
Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)
.pdf
15.2. Лагранжианы калибровочных теорий и простые... |
13 |
В приложении А к этой главе дано доказательство эквивалентности утверждений a, b и с.7
Прежде чем переходить к обсуждению физических приложений этого результата, было бы полезно сказать чуть больше об условии компактности. Хотя нам это и не понадобится, укажем, что компактная алгебра Ли состоит из генераторов компактной группы Ли, т. е. группы, у которой инвариантный объем конечен. Например, группа вращений компактна, а группа Лоренца — нет. В ка- честве простого примера простой некомпактной алгебры Ли рассмотрим коммутационные соотношения
[t1, t2 ] = −it3 , [t2 , t3 ] = it1, [t3 , t1] = it2 .
В данном случае структурные константы действительны, но не полностью антисимметричны. Ненулевые компоненты структурных констант равны
C312 = –C321 = –1, C123 = –C132 = 1, C231 = –C213 = 1.
Метрика *, определяемая формулой (15.А.10), диагональна, причем g11 = g22 = –g33 = –2.
щий со всеми генераторами самой алгебры G. Полупростая алгебра Ли не содержит инвариантных абелевых подалгебр, т. е. инвариантных подалгебр, генераторы которых коммутируют друг с другом. Полупростые алгебры Ли есть прямые суммы простых (но не U(1)) алгебр Ли. Говорят, что простая или полупростая алгебра Ли компактна, если матрица Tr{tAαtAβ} = –CγαδCδβγ положительно определена. Смысл и важное значение свойств
простоты и компактности будут обсуждаться ниже. Когда говорят, что алгебра Ли G есть прямая сумма подалгебр Hn, имеют в виду, что можно найти базис для G с генераторами tna, в котором структурные константы принимают вид
Clcna mb = δlmδmnC( n)cab
ãäå C(n)kab – структурная константа подалгебры Hn.
* Термин «метрика» не случаен. С математической точки зрения, условие (15.2.4), являющееся условием калибровочной инвариантности лагранжиана (15.2.3), определяет метрику gab на алгебре Ли, инвариантную относительно присоединенного представления, — так называемую метрику Киллинга. — Прим. ред.

14 |
Глава 15. Неабелевы калибровочные теории |
Эта матрица не является положительно определенной, поэтому алгебра Ли некомпактна. На самом деле, это алгебра Ли неком-пакт- ной группы O(2,1), т. е. группы Лоренца в двух пространственных и одном временном измерениях.
Два множества генераторов, отличающихся действительным неособенным линейным преобразованием, образуют базис одной и той же алгебры Ли и генерируют одну и ту же группу. Это неверно в случае комплексных линейных преобразований генераторов. В частности, любая простая алгебра Ли может быть приведена к компактной форме изменением фазы генераторов в подходящем базисе. Например, для алгебры Ли из рассмотренного примера всего лишь достаточно определить новые генераторы t′1 =it1, t′2 = it2, t′3 = t3, для которых коммутационные соотношения равны
[t′ |
, t′ ] = |
it′ |
, [t′ |
, t′ ] = |
it′ |
, [t′ |
, t′ ] = |
it′ . |
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
2 |
Теперь структурные константы действительны и полностью анти-
симметричны: Cabc = εabc. В данном случае gab = 2δab, и алгебра ком-
пактна. Конечно, мы узнаем знакомую алгебру компактной группы трехмерных вращений О(3). Чтобы увидеть, что эта процедура всегда возможна для любой простой алгебры Ли, заметим, что матрица gab, определенная соотношением (15.А.10), действительна, симметрична и несингулярна, поэтому с помощью действительного ортогонального преобразования она может быть приведена к диагональной форме с ненулевыми элементами на главной диагонали. После этого достаточно умножить все генераторы, которые соответствуют в этом базисе отрицательным диагональным элементам
gab, на множители i.
Заметим без доказательства, что все конечномерные представления компактных групп Ли унитарны, а конечномерные представления компактных алгебр Ли, соответственно, эрмитовы. Кроме того, легко видеть, что только те алгебры Ли, которые могут иметь любое нетривиальное представление независимыми конечномерными эрмитовыми матрицами tα, являются прямыми сумма-
ми U(1) и компактных простых алгебр Ли. Чтобы показать это, определим
gαβ ≡ Trntαtβ s .

