
Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)
.pdf
16.3. Энергетическая интерпретация |
103 |
В этом случае из (16.3.13) следует, что плотность энергии равна |
|
H Ω / V3 = V(ϕ) . |
(16.3.15) |
Это и есть главный результат: величина V(ϕ) есть минимум
среднего значения плотности энергии для всех состояний, удовлетворяющих условию, что средние значения скалярных полей Φn
равны ϕn. Одно из следствий этого утверждения заключается в
том, что в отсутствие внешних токов вакуумное состояние переходит в равновесное состояние, в котором потенциал V(ϕ) не только
стационарен (что требуется уравнениями поля (16.1.8)), но и минимален.
Полученный результат помогает решить проблему интерпретации квантового эффективного потенциала. Евклидовая версия формализма функциональных интегралов (описанная в Приложении А к главе 23) делает очевидным, что двухточечная функция положительна (в матричном смысле), так что в силу (16.1.2) это же верно для –Π = –1. С учетом (16.2.3) из этого следует, что эффективный потенциал V(ϕ) одного скалярного поля должен иметь положительную (или нулевую) вторую производную по ϕ. Более об-
щее утверждение гласи, что эффективный потенциал должен быть
выпуклым:5
Vbλϕ1 + (1 − λ)ϕ2 g ≤ λV(ϕ1) + (1 − λ)V(ϕ2 ) ïðè 0 ≤ λ ≤ 1.
Однако исследование соотношения (16.2.13) показывает, что при m2 < 0 и g > 0 в древесном приближении эффективный потенциал скалярной теории поля с действием (16.2.1) имеет отрицательную вторую производную, если ϕ находится межäó äâóìя минимумами эффективного потенциала в точках ± 6| m2 |/g . Ýòî
противоречие возникает из-за того, что вывод теории возмущений неявно предполагает существование стабильного вакуума, но когда V′′(ϕ) < 0, ïîëå ϕ имеет значение ϕ~ , в котором V(ϕ~) − Jϕϕ~ имеет не
минимум, а максимум, и это означает, что вакуумное состояние в присутствии тока Jϕ нестабильно.
Так что же является истинным эффективным потенциалом для такой скалярной теории, когда m2 < 0, à ϕ находится между двумя
минимумами потенциала? Результат этого раздела сводится к тому, что мы должны найти состояние с минимальной энергией, в кото-

104 |
Глава 16. Методы внешнего поля |
ром среднее значение оператора F равно j. Äî òåõ ïîð, ïîêà j находится между двумя минимумами потенциала, можно придать F среднее значение j, выбрав состояние как подходящую линейную комбинацию дâóõ ñîñтояний, в которых j находится в точках минимумов ϕ g ± 6| m2 |/g . Энергия этого состояния равна энергии в ми-
нимумах, так что такое состояние действительно минимизирует энергию. (По причинам, объясненным в разделе 19.1, интерференционные слагаемые исчезают в пределе бесконечного объема.) Таким образом, эффективный потенциал между двумя минимумами потенциала есть константа, удовлетворяющая требованию неотрицательности второй производной. Те же рассуждения показывают, что в более общих теориях, в которых потенциал имеет два локальных минимума с разной энергией, потенциал между этими минимумами линеен 6.
16.4.Симметрии эффективного действия
Âнекоторых случаях симметрии действия I[j] автоматически являются симметриями эффективного действия G[j]. так, в разоб-
ранном в разделе 16.2 примере действие (16.2.1) симметрично относительно дискретного преобразования j ® –j. Из определения величин Z[j] è W[J] следует, что они четны относительно соответствующего отражения J ® –J. Тогда из соотношения (16.1.5) следу-
åò, ÷òî j–J = –jJ, и поэтому J–ϕ = –Jϕ, так что согласно формуле (16.1.6) эффективное действие G[j] является четным относительно замены j ® –j. Это подтверждается результатом однопетлевых
вычислений (16.2.15). В частном случае M(0) = 0 вклад фермионных петель в (16.2.16) также обладает симметрией относительно j ® –j,
так как в этом случае действие инвариантно относительно комбини-
рованного преобразования j ® –j, y ® g5y.
При доказательстве перенормируемости теории мы столкнемся с трудностями, если только нам не удасться показать, что сим-
метрии исходного классического действия остаются в силе и для эффективного действия. В приведенном выше примере, если I[j] считалось четным по j, à â G[j] эта оказалось не так, то коэффициенты при слагаемых в G, пропорциональные òd4xj è òd4xj3, будут
расходящимися, однако симметрия действия не позволит ввести контрчлены для поглощения этих бесконечностей.

