Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

В приложении А к этой главе дано доказательство эквивалентности утверждений a, b и с.7

Прежде чем переходить к обсуждению физических приложений этого результата, было бы полезно сказать чуть больше об условии компактности. Хотя нам это и не понадобится, укажем, что компактная алгебра Ли состоит из генераторов компактной группы Ли, т. е. группы, у которой инвариантный объем конечен. Например, группа вращений компактна, а группа Лоренца — нет. В ка- честве простого примера простой некомпактной алгебры Ли рассмотрим коммутационные соотношения

[t1, t2 ] = −it3 , [t2 , t3 ] = it1, [t3 , t1] = it2 .

В данном случае структурные константы действительны, но не полностью антисимметричны. Ненулевые компоненты структурных констант равны

C312 = –C321 = –1, C123 = –C132 = 1, C231 = –C213 = 1.

Метрика *, определяемая формулой (15.А.10), диагональна, причем g11 = g22 = –g33 = –2.

щий со всеми генераторами самой алгебры G. Полупростая алгебра Ли не содержит инвариантных абелевых подалгебр, т. е. инвариантных подалгебр, генераторы которых коммутируют друг с другом. Полупростые алгебры Ли есть прямые суммы простых (но не U(1)) алгебр Ли. Говорят, что простая или полупростая алгебра Ли компактна, если матрица Tr{tAαtAβ} = –CγαδCδβγ положительно определена. Смысл и важное значение свойств

простоты и компактности будут обсуждаться ниже. Когда говорят, что алгебра Ли G есть прямая сумма подалгебр Hn, имеют в виду, что можно найти базис для G с генераторами tna, в котором структурные константы принимают вид

Clcna mb = δlmδmnC( n)cab

ãäå C(n)kab – структурная константа подалгебры Hn.

* Термин «метрика» не случаен. С математической точки зрения, условие (15.2.4), являющееся условием калибровочной инвариантности лагранжиана (15.2.3), определяет метрику gab на алгебре Ли, инвариантную относительно присоединенного представления, — так называемую метрику Киллинга. — Прим. ред.

Эта матрица не является положительно определенной, поэтому алгебра Ли некомпактна. На самом деле, это алгебра Ли неком-пакт- ной группы O(2,1), т. е. группы Лоренца в двух пространственных и одном временном измерениях.

Два множества генераторов, отличающихся действительным неособенным линейным преобразованием, образуют базис одной и той же алгебры Ли и генерируют одну и ту же группу. Это неверно в случае комплексных линейных преобразований генераторов. В частности, любая простая алгебра Ли может быть приведена к компактной форме изменением фазы генераторов в подходящем базисе. Например, для алгебры Ли из рассмотренного примера всего лишь достаточно определить новые генераторы t′1 =it1, t′2 = it2, t′3 = t3, для которых коммутационные соотношения равны

Теперь структурные константы действительны и полностью анти-

симметричны: Cabc = εabc. В данном случае gab = 2δab, и алгебра ком-

пактна. Конечно, мы узнаем знакомую алгебру компактной группы трехмерных вращений О(3). Чтобы увидеть, что эта процедура всегда возможна для любой простой алгебры Ли, заметим, что матрица gab, определенная соотношением (15.А.10), действительна, симметрична и несингулярна, поэтому с помощью действительного ортогонального преобразования она может быть приведена к диагональной форме с ненулевыми элементами на главной диагонали. После этого достаточно умножить все генераторы, которые соответствуют в этом базисе отрицательным диагональным элементам

gab, на множители i.

Заметим без доказательства, что все конечномерные представления компактных групп Ли унитарны, а конечномерные представления компактных алгебр Ли, соответственно, эрмитовы. Кроме того, легко видеть, что только те алгебры Ли, которые могут иметь любое нетривиальное представление независимыми конечномерными эрмитовыми матрицами tα, являются прямыми сумма-

ми U(1) и компактных простых алгебр Ли. Чтобы показать это, определим

gαβ ≡ Trntαtβ s .