15.2. Лагранжианы калибровочных теорий и простые... |
15 |
Эта матрица очевидно положительно определена, так как gαβuαuβ = Tr{(uαtα)2} положительно для любых действительных uα и обращается в нуль, только если uαtα = 0, что возможно только, если все uα равны нулю, поскольку tα предполагаются независимыми. Кроме того, такая матрица gαβ удовлетворяет условию инвариантности
(15.2.4), что можно увидеть, умножив коммутационное соотношение (15.1.2) на tδ и взяв след. Это дает равенство
iCγ αβTrntγ tδ s = Tro tα , tβ
tδ t = Trntδtαtβ − tβtα tδ s ,
очевидно антисимметричное по β è δ. Проверив утверждение а, можно
сослаться на упомянутую выше теорему, чтобы вывести условие с, так что алгебра Ли должна быть прямой суммой компактных простых и U(1) подалгебр.
Вернемся к физической стороне калибровочных теорий. В этом разделе мы пришли к заключению, что построение подходящего кинетического члена в лагранжиане калибровочного поля с необходимостью требует существования положительно определенной симметричной действительной матрицы gαβ, удовлетворяющей усло-
вию инвариантности (15.2.4). В приложении А к этой главе мы показали, что этот результат эквивалентен условию, что алгебра Ли является прямой суммой компактных простых и U(1) подалгебр. Важное для наших целей утверждение, связанное с этим результатом, заключается в том, что все простые алгебры Ли принадлежат определенному ограниченному числу типов с известными размерностями. Например, легко видеть, что не существует простых алгебр Ли с числом генераторов менее трех, так как в одном или двух измерениях не может быть ненулевых полностью антисимметрич- ных структурных констант с тремя индексами. В случае трех генераторов можно избежать появления инвариантной подалгебры, взяв не равные нулю константы С312, Ñ231 è Ñ123. В базисе, где структурные константы действительны и полностью антисимметричны, есть, очевидно, только одна возможность:
Ñαβγ = cεαβγ.
Здесь с —произвольная ненулевая действительная постоянная, которую можно исключить, изменив масштаб генераторов tα → tα/c,
так что алгебра Ли будет иметь вид

16 |
Глава 15. Неабелевы калибровочные теории |
tα , tβ
= iεαβγ tγ .
Âней можно узнать алгебру Ли трехмерной группы вращений О(3), а также группы SU(2) унитарных унимодулярных матриц в двух измерениях, положенной в основу первой неабелевой калибровочной теории Янга и Миллса. Продолжая в том же духе, можно показать, что не существует простых алгебр Ли с 4, 5, 6 или 7 генераторами, имеется одна алгебра с 8 генераторами и т. д. Математики (особенно Киллинг и Э. Картан) сумели перечислить все простые алгебры Ли. Компактные простые алгебры Ли разбиваются на несколько бесконечных классов алгебр «классических» групп Ли — унитарных унимодулярных, унитарных ортогональных и унитарных симплектических групп, а также пять исключительных алгебр Ли. Этот список представлен в приложении Б к данной главе.
Âприложении А также показано, что при выполнении эквивалентных условий a, b или с метрика принимает вид
g |
= g−2δ |
mn |
δ |
ab |
(15.2.5) |
mn,ab |
m |
|
|
с действительными gm, где индексы m и n отмечают простые или U(1) подалгебры, а индексы а и b нумеруют отдельные генераторы этих подалгебр. Константы gm–2 можно устранить, изменив масштаб калибровочных полей:
μ |
→ ~ μ |
≡ |
−1 μ |
(15.2.6) |
Amα |
Amα |
|
gm Amα , |
|
но затем, чтобы сохранить те же выражения (15.1.10) и (15.1.13) для Dμϕ è Fαμν, следует также переопределить матрицы tα и структур-
ные константы:
|
~ |
= gmtmα , |
tmα → tmα |
||
(m) |
~(m) |
(m) |
Ccab |
→ Ccab |
= gmCcab . |
(15.2.7)
(15.2.8)
Это означает, что мы всегда можем определить масштаб калибровочных полей (опуская теперь знак тильда), так что gm в (15.2.5) равна единице:
gab = δab, |
(15.2.9) |