16.4. Симметрии эффективного действия |
105 |
С учетом этих рассуждений рассмотрим важный класс симметрий, порождаемых бесконечно малыми преобразованиями
χn (x) → χn (x) + εFn [x; χ] , |
(16.4.1) |
ãäå Fn — функция от xμ, функционально зависящая от cn. (Напри-
ìåð, Fn[x;c] может быть обычной функцией cn и их производных
âточке x.) Мы теперь используем символ cn вместо ϕr для обозначе-
ния разных типов полей, чтобы подчеркнуть, что они включают не только обычные калибровочные поля и поля материи (которые
âследующей главе будут обозначаться ϕr(x)), но и все другие поля,
возникающие в действии с фиксированной калибровкой, включая поля духов. Повторим, что cn(x) могут быть полями любого типа, а не только скалярами.
Предположим, что как действие, так и мера инвариантны относительно преобразования симметрии (16.4.1):
I[χ + εF] = I[χ], |
|
(16.4.2) |
|
∏ ddχn (x) + εFn [x; χ]i = ∏ dχn (x). |
(16.4.3) |
||
n,x |
n,x |
||
|
(В действительности достаточно, чтобы только произведение d∏n,x dχn (x)i exp(iI) было инвариантным, но если это верно, обычно
выполняются и соотношения (16.4.2) и (16.4.3).)
Заменяя переменные интегрирования в (16.4.1) на χn(x) + εFn[x;χ], имеем
X L |
|
|
|
O |
Z[J] = Y M |
∏ ddχn (x) + εFn [x; χ]iP |
|||
Y Mn,x |
|
|
P |
|
Z N |
|
|
|
Q |
× expoiI[χ + εF] + iu d4xdχn (x) + εFn [x; χ]iJn (x)t |
||||
X L |
|
O |
|
+ iu d4xdχn (x) + εFn [x; χ]iJn (x)t |
= Y M |
∏ dχn (x)P expoiI[χ] |
|||
Y Mn,x |
P |
|
|
|
Z N |
X F |
Q |
I |
1 |
|
|
|||
|
|
|
||
|
Y G |
|
J |
|
= Z[J] + iεY |
∏ dχn (x) |
Fn [y; χ] Jn (y)d4y, |
||
|
Z H n,x |
K z |
|
× expniI[χ] + iz d4xχn (x) Jn (x)s,

106 Глава 16. Методы внешнего поля
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
u d4y Fn (y) Jn (y) = 0 , |
(16.4.4) |
||
|
|
|
|
J |
|
ãäå á ñJ означает квантовое среднее в присутствии тока Jn(x), |
|||||
|
X F |
|
I |
Fn [y; c] |
|
Z[J] Fn (y) |
º Y |
∏ dcn (x) |
|
||
J |
Y G |
|
J |
|
|
|
Z H n,x |
K |
|
|
´ expniI[c] + iz d4xcn (x) Jn (x)s,
нормированное так, что á1ñJ = 1. Вспомним, что Jn(y) выражается
через эффективное действие соотношением (16.1.7):
δΓ[χ]
Jn,χ (y) = - dcn (y) .
Поэтому (16.4.4) можно записать в виде
0 = x d4 y Fn (y) |
δΓ[χ] |
|
|||
|
|
|
. |
(16.4.6) |
|
dc |
n |
|
|||
Jχ |
|
(y) |
|
Иными словами, G[c] инвариантно относительно инфинитезималь-
ного преобразования
cn (y) ® cn (y) + e Fn (y) . |
(16.4.7) |
Jχ |
|
Подобные условия симметрии известны под названием тождеств Славнова–Тейлора 7.
Та ли это симметрия, с которой мы начинали? Это так для одного очень важного класса инфинитезимальных преобразований симметрии, которые линейны. Для таких симметрий F имеет вид:
Fn [x; c] = sn (x) + z tnm (x; y)cm (y)d4 y . |
(16. 4. 8) |
(Чаще всего sn(x) обращается в нуль, а tnm(x) есть постоянная матрица, умноженная на d4(x – y).) Для любого линейного F имеем
Fn (x) |
= sn (x) + z tnm (x; y) cm (y) d4 y . |
J |
J |