Эта матрица очевидно положительно определена, так как gαβuαuβ = Tr{(uαtα)2} положительно для любых действительных uα и обращается в нуль, только если uαtα = 0, что возможно только, если все uα равны нулю, поскольку tα предполагаются независимыми. Кроме того, такая матрица gαβ удовлетворяет условию инвариантности

(15.2.4), что можно увидеть, умножив коммутационное соотношение (15.1.2) на tδ и взяв след. Это дает равенство

iCγ αβTrntγ tδ s = Tro tα , tβ tδ t = Trntδtαtβ − tβtα tδ s ,

очевидно антисимметричное по β è δ. Проверив утверждение а, можно

сослаться на упомянутую выше теорему, чтобы вывести условие с, так что алгебра Ли должна быть прямой суммой компактных простых и U(1) подалгебр.

Вернемся к физической стороне калибровочных теорий. В этом разделе мы пришли к заключению, что построение подходящего кинетического члена в лагранжиане калибровочного поля с необходимостью требует существования положительно определенной симметричной действительной матрицы gαβ, удовлетворяющей усло-

вию инвариантности (15.2.4). В приложении А к этой главе мы показали, что этот результат эквивалентен условию, что алгебра Ли является прямой суммой компактных простых и U(1) подалгебр. Важное для наших целей утверждение, связанное с этим результатом, заключается в том, что все простые алгебры Ли принадлежат определенному ограниченному числу типов с известными размерностями. Например, легко видеть, что не существует простых алгебр Ли с числом генераторов менее трех, так как в одном или двух измерениях не может быть ненулевых полностью антисимметрич- ных структурных констант с тремя индексами. В случае трех генераторов можно избежать появления инвариантной подалгебры, взяв не равные нулю константы С312, Ñ231 è Ñ123. В базисе, где структурные константы действительны и полностью антисимметричны, есть, очевидно, только одна возможность:

Ñαβγ = cεαβγ.

Здесь с —произвольная ненулевая действительная постоянная, которую можно исключить, изменив масштаб генераторов tα → tα/c,

так что алгебра Ли будет иметь вид

но тогда матрицы преобразования tα и структурные константы Cαβγ

будут содержать неизвестную мультипликативную константу gm для каждой простой или U(1) подалгебры. Эти константы являются константами связи калибровочной теории. Однако, иногда более удобно предпочесть некоторую, хотя и произвольную, но фиксированную нормировку для tα и структурных констант внутри каждой простой

или U(1) подалгебры, и в этом случае константы связи появятся

âлагранжиане калибровочного поля (15.2.3) подобно множителям gm–2

â(15.2.5).

15.3. Уравнения поля и законы сохранения

Подставляя выражение (15.2.9) для матрицы gαβ â (15.2.3), ïî-

лучаем полный лагранжиан в виде:

где в отсутствие калибровочных полей LM(ψ, ∂μψ) является лагран-

жианом «материи». В принципе можно было бы включить в LM зависимость от Fαμν, а также высшие ковариантные производные DνDμψ, DλFαμν и т. п., но мы исключаем такие неперенормируемые слагае-

мые по тем же причинам, что и в электродинамике. Как обсуждалось в разделе 12.3, подобные слагаемые при обычных энергиях были бы сильно подавлены отрицательными степенями некоторой очень большой массы. По этой причине лагранжиан стандартной модели слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий имеет общий вид (15.3.1).

Уравнения движения калибровочного поля имеют вид

= −Fγ νμCγαβ Aβμ − i ∂LM tα ψ

∂Dνψ

поэтому

18 Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

ãäå Jαν — òîê,

что следует как из уравнений Эйлера–Лагранжа для ϕ и условия

инвариантности (15.2.2), так непосредственно (и проще) из уравнений поля (15.3.2).

В выражения (15.3.2) и (15.3.4) входят обычные, а не ковариантные производные Dν, поэтому калибровочная инвариантность этих

уравнений несколько туманна. Ее можно сделать явной, переписав (15.3.2) через калибровочно-ковариантную производную напряженности поля:

Åñëè LM калибровочно-инвариантен, то этот ток калибровочно-ко- вариантен. Кроме того, действуя Dν на (15.3.6) и используя комму-

тационные соотношения

[Dν , Dμ ] Fαρσ = −i(tAγ )αβ Fγνμ Fβρσ = −CγαβFγνμ Fβρσ ,

мы видим, что Jαν удовлетворяет калибровочно инвариантному за-

кону сохранения

а не обычному закону сохранения (15.3.4), которому удовлетворяет полный ток Jαν. Кроме того с помощью (15.1.5) можно непосредствен-

но вывести тождества

которые справедливы независимо от того, удовлетворяют или нет калибровочные поля уравнениям поля.