15.3. Уравнения поля и законы сохранения |
17 |
но тогда матрицы преобразования tα и структурные константы Cαβγ
будут содержать неизвестную мультипликативную константу gm для каждой простой или U(1) подалгебры. Эти константы являются константами связи калибровочной теории. Однако, иногда более удобно предпочесть некоторую, хотя и произвольную, но фиксированную нормировку для tα и структурных констант внутри каждой простой
или U(1) подалгебры, и в этом случае константы связи появятся
âлагранжиане калибровочного поля (15.2.3) подобно множителям gm–2
â(15.2.5).
15.3. Уравнения поля и законы сохранения
Подставляя выражение (15.2.9) для матрицы gαβ â (15.2.3), ïî-
лучаем полный лагранжиан в виде:
L = − |
1 |
FαμνFα μν + LM(ψ, Dμ ψ), |
(15.3.1) |
|
|||
4 |
|
|
где в отсутствие калибровочных полей LM(ψ, ∂μψ) является лагран-
жианом «материи». В принципе можно было бы включить в LM зависимость от Fαμν, а также высшие ковариантные производные DνDμψ, DλFαμν и т. п., но мы исключаем такие неперенормируемые слагае-
мые по тем же причинам, что и в электродинамике. Как обсуждалось в разделе 12.3, подобные слагаемые при обычных энергиях были бы сильно подавлены отрицательными степенями некоторой очень большой массы. По этой причине лагранжиан стандартной модели слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий имеет общий вид (15.3.1).
Уравнения движения калибровочного поля имеют вид
∂ |
|
∂L |
= −∂ |
F |
μν = |
∂L |
|
|
|
||||
μ ∂(∂μ Aαν ) |
|
|||||
|
|
μ α |
|
∂Aαν |
= −Fγ νμCγαβ Aβμ − i ∂LM tα ψ
∂Dνψ
поэтому
∂μFα μν = − Jα ν , |
(15.3.2) |

18 Глава 15. Неабелевы калибровочные теории
ãäå Jαν — òîê,
Jα ν ≡ −Fγ νμCγαβ Aβμ − i |
∂LM |
tα ψ. |
(15.3.3) |
|
∂Dνψ |
||||
|
|
|
||
Òîê Jαν сохраняется в обычном смысле: |
|
|
|
|
∂ν Jα ν = 0, |
|
|
(15.3.4) |
что следует как из уравнений Эйлера–Лагранжа для ϕ и условия
инвариантности (15.2.2), так непосредственно (и проще) из уравнений поля (15.3.2).
В выражения (15.3.2) и (15.3.4) входят обычные, а не ковариантные производные Dν, поэтому калибровочная инвариантность этих
уравнений несколько туманна. Ее можно сделать явной, переписав (15.3.2) через калибровочно-ковариантную производную напряженности поля:
D F μν ≡ ∂ |
F μν − i(tA ) |
αγ |
A F μν |
|
|||||
λ α |
|
λ α |
β |
|
βλ γ |
(15.3.5) |
|||
= ∂λ Fα μν − Cαγβ Aβλ Fγ μν . |
|||||||||
Тогда (15.3.2) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DμFα μν = −Jα ν , |
|
(15.3.6) |
||||||
ãäå Jαν — ток только полей материи: |
|
|
|
|
|
||||
J |
ν |
≡ −i |
∂LM |
t |
|
ψ. |
(15.3.7) |
||
α |
|
|
|||||||
|
|
∂Dνψ |
α |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Åñëè LM калибровочно-инвариантен, то этот ток калибровочно-ко- вариантен. Кроме того, действуя Dν на (15.3.6) и используя комму-
тационные соотношения
[Dν , Dμ ] Fαρσ = −i(tAγ )αβ Fγνμ Fβρσ = −CγαβFγνμ Fβρσ ,
мы видим, что Jαν удовлетворяет калибровочно инвариантному за-
кону сохранения
D J |
ν |
= |
0, |
(15.3.8) |
ν |
α |
|
|