16.4. Симметрии эффективного действия |
107 |
Но для любого фиксированного c величина Jχ определена как значение тока J, при котором ácm(y)ñJ становится равным cm(y),
òàê ÷òî
Fn (x) = sn (x) + z tnm (x; y)cm (y)d4 y = Fn [x; c] . |
(16.4.9) |
Jχ |
|
Следовательно из (16.4.6) вытекает, что G[c] должно быть ин-
вариантным относительно всех функциональных линейных преобразований cn ® cn + eFn, оставляющих инвариантными I[c] è ìåðó.
Иногда приходится иметь дело с нелинейными преобразованиями симметрий. Важным примером является БРСТ преобразование, обсуждавшееся в разделе 15.7. Для нелинейных преобразований преобразование симметрии (16.4.7), относительно которого инвариантно эффективное действие, в общем случае не совпадает с тем исходным преобразованием симметрии (16.4.1), которое оставляет инвариантным исходное действие, так как среднее от нелинейного функционала полей в общем случае не совпадает с тем же
функционалом от средних полей. Действительно, форма F
êàê c Jχ
функционала зависит в общем случае от динамики системы и обычно нелокальна. В следующей главе мы преодолеем это осложнение, используя метод антискобок.
* * *
До сих пор мы молчаливо предполагали, что все поля cn è
соответствующие функции преобразования Fn è òîêè Jn являются бозонными. Теперь следует обратить внимание на знаковые множители, возникающие в случае, когда некоторые из указанных вели- чин — фермионные, как, в частности, имеет место для суперсимметрии или БРСТ преобразований, где e — фермион, а cn è Fn
имеют противоположные статистики. Если токи располагаются в действии справа от полей, как в выражениях (16.1.1) и (16.4.5), то формулы (16.1.5) и (16.1.7) примут вид
δRW[J] |
= cmJ (y) , |
(16.4.10) |
|
||
dJm (y) |
|

108 |
|
Глава 16. Методы внешнего поля |
||
|
δLΓ[χ] |
= -Jχ,m |
(y) , |
(16.4.11) |
|
dcm (y) |
|||
|
|
|
где нижние индексы R и L указывают, что производная действует справа или слева. В результате тождество Славнова–Тейлора (16.4.6) можно записать в виде
0 = x d4 y Fn (x) |
δ |
Γ[χ] |
|
||
|
L |
|
. |
(16.4.12) |
|
|
n |
|
|||
Jχ |
dc |
(y) |
|
Задачи
1. Рассмотрите теорию действительного псевдоскалярного поля j(x) и комплексного дираковского поля y(x) массами M и m, соответственно, с взаимодействием вида gψγ 5ψϕ. В однопетле-
вом приближении вычислите эффективный потенциал для j = constant, y = 0.
2. Выведите общие формулы для δ3 W[J] / δJn (x)δJm (y)δJl (z) è δ4 W[J] / δJn (x)δJm (y)δJl (z)δJk (w) через вариационные производные G[j] ïî j. Покажите, какие фейнмановские диаграммы со-
ответствуют каждому слагаемому в этих формулах.
3.В однопетлевом приближении вычислите эффективный потенциал для теории нейтрального скалярного поля j с лагранжианом взаимодействия gj3/6 в шести пространственно-временных
измерениях.
4.Пусть действие I[j] инвариантно относительно конечного ли-
нейного преобразования jn(x) ® åmMnmjm(x). Относительно
какого преобразования токов инвариантна в этом случае вели-
чина W[J]? Используя этот результат, найдите свойство симметрии G[j].