Эти результаты позволяют еще раз подчеркнуть отмеченную в разделе 15.1 глубокую аналогию между неабелевыми калибровоч- ными теориями и общей теорией относительности. В общей теории относительности существует аналогичный току Jμ тензор энергииимпульса материи Tνμ, удовлетворяющий общековариантному закону сохранения Tνμ;ν = 0 и входящий в правую 1часть уравнений Эйнштейна в их общековариантной форме: Rνμ – δνμR = –8πGTνμ. Однако Tνμ не сохраняется в обычном смысле, т. к. ∂νTνμ не обраща-

ется в нуль. С другой стороны, перенеся в уравнении Эйнштейна из левой стороны в правую все нелинейные слагаемые, получим уравнение поля 8

где нетензор τνμ равен

аналогично Jαν. Êàê è òîê Jαν, величина τνμ сохраняется в обычном

смысле,

∂ντνμ = 0,

èможет рассматриваться как ток энергии-импульса

Pμ = z τ0μ d3x.

В нем содержится чисто гравитационное слагаемое, так как гравитационные поля несут энрегию и импульс. Без этого слагаемого τνμ

не мог бы сохраняться. Аналогично, J να содержит слагаемое калиб-

ровочного поля (первое слагаемое в (15.3.3)), так как для неабелевых групп (тех, у которых Cγαβ ¹ 0) калибровочные поля несут кван-

товые числа, с которыми они же и взаимодействуют. Поскольку ток Jαν сохраняется в обычном смысле, его можно рассматривать как

ток таких квантовых чисел, причем генераторы симметрии определяются независящими от времени величинами

(Кроме того, однородные уравнения (15.3.9) включают ковариантные производные, как и тождества Бьянки в общей теории относительности.) Ни одно из этих усложнений не возникает в квантовой электродинамике, так как фотоны не несут то квантовое число, электрический заряд, с которым они взаимодействуют.

15.4. Квантование

Переходим к квантованию описанных в двух предыдущих разделах калибровочных теорий. Лагранжиан берется в виде (15.3.1):

L = - 1 FαμνFα μν + LM (y, Dμ y), (15.4.1)

4

ãäå

Fαμν ≡ ∂μ Aαν − ∂νAαμ + Cαβγ Aβμ Aγν , Dμψ º ¶μ y - itα Aαμ y.

Невозможно немедленно проквантовать эту теорию, приравняв коммутаторы произведению i на соответствующие скобки Пуассона. Проблема заключается в связях. По терминологии Дирака, введенной в гл. 7, существует первичная связь

и вторичная связь, обусловленная полевым уравнением для A0α:

что это связи первого рода, с которыми нельзя обойтись простой заменой скобок Пуассона на скобки Дирака.

Как и в электродинамике, для работы со связями следует выбрать калибровку. В данном случае принятая в электродинамике кулоновская калибровка привела бы к болезненным усложнениям *, поэтому мы предпочтем вести рассмотрение в аксиальной калибров-

Каноническими переменными калибровочного поля являются в этом случае Aαi, где теперь i принимает значения 1 и 2, и канонически

сопряженные импульсы

∂L 0i

Παi ≡ ∂b∂0Aαi g = −Fα = ∂0Aαi − ∂iAα0 + Cαβγ Aβ0Aγi . (15.4.5)

Ïîëå Aα0 не является независимой канонической переменной, а оп-

ределяется через другие переменные в силу уравнения связи (15.4.3). Чтобы увидеть это, заметим, что компоненты напряженности «электрического» поля Fαμ0 равны

* Помимо чисто алгебраических усложнений, в кулоновской калибровке (как во многих других) возникает проблема, известная под названием неоднозначности Грибова 9: даже при условии, что Aα обращается в нуль на

пространственной бесконечности, для каждого решения уравнения кулоновской калибровки Ñ×Aα = 0 существуют другие решения, отличающиеся

конечными калибровочными преобразованиями. Неоднозначность Грибова не будет нас беспокоить, поскольку мы проводим квантование в аксиальной калибровке, где эта неоднозначность отсутствует, а другие калибровки, например, лоренцовская, используются только для построения ряда теории возмущений.