Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

Это и есть главный результат: величина V(ϕ) есть минимум

среднего значения плотности энергии для всех состояний, удовлетворяющих условию, что средние значения скалярных полей Φn

равны ϕn. Одно из следствий этого утверждения заключается в

том, что в отсутствие внешних токов вакуумное состояние переходит в равновесное состояние, в котором потенциал V(ϕ) не только

стационарен (что требуется уравнениями поля (16.1.8)), но и минимален.

Полученный результат помогает решить проблему интерпретации квантового эффективного потенциала. Евклидовая версия формализма функциональных интегралов (описанная в Приложении А к главе 23) делает очевидным, что двухточечная функция положительна (в матричном смысле), так что в силу (16.1.2) это же верно для –Π = –1. С учетом (16.2.3) из этого следует, что эффективный потенциал V(ϕ) одного скалярного поля должен иметь положительную (или нулевую) вторую производную по ϕ. Более об-

щее утверждение гласи, что эффективный потенциал должен быть

выпуклым:5

Vbλϕ1 + (1 − λ)ϕ2 g ≤ λV(ϕ1) + (1 − λ)V(ϕ2 ) ïðè 0 ≤ λ ≤ 1.

Однако исследование соотношения (16.2.13) показывает, что при m2 < 0 и g > 0 в древесном приближении эффективный потенциал скалярной теории поля с действием (16.2.1) имеет отрицательную вторую производную, если ϕ находится межäó äâóìя минимумами эффективного потенциала в точках ± 6| m2 |/g . Ýòî

противоречие возникает из-за того, что вывод теории возмущений неявно предполагает существование стабильного вакуума, но когда V′′(ϕ) < 0, ïîëå ϕ имеет значение ϕ~ , в котором V(ϕ~) − Jϕϕ~ имеет не

минимум, а максимум, и это означает, что вакуумное состояние в присутствии тока Jϕ нестабильно.

Так что же является истинным эффективным потенциалом для такой скалярной теории, когда m2 < 0, à ϕ находится между двумя

минимумами потенциала? Результат этого раздела сводится к тому, что мы должны найти состояние с минимальной энергией, в кото-

ром среднее значение оператора F равно j. Äî òåõ ïîð, ïîêà j находится между двумя минимумами потенциала, можно придать F среднее значение j, выбрав состояние как подходящую линейную комбинацию дâóõ ñîñтояний, в которых j находится в точках минимумов ϕ g ± 6| m2 |/g . Энергия этого состояния равна энергии в ми-

нимумах, так что такое состояние действительно минимизирует энергию. (По причинам, объясненным в разделе 19.1, интерференционные слагаемые исчезают в пределе бесконечного объема.) Таким образом, эффективный потенциал между двумя минимумами потенциала есть константа, удовлетворяющая требованию неотрицательности второй производной. Те же рассуждения показывают, что в более общих теориях, в которых потенциал имеет два локальных минимума с разной энергией, потенциал между этими минимумами линеен 6.

16.4.Симметрии эффективного действия

Âнекоторых случаях симметрии действия I[j] автоматически являются симметриями эффективного действия G[j]. так, в разоб-

ранном в разделе 16.2 примере действие (16.2.1) симметрично относительно дискретного преобразования j ® –j. Из определения величин Z[j] è W[J] следует, что они четны относительно соответствующего отражения J ® –J. Тогда из соотношения (16.1.5) следу-

åò, ÷òî j–J = –jJ, и поэтому J–ϕ = –Jϕ, так что согласно формуле (16.1.6) эффективное действие G[j] является четным относительно замены j ® –j. Это подтверждается результатом однопетлевых

вычислений (16.2.15). В частном случае M(0) = 0 вклад фермионных петель в (16.2.16) также обладает симметрией относительно j ® –j,

так как в этом случае действие инвариантно относительно комбини-

рованного преобразования j ® –j, y ® g5y.

При доказательстве перенормируемости теории мы столкнемся с трудностями, если только нам не удасться показать, что сим-

метрии исходного классического действия остаются в силе и для эффективного действия. В приведенном выше примере, если I[j] считалось четным по j, à â G[j] эта оказалось не так, то коэффициенты при слагаемых в G, пропорциональные òd4xj è òd4xj3, будут

расходящимися, однако симметрия действия не позволит ввести контрчлены для поглощения этих бесконечностей.

С учетом этих рассуждений рассмотрим важный класс симметрий, порождаемых бесконечно малыми преобразованиями

ãäå Fn — функция от xμ, функционально зависящая от cn. (Напри-

ìåð, Fn[x;c] может быть обычной функцией cn и их производных

âточке x.) Мы теперь используем символ cn вместо ϕr для обозначе-

ния разных типов полей, чтобы подчеркнуть, что они включают не только обычные калибровочные поля и поля материи (которые

âследующей главе будут обозначаться ϕr(x)), но и все другие поля,

возникающие в действии с фиксированной калибровкой, включая поля духов. Повторим, что cn(x) могут быть полями любого типа, а не только скалярами.

Предположим, что как действие, так и мера инвариантны относительно преобразования симметрии (16.4.1):

(В действительности достаточно, чтобы только произведение d∏n,x dχn (x)i exp(iI) было инвариантным, но если это верно, обычно

выполняются и соотношения (16.4.2) и (16.4.3).)

