Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

мемся формулировкой неабелевых калибровочных теорий и выводом для них фейнмановских правил.

15.1. Калибровочная инвариантность

Предположим, что лагранжиан нашей теории инвариантен относительно совокупности бесконечно малых преобразований полей материи ψl(x) âèäà

с каким-то набором независимых постоянных матриц * tα и действительными инфинитезимальными параметрами εα(x), которые (как и

в случае электродинамики) могут зависеть от положения в про- странстве-времени. Предполагается, что эти преобразования симметрии являются инфинитезимальными преобразованиями некоторой группы Ли. Как показано в разделе 2.2, отсюда следует, что tα

должны подчиняться коммутационным соотношениям

ãäå Ñγαβ — совокупность действительных констант, называемых

структурными константами группы. Из антисимметрии коммутатора немедленно вытекает, что и структурные константы антисимметричны:

Кроме того, из тождества Якоби

* В этом томе книги мы в общем случае будем помечать генераторы симметрии буквами α, β, и т. д. из начала греческого алфавита, с тем, чтобы отличать эти метки от индексов μ, ν, и т. д., используемых для

обозначения пространственно-временных координат. Позднее, рассматривая нарушенные симметрии, мы часто будем помечать буквами a, b, и т. д. из начала латинского алфавита генераторы спонтанно нарушенных симметрий, и буквами i, j, и т. д. из середины этого алфавита — генераторы ненарушенных симмметрий.

Как и планировалось, член ∂μεβ в преобразовании Aβμ из второго слагаемого в (15.1.10) сокращается с членом, пропорциональным ∂μεβ,

в преобразовании первого слагаемого, так что

Таким образом Dμψ преобразуется как само ψ.

Следует также позаботиться о производных калибровочного поля. Чтобы устранить слагаемое ∂ν∂μεβ в преобразовании ∂νAβμ, произведем, как и в электродинамике, антисимметризацию по μ è ν. Однако в законе преобразования ∂νAβμ − ∂μAβν остаются слагаемые, пропорциональные первым производным от ε(x), происходя-

щие от второго слагаемого в выражении (15.1.9). Простейший способ построения «ковариантного ротора» Fγνμ, в законе преобразования которого все подобные производные от ε(x) сокращаются, заключа-

ется в рассмотрении коммутатора двух ковариантных производных, действующих на поле материи ψ:

* Как обсуждается в следующем разделе, при получении формулы (15.1.10) мы молчаливо предполагаем, что любые множители — константы связи типа электрического заряда включены в tβ, а следовательно и в струк-

турные константы.

Из формулы (15.1.12) очевидно, что Fγνμ должно преобразовываться

в точности как поле материи, принадлежащее присоединенному представлению:

Читатель может убедиться прямым вычислением (с учетом соотношения (15.1.5)), что определенная в (15.1.13) величина Fανμ действи-

тельно преобразуется по простому закону (15.1.14).

В ряде случаев полезно знать, что эти бесконечно малые калибровочные преобразования можно расширить до конечных преобразований. Групповой элемент можно параметризовать множеством действительных функций Λα(x), так что он действует на произвольное поле материи ψl(x) матричным преобразованием

Мы хотим, чтобы ковариантная производная преобразовывалась точно так же:

поэтому должны потребовать для Aαμ такого закона преобразования Aμα → AμΛα , чтобы

∂μ expditβΛβ i − itβ expditα Λα iAμΛβ = −i expditα Λα itβ Aβ

откуда

t Aα = expdit Λβ it Aα expd−it Λβ i − i ∂ expdit Λβ i expd−it Λβ i .

α μΛ β α μ β μ β β

(15.1.17) Формулы (15.1.15) и (15.1.17) сводятся к предыдущим правилам преобразования (15.1.1) и (15.1.9) в пределе, когда Λα(x) равна εα(x).

Из формулы (15.1.17) следует, что подходящим выбором Λβ(x) всегда возможно обратить в нуль AαμΛ(x) в одной точке, например x = z. (Достаточно потребовать, чтобы Λα(z) равнялось нулю, а производная ∂Λα(x)/∂xμ = –Aαμ(x) при x = z.) Кроме того, всегда возможно выбрать Λβ(x) так, чтобы одна пространственно-временная

8 Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

компонента AαμΛ(x) äëÿ âñåõ α обращалась бы в нуль по крайней

мере в конечной области в окрестности любой данной точки. Например, чтобы обратить в нуль Aα3Λ(x), следует решить следующую

систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для параметров Λβ(x):

которая всегда имеет решение по крайней мере в некоторой конеч- ной области вокруг любой неособой точки.

