Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

Наложение аномалий. Решение аномальных тождеств Славнова−Òåé-

лора. Аномальные взаимодействия голдстоуновского бозона. Случай SU(3)×SU(3). Вывод взаимодействия Весса−Зумино−Виттена. Вычисление

целого коэффициента. Обобщение.

Топологические классификации. Гомотопия. Скирмионы. Теорема Деррика. Границы областей. Неравенство Богомольного. Космологические проблемы. Инстантоны. Монополи и вихревые линии. Восстановление симметрии.

Правило умножения для π1(M). Ассоциативность. Обратные группы. π1(S1). Топологические законы сохранения. Правило умножения для πk(M). Òî-

пологическое число.

Модель SU(2)/U(1). Топологическое число. Электромагнитное поле. Индекс Кронекера. Монополь ′т Хоофта−Полякова. Другое неравенство

Богомольного. Монополь БПШ. Калибровка Дирака. Квантование заряда. Монополи групп G/(H′×U(1)). Космологические проблемы. Взаимодей-

ствие монополей с частицами. Монополи групп G/H с неодносвязной группой G. Несущественность состава полей.

Определение инварианта. Независимость координатной системы. Топологическая инвариантность. Аддитивность. Интегральный инвариант для

Вычисление инварианта Картана−Маурера. Плотность Черна−Понтря-

гина. Еще одно неравенство богомольного. Решение с n = 1. Общий топологический индекс. Решение проблемы U(1). Несохранение барионов и лептонов за счет электрослабых инстантонов. Подход в пространстве Минковского. Проницаемость барьера. Тепловые флуктуации.

Кластерное разложение. Суперпозиция топологических индексов. Несохранение Р и СР. Комплексные массы фермионов. Подавление несохранения Р и СР малыми массами кварков. Электрический дипольный

xii Содержание

момент нейтрона. Симметрия Печчеи−Квинна. Аксионы. Масса аксиона.

Взаимодействия аксионов.

23.7. Квантовые флуктуации в окрестности расширенных полевых кон-

Обшее рассмотрение флуктуаций. Коллективные параметры. Детерминантные множители. Зависимость констант связи. Подсчет коллективных параметров.

Истинный и фальшивый вакуумы. Скачущие решения. Четырехмерная вращательная инвариантность. Знак действия. Вероятность распада на единицу объема. Приближение тонких стенок.

Оглавление тома I

1.Историческое введение

2.Релятивистская квантовая механика

3.Теория рассеяния

4.Принцип кластерного разложения

5.Квантовые поля и античастицы

6.Фейнмановские правила

7.Канонический формализм

8.Электродинамика

9.Методы интеграла по путям

10.Непертурбативные методы

11.Однопетлевые радиационные поправки

âквантовой электродинамике

12.Общая теория перенормировок

13.Инфракрасные эффекты

14.Связанные состояния во внешних полях

Предисловие ко второму тому

В этом томе описываются успехи квантовой теории полей, приведшие к пониманию электрослабых и сильных взаимодействий элементарных частиц. Оказалось, что все эти взаимодействия определяются принципами калибровочной инвариантности, поэтому мы начинаем в гл. 15–17 с изложения калибровочных теорий, в которых знакомая калибровочная инвариантность электродинамики обобщается на случай неабелевых групп Ли. Некоторые из самых ярких выводов калибровочных теорий проявляются при большой энергии и лучше всего могут быть изучены методами ренормализационной группы. Эти методы описываются в гл. 18, где они затем применяются к квантовой хромодинамике — современной неабелевой калибровочной теории сильных взаимодействий, а также к теории критических явлений в физике твердого тела. В гл. 19 речь идет о произвольных спонтанно нарушенных глобальных симиметриях и их применению к нарушенным SU(2) × SU(2) è SU(3) × SU(3)

симметриям квантовой хромодинамики. Как методы ренормгруппы, так и нарушенные симметрии интереснее всего проявляются при рассмотрении разложений операторных произведений, чему посвящена гл. 20.

Ключ к пониманию электрослабых взаимодействий — спонтанное нарушение калибровочных симметрий. Мы рассматриваем этот вопрос в гл. 21 в приложении не только к электрослабым взаимодействиям, но и к сверхпроводимости. Помимо спонтанного нарушения совершенно независимо существует возможность нарушения симметрии квантово-механическими эффектами, известными под названием аномалий. Сами аномалии и их различные физи- ческие приложения описаны в гл. 22. Этот том завершается обсуж-

дением в гл. 23 расширенных полевых конфигураций, которые могут возникать либо как новые составные части физических состояний, например, скирмионы, монополи или вихревые линии, либо как непертурбативные квантовые поправки к интегралам по путям, в которых аномалии играют решающую роль.

Было бы совершенно невозможно представить связное изложение этих достижений, если бы это делалось в историческом порядке. Вместо этого я расположил материал книги в таком порядке, который мне представляется наилучшим с педагогической точ- ки зрения. Каждый вопрос я рассматриваю в том месте, где мотивы этого, а также необходимые математические понятия можно представить с наименьшим количеством ссылок на материал последующих глав, даже если логика требует несколько иного порядка изложения. Например, вместо того, чтобы рассмотреть неабелевы калибровочные теории в одной очень длинной главе, этот материал разделен между главами 15 и 17, т. к. в гл. 15 рассмотрены мотивы введения в гл. 16 формализма внешнего поля, а этот формализм используется при рассмотрении вопросов гл. 17.

В процессе изложения читатель познакомится с рядом формальных методов, включая инвариантность Бекки–Руэ–Сторы– Тютина (БРСТ), квантовое эффективное действие и теория гомотопий. Формализм Баталина–Вилковыского представлен как альтернативный обходной путь. Он введен в гл. 15 как компактный способ формулировки калибровочных теорий, основанных как на открытой, так и на замкнутой алгебре симметрии, и затем используется в гл. 17 для изучения сокращения бесконечностей в «неперенормируемых» калибровочных теориях, включая общую теорию относительности, и в гл. 22 для доказательства, что некоторые калибровочные теории свободны от аномалий во всех порядках теории возмущений. В этом томе широко используется подход, основанный на эффективной теории поля, особенно, в приложениях к теориям с нарушенными симметриями, в том числе, теории сверхпроводимости. Везде я боролся за максимально возможную ясность изложения, не жалея времени на подробную демонстрацию тех вычислений, в проведении которых я, как мне кажется, мог бы помочь читателю, и опуская вопросы, которые невозможно ясно объяснить при заданном объеме книги.

Главной целью томов I и II этой книги является объяснение читателю, почему квантовая теория полей такая, какая она есть,

и почему именно эта форма теории так хорошо приспособлена для описания реального мира. В т. I изложены основы квантовой теории полей с упором на причины, по которым природа при доступных энергиях описывается эффективными квантовыми теориями полей и, в частности, калибровочными теориями. (Список глав первого тома приведен в конце оглавления к этому тому.) В настоящем томе квантовая теория поля и калибровочная инвариантность являются отправными точками для рассмотрения их приложений.

Этот том будет доступен читателям, имеющим некоторое знакомство с основами квантовой теории поля. Знакомство читателя с т. I не предполагается (хотя это и не помешало бы). Некоторые вопросы теории групп и топологии объясняются по мере надобности.

Ряд описанных в этом томе формальных методов (например, БРСТ инвариантность и ренормгруппа) имеют важные приложения в спекулятивных теориях, включающих суперсимметрии или суперструны. Я разделяю энтузиазм в отношении будущего этих теорий, но не включил их в данный том, так как мне кажется, что они требуют отдельной книги. (Возможно, суперсимметрия и супергравитация станут темами т. III.) Я исключил еще ряд интересных вопросов, например, теория поля при конечной температуре, рас- четы калибровочных теорий на решетке и приближение больших N, т. к. все они не требуются для обоснования или дополнения математической техники в остальной части книги, а она и так получи- лась достаточно большой.