15.3. Уравнения поля и законы сохранения |
19 |
а не обычному закону сохранения (15.3.4), которому удовлетворяет полный ток Jαν. Кроме того с помощью (15.1.5) можно непосредствен-
но вывести тождества
Dμ Fανλ + DνFαλν + Dλ Fαμν = 0, |
(15.3.9) |
которые справедливы независимо от того, удовлетворяют или нет калибровочные поля уравнениям поля.
Эти результаты позволяют еще раз подчеркнуть отмеченную в разделе 15.1 глубокую аналогию между неабелевыми калибровоч- ными теориями и общей теорией относительности. В общей теории относительности существует аналогичный току Jμ тензор энергииимпульса материи Tνμ, удовлетворяющий общековариантному закону сохранения Tνμ;ν = 0 и входящий в правую 1часть уравнений Эйнштейна в их общековариантной форме: Rνμ – δνμR = –8πGTνμ. Однако Tνμ не сохраняется в обычном смысле, т. к. ∂νTνμ не обраща-
ется в нуль. С другой стороны, перенеся в уравнении Эйнштейна из левой стороны в правую все нелинейные слагаемые, получим уравнение поля 8
F |
ν |
μ − |
1 |
δ |
ν |
I |
= −8πGτ |
ν |
|
G R |
|
|
|
μRJ |
|
μ , |
|||
|
|
|
|
||||||
H |
|
|
2 |
|
|
K LINEAR |
|
|
|
где нетензор τνμ равен
τ |
ν |
μ ≡ T |
ν |
μ + |
1 F |
ν |
μ − |
1 |
δ |
ν |
I |
|
|
|
|
|
G R |
|
|
|
μRJ |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
8πG H |
|
|
2 |
|
|
K NONLINEAR |
|
аналогично Jαν. Êàê è òîê Jαν, величина τνμ сохраняется в обычном
смысле,
∂ντνμ = 0,
èможет рассматриваться как ток энергии-импульса
Pμ = z τ0μ d3x.
В нем содержится чисто гравитационное слагаемое, так как гравитационные поля несут энрегию и импульс. Без этого слагаемого τνμ

20 |
Глава 15. Неабелевы калибровочные теории |
не мог бы сохраняться. Аналогично, J να содержит слагаемое калиб-
ровочного поля (первое слагаемое в (15.3.3)), так как для неабелевых групп (тех, у которых Cγαβ ¹ 0) калибровочные поля несут кван-
товые числа, с которыми они же и взаимодействуют. Поскольку ток Jαν сохраняется в обычном смысле, его можно рассматривать как
ток таких квантовых чисел, причем генераторы симметрии определяются независящими от времени величинами
Tα = z Jα0 d3x. |
(15.3.10) |
(Кроме того, однородные уравнения (15.3.9) включают ковариантные производные, как и тождества Бьянки в общей теории относительности.) Ни одно из этих усложнений не возникает в квантовой электродинамике, так как фотоны не несут то квантовое число, электрический заряд, с которым они взаимодействуют.
15.4. Квантование
Переходим к квантованию описанных в двух предыдущих разделах калибровочных теорий. Лагранжиан берется в виде (15.3.1):
L = - 1 FαμνFα μν + LM (y, Dμ y), (15.4.1)
4
ãäå
Fαμν ≡ ∂μ Aαν − ∂νAαμ + Cαβγ Aβμ Aγν , Dμψ º ¶μ y - itα Aαμ y.
Невозможно немедленно проквантовать эту теорию, приравняв коммутаторы произведению i на соответствующие скобки Пуассона. Проблема заключается в связях. По терминологии Дирака, введенной в гл. 7, существует первичная связь
Pα0 |
º |
∂L |
= 0 , |
|
|
|
(15.4.2) |
||||
¶d¶0Aα0 i |
|||||
|
|
|
и вторичная связь, обусловленная полевым уравнением для A0α:

15.4. Квантование |
21 |
−∂ |
|
∂L |
+ |
∂L |
= ∂ |
F |
μ0 |
+ F |
μ0C |
|
|
A |
|
+ J |
0 |
|
|
|
|||||||
μ ∂d∂μ Aα0 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
∂Aα0 |
|
μ α |
|
|
γ |
|
|
γαβ |
|
|
βμ |
|
|
α |
|
|
(15.4.3) |
||||||
|
|
|
|
|
= ∂ |
|
Π |
k |
+ Π |
kC |
|
|
|
|
|
|
|
+ J |
|
0 |
= 0, |
||||
|
|
|
|
|
k |
γαβ |
A |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
γ |
|
|
|
βk |
|
α |
|
|
|
|||||
ãäå Παk ≡ ∂L ∂b∂0Aαk g = Fαk0 |
— сопряженный Aα |
k |
«импульс», индекс |
||||||||||||||||||||||
k = 1, 2, 3. Скобки Пуассона Π |
|
ñ |
∂ |
k |
Π |
k + Π |
γ |
kC |
A |
|
+ J |
0 îáðà- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
α0 |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
γαβ |
|
βk |
|
α |
||||
щаются в нуль (так как последняя величина не зависит от A0α), òàê |
что это связи первого рода, с которыми нельзя обойтись простой заменой скобок Пуассона на скобки Дирака.
Как и в электродинамике, для работы со связями следует выбрать калибровку. В данном случае принятая в электродинамике кулоновская калибровка привела бы к болезненным усложнениям *, поэтому мы предпочтем вести рассмотрение в аксиальной калибров-
ке, основанной на условии |
|
Aα3 = 0. |
(15.4.4) |
Каноническими переменными калибровочного поля являются в этом случае Aαi, где теперь i принимает значения 1 и 2, и канонически
сопряженные импульсы
∂L 0i
Παi ≡ ∂b∂0Aαi g = −Fα = ∂0Aαi − ∂iAα0 + Cαβγ Aβ0Aγi . (15.4.5)
Ïîëå Aα0 не является независимой канонической переменной, а оп-
ределяется через другие переменные в силу уравнения связи (15.4.3). Чтобы увидеть это, заметим, что компоненты напряженности «электрического» поля Fαμ0 равны
* Помимо чисто алгебраических усложнений, в кулоновской калибровке (как во многих других) возникает проблема, известная под названием неоднозначности Грибова 9: даже при условии, что Aα обращается в нуль на
пространственной бесконечности, для каждого решения уравнения кулоновской калибровки Ñ×Aα = 0 существуют другие решения, отличающиеся
конечными калибровочными преобразованиями. Неоднозначность Грибова не будет нас беспокоить, поскольку мы проводим квантование в аксиальной калибровке, где эта неоднозначность отсутствует, а другие калибровки, например, лоренцовская, используются только для построения ряда теории возмущений.

22 Глава 15. Неабелевы калибровочные теории
|
|
F i0 |
= Π |
αi |
, |
F 30 |
= ∂ |
A |
0 |
, |
|
|
(15.4.6) |
||||||
|
|
α |
|
|
|
α |
|
|
|
|
3 |
|
α |
|
|
|
|
||
так что уравнение связи (15.4.3) принимает вид |
|
|
|
||||||||||||||||
−(∂ |
3 |
)2 A0 |
= ∂ |
Π |
αi |
+ Π |
γi |
C |
γαβ |
A |
+ J |
0 |
, |
(15.4.7) |
|||||
|
α |
i |
|
|
|
|
|
βi |
|
α |
|
|
и это уравнение можно легко решить (при разумных граничных условиях), что определяет Aα0 как функционал от Πγi, Αβi è Jα0. (Ìû
используем соглашение о суммировании по немым индексам, причем индексы i, j и т. д. принимают значения 1 и 2.) Следует отметить, что канонически сопряженный импульс к полю материи ψl равен
πl = |
∂L |
= |
∂LM |
, |
(15.4.8) |
|
∂b∂0ψl g |
∂bD0ψl g |
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
так что компонента тока материи может быть выражена через канонические переменные только самих полей материи:
J |
0 |
= −i |
∂Lm |
(t |
) |
|
ψ |
|
. |
|
α |
|
lm |
m |
(15.4.9) |
||||||
|
|
∂bD0ψl g |
α |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, формула (15.4.7) определяет Aα0 в данный момент времени как функционал от канонических переменных Πγi, Aβi, πl è ψl, взятых в этот же момент.
После того, как в рассматриваемой калибровке определены канонические переменные, можно перейти к построению гамильтониана. Плотность гамильтониана имеет вид
H = Παi∂0Aαi + πl∂0ψl − L |
|
||||||
= Παi dFα0i |
+ ∂iAα0 − Cαβγ Aβ0Aγi i + πl∂0ψl |
||||||
− |
1 |
F F |
+ 1 F F |
+ |
1 |
F F |
|
|
|
||||||
2 |
α0i α0i |
2 |
αij αij |
2 |
αi3 αi3 |
−1 Fα03Fα03 − LM . 2
Используя выражения (15.4.4) и (15.4.6), находим:
H = HM + Παi d∂iAα0 − Cαβγ Aβ0Aγi i + |
1 |
ΠαiΠαi + |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
+ |
1 |
F F |
+ |
1 |
∂ A |
∂ A |
|
− |
1 |
∂ A |
∂ |
A |
|
, |
||
|
|
αi |
|
α0 |
||||||||||||
2 |
αij αij |
2 |
3 αi |
3 |
2 |
3 α0 |
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15.4.10)
(15.4.11)