Заменяя переменные интегрирования в (16.4.1) на χn(x) + εFn[x;χ], имеем

× expniI[χ] + iz d4xχn (x) Jn (x)s,

106 Глава 16. Методы внешнего поля

´ expniI[c] + iz d4xcn (x) Jn (x)s,

нормированное так, что á1ñJ = 1. Вспомним, что Jn(y) выражается

через эффективное действие соотношением (16.1.7):

δΓ[χ]

Jn,χ (y) = - dcn (y) .

Поэтому (16.4.4) можно записать в виде

Иными словами, G[c] инвариантно относительно инфинитезималь-

ного преобразования

Подобные условия симметрии известны под названием тождеств Славнова–Тейлора 7.

Та ли это симметрия, с которой мы начинали? Это так для одного очень важного класса инфинитезимальных преобразований симметрии, которые линейны. Для таких симметрий F имеет вид:

(Чаще всего sn(x) обращается в нуль, а tnm(x) есть постоянная матрица, умноженная на d4(x – y).) Для любого линейного F имеем

Но для любого фиксированного c величина Jχ определена как значение тока J, при котором ácm(y)ñJ становится равным cm(y),

òàê ÷òî

Следовательно из (16.4.6) вытекает, что G[c] должно быть ин-

вариантным относительно всех функциональных линейных преобразований cn ® cn + eFn, оставляющих инвариантными I[c] è ìåðó.

Иногда приходится иметь дело с нелинейными преобразованиями симметрий. Важным примером является БРСТ преобразование, обсуждавшееся в разделе 15.7. Для нелинейных преобразований преобразование симметрии (16.4.7), относительно которого инвариантно эффективное действие, в общем случае не совпадает с тем исходным преобразованием симметрии (16.4.1), которое оставляет инвариантным исходное действие, так как среднее от нелинейного функционала полей в общем случае не совпадает с тем же

функционалом от средних полей. Действительно, форма F êàê c Jχ

функционала зависит в общем случае от динамики системы и обычно нелокальна. В следующей главе мы преодолеем это осложнение, используя метод антискобок.

* * *

До сих пор мы молчаливо предполагали, что все поля cn è

соответствующие функции преобразования Fn è òîêè Jn являются бозонными. Теперь следует обратить внимание на знаковые множители, возникающие в случае, когда некоторые из указанных вели- чин — фермионные, как, в частности, имеет место для суперсимметрии или БРСТ преобразований, где e — фермион, а cn è Fn

имеют противоположные статистики. Если токи располагаются в действии справа от полей, как в выражениях (16.1.1) и (16.4.5), то формулы (16.1.5) и (16.1.7) примут вид

где нижние индексы R и L указывают, что производная действует справа или слева. В результате тождество Славнова–Тейлора (16.4.6) можно записать в виде

Задачи

1. Рассмотрите теорию действительного псевдоскалярного поля j(x) и комплексного дираковского поля y(x) массами M и m, соответственно, с взаимодействием вида gψγ 5ψϕ. В однопетле-

вом приближении вычислите эффективный потенциал для j = constant, y = 0.

2. Выведите общие формулы для δ3 W[J] / δJn (x)δJm (y)δJl (z) è δ4 W[J] / δJn (x)δJm (y)δJl (z)δJk (w) через вариационные производные G[j] ïî j. Покажите, какие фейнмановские диаграммы со-

ответствуют каждому слагаемому в этих формулах.

3.В однопетлевом приближении вычислите эффективный потенциал для теории нейтрального скалярного поля j с лагранжианом взаимодействия gj3/6 в шести пространственно-временных

измерениях.

4.Пусть действие I[j] инвариантно относительно конечного ли-

нейного преобразования jn(x) ® åmMnmjm(x). Относительно

какого преобразования токов инвариантна в этом случае вели-

чина W[J]? Используя этот результат, найдите свойство симметрии G[j].

Список литературы

1.Эффективное действие Γ[ϕ] было введено в работе: Goldstone,

J., Salam, A., and Weinberg, S., Phys. Rev., 127, 965 (1962), где эта величина была определена по теории возмущений как сумма одночастично неприводимых связных диаграмм. Непертурбативное определение (16.1.6) впервые было независимо дано в работах: B. De Witt, in: Relativity, Groups and Topology. — Lectures Delivered at Les Houches during the 1963 Session of the Summer School of Theorethical Physics, C. De Witt and B. De Witt, eds. (Gordon and Breach, New York, 1964); Jona-Lasinio, J., Nuovo Cimento, 34, 1790 (1964).

2.Coleman, S., Aspects of Symmetry (Cambridge University Press, Cambridge, 1985), pp. 135-136.

3.Coleman, S. and Weinberg, E., Phys. Rev., D7, 1888 (1973).

4.Symanzik, K., Commun. Math. Phys., 16, 48 (1970); Coleman, S., Aspects of Symmetry (Cambridge University Press, Cambridge, 1985), pp. 139-142.

5.Symanzik, K., ibid.; Iliopoulos, J., Itzykson, C., and Martin, A.,

Rev. Mod. Phys., 47, 165 (1975).

6.Fujimoto, Y., O’Raifertaigh, L., and Parravicini, G., Nucl. Phys., B212, 268 (1983); Haymaker, R.W. and Perez-Mercader, J., Phys. Rev., D27, 1948 (1983); Bender, C.M. and Cooper, F., Nucl. Phys., B224, 403 (1983); Hindmarsh, M. and Johnston, D., J. Math. Phys., A19, 141 (1986); