения, которые получены коллаборациями CDF и D0 в Фермилабе, равны соответственно 176 ± 8 ± 10 ÃýÂ (Abe, F. et

al., [18]) и ГэВ (Abachi, S. et al., [18]), где первая и вторая ошибки являются соответственно статистической и систематической ошибками. Интерпретация этих результатов в работе: Ellis, J., Fogli, G.L., and Lisi, E., CERN-BARI preprint hep-ph/9507424 привела к значению 181 ± 12 ÃýÂ.

478Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

20.Kobayashi, M. and Maskawa, K., Progr. Theor. Phys., 49, 282 (1972).

20a. Gilman, F.J., Kleinknecht, K., and Renk, B., Carnegie Mellon– Mainz preprint CMU-HUP95-19-DOE-ER/40-682-107 (1995).

20b. Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 37, 657 (1976). Более ранние модели, в которых скалярные поля ответственны за несохранение СР и Т см. в работе: Lee, T.D., Phys. Rev., D8, 1226 (1973); Phys. Rep., 9C, 143 (1974).

21.Hasert, F.J. et al., Phys. Lett., 46B, 138 (1973); Musset, P., Journal de Physique, 11/12, T34 (1973). Примерно в то же время события с нейтральными токами наблюдались в Фермилабе коллаборацией Гарвард–Пенсильвания–Висконсин– Фермилаб. Однако публикация их статьи задержалась, и они воспользовались возможностью и перестроили свой детектор. Сначала они не могли обнаружить тот же сигнал. Свидетельства в пользу существования нейтральных токов были опубликованы этой группой в работе: Benvenuti, A. et al., Phys. Rev. Lett., 32, 800 (1974).

22.Arnison, G. et al., Phys. Lett., 122B, 103 (1983); 126B, 398 (1983); 129B, 273 (1983); 134B, 469 (1984); 147B, 241 (1984).

23.Abe, F. et al. (CDF collaboration), Phys. Rev. Lett., 75, 11 (1995).

Масса W измерялась в данном эксперименте по наблюдениям распадов W → μ + ν è W → e + ν.

24.CERN report LEPEWWG/95-01, unpublished (1995).

25.Green, M. and Veltman, M., Nucl. Phys., B169, 137 (1980); Novikov, V.A., Okun', L.B., and Vysotsky, M.I., Nucl. Phys., B397, 35 (1992). Более поздние исследования см.: Langacker, P., in Precision Tests of the Standard Model (World Scientific, Singapore, 1994); Bamert, P., Burgess, C.P., and Maksymyk, I., Mc–Gill–Neuchatel–Texas preprint hep-ph/9505339 (1995); Hollik, W., Karlsruhe preprint hep-ph/9507406 (1995).

26.Fanchotti, S., Kniehl, B., and Sirlin, A., Phys. Rev., D48, 307 (1973) и ссылки в этой работе.

27.Ellis, J., Fogli, G.L., and Lisi, E., [19].

27a. Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 43, 1566 (1979).

27b. Например, в так называемом механизме «качелей» масса нейтрино такого порядка генерировалась бы за счет обмена тяжелым нейтральным лептоном массой М; см.: Gell-Mann, M., Ramond, P., and Slansky, R., in Supergravity, ed. P. van Nieuwenhuizen and D. Freedman (North Holland, Amsterdam, 1979), p. 315; Yanagida,T., Prog. Theor. Phys., B135, 66 (1978).

27c. Weinberg, S., [27a]; Wilczek, F. and Zee, A., Phys. Rev. Lett., 43, 1571 (1979). См. также: Weinberg, S., Phys. Rev., D22, 1694 (1980).

28.Этот общий формализм был описан в работе: Weinberg, S., Phys. Rev., D13, 974 (1976). Более ранние работы по динами- ческому нарушению симметрии в калибровочных теориях см.: Jackiw, R. and Johnson, K., Phys. Rev., D8, 2386 (1973); Cornwall, J.M. and Norton, R.E., Phys. Rev., D8, 3338 (1973).

29.Такая интерпретация результатов стандартной модели принадлежит Л. Сасскинду ([30]).

30.Weinberg, S., [28]; Phys. Rev., D19, 1277 (1979); Susskind, L., Phys. Rev., D19, 2619 (1979). Термин «техницвет» принадлежит Сасскинду.

31.Dimopoulos, S. and Susskind, L., Nucl. Phys., B15, 237 (1979); Eichten, E. and Lane, K., Phys. Lett., 90B, 125 (1980); Weinberg, S., неопубликованная работа, цитируемая Эйхтеном и Лейномю Обзор см.: Farhi, E. and Susskind, L., Phys. Rep., 74, 277 (1981).

32.Weinberg, S., Phys. Rev., D5, 1962 (1972).

44.Benfatto, G. and Gallavotti, G., J. Stat. Phys., 59, 541 (1990); Phys. Rev., 42, 9967 (1990); Feldman, J. and Trubowitz, E., Helv. Phys. Acta, 63, 157 (1990); 64, 213 (1991); 65, 679 (1992); Shankar, R., Physica, A177, 530 (1991); Rev. Mod. Phys., 66, 129 (1993); Polchinski, J., in Recent Developments in Particle Theory, Proc. of the 1992 TASI, eds. J. Harvey and J. Polchinski (World Scientific, Singapore, 1993).

44a. Weinberg, S., Nucl. Phys., B413, 567 (1994).

46.Абрикосов А.А., Горьков Л.П. и Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. Изд. 2-е. (М.: Физматгиз, 1962).

47.Чтобы придать точный смысл массе М, необходимо учесть как двухпетлевые поправки к уравнениям ренормгруппы (21.5.6)–(21.5.8), так и однопетлевые «пороговые поправки» к условию (21.5.5). См.: Weinberg, S., Phys. Lett., 82B, 387 (1979).

22

Аномалии

Применения симметрий в квантовой теории поля содержат некоторые тонкости, не имеющие аналогов в классических теориях. Даже в перенормируемых теориях бесконечности, возникающие в квантовой теории поля, требуют при реальных вычислениях введения определенного типа регуляторов или параметров обрезания. Регулятор может нарушать симметрии теории, и несмотря на то, что в конце вычислений он устраняется, следы такого нарушения симметрии могут остаться. Такая проблема впервые возникла при попытке понять вероятность распада нейтрального пиона в форме аномалии, которая нарушала глобальную симметрию сильных взаимодействий. Кроме того, аномалии могут нарушать калибровочные симметрии, но в этом случае теория становится несогласованной, так что условие сокращения аномалий можно использовать как ограничение на физические калибровочные теории. Важность аномалий станет еще яснее в следующей главе, где мы будем изучать связанные с ними непертурбативные эффекты в присутствии топологически нетривиальных полевых конфигураций.

22.1.Проблема распада π0

Êсередине 1960-х годов представление о пионе как голдстоуновском бозоне, связанном со спонтанно нарушенной SU(2) Ä SU(2)

симметрией сильных взаимодействий, привело к ряду успехов,

îкоторых шла речь в гл. 19. Однако на счету такого представления было и несколько выдающихся неудач. Наибольшее беспокойство