Список литературы |
109 |
Список литературы
1.Эффективное действие Γ[ϕ] было введено в работе: Goldstone,
J., Salam, A., and Weinberg, S., Phys. Rev., 127, 965 (1962), где эта величина была определена по теории возмущений как сумма одночастично неприводимых связных диаграмм. Непертурбативное определение (16.1.6) впервые было независимо дано в работах: B. De Witt, in: Relativity, Groups and Topology. — Lectures Delivered at Les Houches during the 1963 Session of the Summer School of Theorethical Physics, C. De Witt and B. De Witt, eds. (Gordon and Breach, New York, 1964); Jona-Lasinio, J., Nuovo Cimento, 34, 1790 (1964).
2.Coleman, S., Aspects of Symmetry (Cambridge University Press, Cambridge, 1985), pp. 135-136.
3.Coleman, S. and Weinberg, E., Phys. Rev., D7, 1888 (1973).
4.Symanzik, K., Commun. Math. Phys., 16, 48 (1970); Coleman, S., Aspects of Symmetry (Cambridge University Press, Cambridge, 1985), pp. 139-142.
5.Symanzik, K., ibid.; Iliopoulos, J., Itzykson, C., and Martin, A.,
Rev. Mod. Phys., 47, 165 (1975).
6.Fujimoto, Y., O’Raifertaigh, L., and Parravicini, G., Nucl. Phys., B212, 268 (1983); Haymaker, R.W. and Perez-Mercader, J., Phys. Rev., D27, 1948 (1983); Bender, C.M. and Cooper, F., Nucl. Phys., B224, 403 (1983); Hindmarsh, M. and Johnston, D., J. Math. Phys., A19, 141 (1986); Branchina, V., Castorina, P., and Zappala, D., Phys. Rev., D41, 1948 (1990); Cahill, K., Phys. Rev., D52, 4704 (1995).
7.Славнов, A.A., Теор. Математ. Физика, 10, 152 (1972); Taylor, J.C., Nucl. Phys., B33, 436 (1971).

17
Перенормировка калибровочных теорий
Вернемся к рассмотрению калибровочных теорий и воспользуемся описанным в предыдущей главе формализмом внешнего поля для изучения перенормируемости таких теорий и проведения важных вычислений.
17.1.Уравнение Зинн-Жюстена
Âданном разделе мы используем описанную в разделе 15.7 БРСТ симметрию для того, чтобы продемонстрировать фундаментальное свойство квантового эффективного действия, впервые обнаруженное Зинн-Жюстеном 1. Согласно общим правилам, обрисованным в разделе 16.4, БРСТ инвариантность действия I[c] накладывает на эффективное действие G[c] условие
X |
|
|
δ |
Γ[χ] |
|
|
|
Y d4x Dn (x) |
|
|
|
L |
|
= 0 , |
(17.1.1) |
J |
|
|
n |
(x) |
|||
Z |
|
χ |
dc |
|
|
где изменение cn(x) в результате БРСТ преобразования с инфинитезимальным фермионным параметром q равно:
dθcn (x) = qDn (x) , |
(17.1.2) |
à á...ñ означает вакуумное среднее, вычисляемое в присутствии тока Jχ, так что вакуумное среднее операторных полей Xn(x) равно с- числовым функциям cn(x). Возникающая сумма по n берется по всем полям в БРСТ формализме , т. е. по wα, w*α, hα, а также по калиб-