Из-за огромного количества литературы по квантовой теории поля и ее приложениям я не имел возможности прочесть и сослаться на все статьи, имеющие отношение к обсуждаемым темам. Я постарался по каждому разделу дать ссылки на классические работы, а также на статьи, в которых описано последующее развитие рассматриваемых вопросов. Кроме того, я указал ссылки на работы, в которых содержатся детальные расчеты, данные или доказательства, упоминаемые в книге. Как и ранее, отсутствие ссылки не следует понимать как утверждение, что представленное изложение вопроса оригинально, хотя в некоторых случаях это так и есть.

По моему опыту, во втором томе содержится достаточно материала для одногодичного курса лекций для аспирантов по современным проблемам квантовой теории поля или физики элементарных частиц. Избранные главы тт. I и II подходят как основа сжатого

одногодичного курса по принципам и современным приложениям квантовой теории поля. К каждой главе я подобрал задачи. Некоторые из них служат просто в качестве упражнений на использование изложенной в главе техники вычислений, в ряде других результаты главы распространяются на более широкий класс теорий.

* * *

Я должен выразить особую признательность моим коллегам по Техасскому университету Луи Бойа, Филу Канделасу, Брайсу и Сесиль де Витт, Вилли Фишлеру, Иоакиму Гомесу, Вадиму Каплуновскому, и особенно Жаку Дистлеру. За помощь в обсуждении отдельных вопросов я благодарю Луи Альвареса-Гауме, Сидни Коулмена, Джона Диксона, Тони Дункана, Юрга Фрелиха, Артура Джаффе, Марка Хенне, Романа Джакива, Джо Польчинского, Майкла Тинкама, Кумрун Вафа, Дона Вейнгартена, Эдварда Виттена и Бруно Зумино. Джонатан Эванс прочел всю рукопись этого тома и внес ряд ценных предложений. Благодарю также Элис Вилсон, которая сделала рисунки и печатала исходные файлы LATEX до тех пор, пока я не научился делать это сам, а также Терри Рили за содействие в поиске бесчисленного количества книг и статей и Жану Даффи за помощь. Я признателен Маурин Стори и Элисон Вулатт из издательства Кембриджского университета за помощь в подготовке рукописи к изданию, и особенно моему редактору Руфусу Нилу за непрерывные полезные дружеские советы.

Стивен Вайнберг

Остин, Техас Декабрь 1995

Обозначения

Латинские индексы i, j, k и т. д. принимают обычно значения 1, 2, 3 и нумеруют пространственные координаты.

Греческие индексы m, n и т. д. принимают в большинстве случаев

значения 1, 2, 3, 0 и нумеруют пространственно-временные координаты, причем x0 – временная координата.

По повторяющимся индексам подразумевается суммирование, если это не оговорено особо.

Пространственно-временная метрика hμν диагональна, причем h11 = h22 = h33 = 1, h00 = – 1.

Даламбертиан определяется как ˜ º hμν¶2/¶xμ¶xν = Ñ2 – ¶2/¶t2, ãäå Ñ2 = ¶2/¶xi¶xj – лапласиан.

Тензор Леви-Чивита eμνρσ определяется как полностью антисимметричный тензор с e0123 = + 1.

Пространственные векторы обозначаются буквами, набранными полужирным шрифтом.

Шляпка над любым вектором обозначает соответствующий

Точка над любой величиной обозначает производную этой величины по времени.

Матрицы Дирака gμ определены так, что gμgν + gνgμ = 2hμν. Кроме того, g5 = ig0g1g2g3 è b = ig0.

Ступенчатая функция q(s) равна +1 при s > 0 и –1 при s < 0.

Комплексное сопряжение, транспонирование и эрмитовое сопряжение матрицы или вектора А обозначается как А*, ÀÒ è À† = À*Ò соответственно. Эрмитово сопряженный оператор к оператору O обозначается О†, за исключением случаев, когда используется звездочка, чтобы подчеркнуть, что вектор или матрица операторов не транспо-нируется. Символы + э. с. или + к. с. в конце уравнения означают добавление слагаемых, эрмитово сопряженных или комплексно сопряженных предыдущим.

За исключением гл. 1, мы используем систему единиц, в которой постоянная Планка $ и скорость света с приняты равными единице. Везде −е — заряд электрона, измеренный в рациональных единицах, так что α = e2/(4π) ≈ 1/137.

Числа в скобках в конце приводимых числовых данных показывают неопределенность в последних знаках приведенного числа. Если это не оговорено особо, все экспериментальные данные взяты из справочника:

Review of Particle Properties, Phys. Rev., 1994, D50, p. 1173.

15*

Неабелевы калибровочные теории

Все квантовые теории поля, успешно описывающие реальный мир, — это неабелевы калибровочные теории, основанные на более общих принципах калибровочной инвариантности, чем простая U(1) инвариантность квантовой электродинамики. Эти теории имеют с электродинамикой то общее привлекательное свойство, отмеченное еще в разделе 8.1, что само существование и некоторые свойства калибровочных полей вытекают из принципа инвариантности относительно локальных калибровочных преобразований.

В электродинамике поля ψn(x) с зарядом en подвергаются калибровочному преобразованию ψn(x) → exp(ienΛ(x))ψn с произвольной функцией Λ(x). Поскольку ∂μψn(x) преобразуется не так, как ψn(x), следует ввести поле Aμ(x), преобразующееся по закону Aμ(x) → Aμ(x) +∂μΛ(x), и построить с его помощью калибровочноинвариантную производную ∂μψn(x) − ienAμ(x)ψn(x), которая преобразуется точно так же, как ψn(x), и может быть поэтому использована вместе с ψn(x) для построения калибровочно-инвариантного

лагранжиана. Аналогично, существование и некоторые свойства гравитационного поля gμν(x) в общей теории относительности следу-

ют из принципа симметрии относительно произвольных преобразований координат **. С учетом этих выдающихся прецедентов было вполне естественно считать, что локальную калибровочную

* Во втором томе продолжается начатая в первом томе нумерация глав. —

Ïðèì. ïåð.

** Конечно, как локальная калибровочная инвариантность, так и общая ковариантность могут быть реализованы тривиальным образом, если считать

инвариантность следует распространить на неабелевы калибровоч- ные преобразования.

В первой работе Янга и Миллса 1954 года 1 в качестве неабелевой калибровочной группы была выбрана группа SU(2) изотопи- ческих вращений, а векторные поля, аналогичные полю фотонов, интерпретировались как поля сильновзаимодействующих векторных мезонов с изотопическим спином единица. Это предположение немедленно столкнулось с той трудностью, что масса этих векторных мезонов должна была, как у фотонов, равняться нулю, но тогда, казалось бы, любые такие частицы должны были бы быть уже известны экспериментально. Никакие подобные частицы в то время не наблюдались. Другая проблема заключалась в том, что было непонятно, как эту теорию использовать: в ней, как и во всех известных в то время теориях сильных взаимодействий, любое применение теории возмущений казалось невозможным из-за большого значения константы связи.

Вскоре калибровочные теории были обобщены на случай произвольных неабелевых калибровочных групп 2. Продолжалось математическое исследование проблем квантования этих теорий, особенно в работах Фейнмана 3, Фаддеева и Попова 4 и де Витта 5, отчасти в качестве разминки перед попыткой решения более сложной проблемы квантования общей теории относительности. Было показано, что наивные фейнмановские правила, получающиеся простым рассматриванием лагранжиана, должны быть дополнены петлями «гостов». Однако до конца 60-х годов оставалось непонятным физическое значение таких теорий. В конце концов оказалось, что все наблюдаемые взаимодействия элементарных частиц порождаются векторными полями, связанными с локальными калибровоч- ными симметриями. Соответствующие частицы спина 1 либо очень тяжелые, что является следствием спонтанного нарушения калибровочной симметрии, либо находятся «в плену» в результате роста константы связи на больших расстояниях. Все эти вопросы будут обсуждаться в главах 21 и 18, соответственно. В этой главе мы зай-

Aμ(x) è gμν(x) нединамическими с-числовыми функциями, которые просто ха-

рактеризуют выбор фазы или системы координат, соответственно. Такие симметрии становятся физически значимыми, когда Aμ(x) è gμν(x) рассматрива-

ются как динамические поля, по которым производится интегрирование при вычислении элементов S-матрицы.