Однако в общем случае невозможно выбрать Λα(x) так, чтобы обратить в нуль все четыре компоненты AαμΛ(x) в конечной области.

Чтобы это стало возможным, должны быть разрешимы дифференциальные уравнения в частных производных

что возможно лишь при выполнении определенных условий интегрируемости. В частности, если AαμΛ(x) обращаются в нуль везде, то

это же верно и для FαμνΛ(x), но так как напряженность поля преобразуется однородно, FαμνΛ(x) может обращаться в нуль только,

если в нуль обращается Fαμν(x). Если существует калибровочное преобразование, везде обращающее калибровочное поле Aαμ(x) â íóëü,

то такое поле называют «чистой калибровкой». Нетрудно показать, что условие, что Fαμν везде обращается в нуль, есть не только необходимое, но и достаточное условие того, что Aαμ(x) может

быть представлено в любой односвязной области как чистая калибровка 6.

* * *

Существует глубокая аналогия между описанным здесь построением объектов, простым образом преобразующихся под действием калибровочных преобразований, и построением объектов в общей теории относительности, ковариантных относительно общекоординатных преобразований. Мы использовали калибровочное поле для построения ковариантных производных Dμψl полей мате-

рии, имеющих те же свойства по отношению к калибровочным пре- образо-ваниям, что и сами эти поля. По аналогии мы используем

аффинную связность Gμνλ(x) для построения ковариантных произ-

водных тензоров Tρσ...κλ...:

Tρ...κ...; ν ≡ ∂νTρ...κ... + ΓρνλTλ...κ... + . . . − Γμ νκTρ...μ... − . . . ,

которые сами являются тензорами. Кроме того, из производных калибровочного поля мы построили напряженность поля Fαμν, закон

преобразования которой совпадает с законом калибровочного преобразования поля материи, принадлежащего присоединенному представлению калибровочной группы. Соответственно, из производных аффинной связности можно составить преобразующуюся как тензор величину

называемую тензором кривизны Римана–Кристоффеля. Коммутатор двух калибровочно-инвариантных производных Dμ è Dν можно выразить через тензор напряженности поля Fαμν. Аналогично, коммутатор двух ковариантных производных по xν è xκ можно выра-

зить через тензор кривизны:

Tλ... μ...; ν; κ − Tλ... μ...; κ; ν = Rλ σνκTσ. .. μ... + . . . − RσμνκTλ... σ.. . − L.

Необходимым и достаточным условием существования калибровки, в которой калибровочное поле исчезает в конечной односвязной области, является обращение в нуль тензора напряженности поля. Необходимым и достаточным условием существования координатной системы, в которой аффинная связность обращается в нуль в конечной односвязной области, является обращение в нуль тензора кривизны Римана–Кристоффеля. Аналогия нарушается в одном важном пункте: в общей теории относительности аффинная связность сама построена из первых производных метрического тензора, а в калибровочных теориях калибровочные поля не выражаются через более фундаментальные поля.

15.2.Лагранжианы калибровочных теорий

èпростые группы Ли

Законы преобразования тензора калибровочного поля Fαμν и полей материи ϕ и их калибровочно-инвариантных производных не

включают производных от параметров преобразования εα(x). Следо-

вательно, если лагранжиан построен только из этих величин и инвариантен относительно глобальных преобразований с постоянными εα, то этот лагранжиан инвариантен и относительно калибровоч-

ных преобразований с произвольными зависящими от положения параметрами εα(x). Мы поэтому предполагаем, что лагранжиан удов-

летворяет указанным условиям, т. е.

С другой стороны, лагранжиан может не зависеть от самого калибровочного поля, не считая того, что это поле входит в Fαμν и калибровочно-инвариантные производные Dμ. В частности, исклю- чается массовый член –m2αβAαμAβμ/2.

Сосредоточимся на тех слагаемых в лагранжиане, которые зависят только от Fαμν. Как и в электродинамике, для любой безмас-

совой частицы со спином 1 лагранжиан должен содержать описывающее свободную частицу квадратичное по ∂μAαν – ∂νAαμ слагаемое.