17.1. Уравнение Зинн-Жюстена |
111 |
ровочным полям и полям материи, которые в разделе 15.8 были коллективно обозначены jr. Поскольку Dn(x) квадратична по полям, когда cn — поле материи, калибровочное поле или wα, из соотноше-
ния (17.1.1) в общем случае не следует, что эффективное действие инвариантно относительно того же БРСТ преобразования, что и само действие.
Чтобы справиться с этим осложнением, воспользуемся приемом, который полезен при рассмотрении любого типа нильпотентных преобразований симметрии. Во-первых, введем набор с-число- вых внешних полей Kn(x) и определим новое эффективное действие
G[c, K] º W[Jχ,K , K] - z d4xcn (x)Jχ,K n (x) , |
(17.1.3) |
где связная амплитуда перехода вакуум–вакуум W вычисляется здесь с помощью действия в фиксированной калибровке *
I + òd4xDnKn:
X L |
|
O |
z |
|
|
z |
d4xcnJn i |
|
eiW[J,K] º Y M |
∏ dcn (x)P expdiI + i |
d4xDnKn |
+ i |
(17.1.4) |
||||
Y Mn,x |
P |
|
|
|
||||
Z N |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
à Jχ,K — ток, требуемый для того, чтобы придать полям средние значения c в присутствии внешних полей K:
dRW[J, K] |
º cn (x) . |
(17.1.5) |
dJn(x) |
J= Jχ,K |
|
|
|
(Ïîëÿ Kn должны иметь ту же фермионную или бозонную статистику, что и Dn, которая противоположна статистике cn.) Так как БРСТ преобразование нильпотентно, величины Dn(x) БРСТ инвариантны,
поэтому по аналогии с тем, как это было сделано в разделе 16.4, можно показать, что новое эффективное действие G[c, K] удовлет-
воряет условию БРСТ инвариантности:
* Здесь I есть действие INEW, модифицированное так, как описано в разделе 15.7, и зависящее от полей гостов и антигостов ωα è ω*α и вспомогательных полей hα. С этого момента мы отбрасываем пометку NEW.

112 |
Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий |
||||||||
X |
|
|
δ |
Γ[χ, K] |
|
|
|||
Y d4x Dn (x) |
|
|
L |
|
|
|
= 0 , |
(17.1.6) |
|
Jχ,K |
dc |
n |
x |
) |
|||||
Z |
|
|
|
( |
|
|
|
ãäå á...ñJ,K означает среднее по вакууму, вычисленное в присутствии
тока J и внешних полей K:
O [χ]
J,K =
= |
z |
|
Õn,x dcn (x) |
|
O [c] expdiI + iz d4xDnKn + iz d4xcn Jn i |
.(17.1.7) |
||
|
|
|||||||
|
|
|||||||
|
|
z |
|
|
|
|||
|
|
Õn,x dcn (x) |
expdiI + iz d4xDnKn + iz d4xcn Jn i |
|||||
|
|
|
|
Удобно выразить среднее от Dn как вариационную производ-
ную эффективного действия. Беря правую вариационную производную от (17.1.3) по K, имеем:
d |
|
G[c, K] |
|
|
d |
|
W[J, K] |
|
|
|
|
|
X |
d |
|
W[J, K] |
|
|
dRJχ,K m |
(y) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
R |
= |
|
R |
|
|
|
|
|
+ Y d4 y |
R |
|
|
- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dKn (x) |
|
|
|
dKn (x) |
|
|
|
|
|
Y |
|
dJm (y) |
|
|
dKn (x) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
J= Jχ,K |
Z |
|
|
J= Jχ,K |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
d |
R |
Jχ |
,K m |
(y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
- Y d4 ycm (y) |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
dKn (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя (17.1.5), видим, что два последних слагаемых сокращаются, и с учетом определений (17.1.4) и (17.1.7) приходим к желаемому соотношению
dRG[c, K] |
|
dRW[J, K] |
|
|
n |
|
||
|
= |
|
|
|
|
= D |
(x) Jχ,K ,K . |
(17.1.8) |
dKn (x) |
dKn (x) |
|
J= J |
|||||
|
|
|
χ,K |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие БРСТ симметрии (17.1.6) может быть теперь переписано как простое условие, содержащее только эффективное действие:
X |
δ |
R |
Γ[χ, K] δ |
L |
Γ[χ, K] |
= 0 . |
|
||||
Y d4x |
|
|
|
|
|
|
|
(17.1.9) |
|||
|
dKn (x) |
dc |
n |
|
|||||||
Z |
|
|
(x) |
|
|
Это условие называется уравнением Зинн-Жюстена. Как было отмечено после формулы (15.9.3), взаимная перестановка полей и антиполей (или в данном случае cn è Kn) приводит лишь к изменению
знака в левой части (17.1.9), так что его можно записать как