Тогда калибровочная инвариантность требует, что это слагаемое должно входить как часть слагаемого, квадратичного по тензору поля Fαμν. Требования лоренц-инвариантности и сохранения четно-

сти определяют лагранжиан в виде

с постоянной матрицей gαβ. Если отказаться от требования сохране-

ния четности (или СР, или Т), то в лагранжиан можно добавить слагаемое

L ′ = − 1 θαβεμνρσFα μνFβρσ

A 2

с другой постоянной матрицей θαβ. Это слагаемое является на самом

деле полной производной и поэтому не влияет на уравнения поля или фейнмановские правила. Однако подобные слагаемые приводят к непертурбативным квантово-механическим эффектам, которые будут обсуждаться в разделе 23.6.

Прежде чем рассматривать свойства матрицы gab, полезно обратить внимание на то, что невозможно ввести кинематическое слагаемое для калибровочного поля Aαμ(x), не включив одновременно

взаимодействия этого поля, а именно, слагаемые в (15.2.3), возникающие из квадратичной по полям части напряженности поля Fαμν,

определенной формулой (15.1.13). В этом пункте неабелевы калибровочные теории вновь напоминают общую теорию относительности, где кинематическая часть лагранжиана гравитаöионного поля содержится в лагранжиане Эйнштейна–Гильберта −gR / 8πG, òàê-

же содержащего самодействие поля. Причины в обеих случаях схожи: гравитационное поле взаимодействует само с собой, поскольку оно взаимодействует со всем, что несет энергию и импульс, а калибровочное поле взаимодействует само с собой, так как оно взаимодействует со всем, что преобразуется по нетривиальному представлению (в данном случае, присоединенному) калибровочной группы. В этом состоит отличие от электродинамики, где фотон не несет электрического заряда, т. е. квантового числа, с которым он взаимодействует. Отсюда и возникает возможность ввести в электромагнетизме кинематическое слагаемое –FμνFμν/4, не привнося-

щее новых взаимодействий.

Числовая матрица gαβ может быть сделана симметричной и

должна быть действительной, чтобы получился действительный лагранжиан. Для того, чтобы рассматриваемое слагаемое удовлетворяло требованию калибровочной инвариантности (15.2.2), для всех δ

должно выполняться равенство

gαβFαμνCβγδFγμν = 0 .

Чтобы это соотношение выполнялось без наложения дополнительных функциональных соотношений между компонентами F, матрица gαβ должна удовлетворять условию

Существует еще одно важное условие на матрицу gαβ. Êàê è â

квантовой электродинамике, правила канонического квантования и свойства положительности квантово-механическкого скалярного произведения требуют, чтобы матрица gαβ в лагранжиане (15.2.3) была положительно определенной. (Это означает, что gαβuαuβ положитель-

но для всех действительных u и обращается в нуль, только если uα = 0 äëÿ âñåõ α.) Аналогом является требование, чтобы в кинема-

тической1 части1 лагранжиана действительного скалярного поля – Z∂μϕ∂μϕ – m2ϕ2 константа Z была бы положительной.

Приведенные требования на матрицу gαβ имеют далеко иду-

щие приложения. Оказывается, что следующие три утверждения эквивалентны.

а: Существует действительная симметричная положительно определенная матрица gαβ, удовлетворяющая условию инвариант-

ности (15.2.4).

которого структурные константы C~βγα антисимметричны не только по нижним индексам β è γ, но и по всем трем индексам α, β è γ. (Â

этом базисе удобно перестать различать верхние и нижние индексы

c: Алгебра Ли есть прямая сумма коммутирующих компактных простых и U(1) * подалгебр **.

* Автор использует для обозначения алгебры группы U(1) символ самой группы. Однако для обозначения алгебр Ли общепринятым является употребление малых букв типа u(1), su(2) и т. д. Большие же буквы используются для обозначения соответствующих групп Ли. Тем не менее, мы сохраняем здесь и далее авторские обозначения. — Прим. ред.

** Несколько определений. Подалгебра Н алгебры Ли G есть линейное пространство, натянутое на определенные действительные линейные комбинации ti = Giαtα генераторов tα алгебры G, такое, что Н само есть алгебра

Ли, в том смысле, что коммутаторы ti друг с другом имеют вид [ti, tj] = ickijtk. Подалгебра Н называется инвариантной, если коммутатор любого элемента полной алгебры G с любым элементом подалгебры Н принадлежит подалгебре Н. Простая алгебра Ли не содержит инвариантных подалгебр. U(1) подалгебра алгебры G имеет лишь один генератор, коммутирую-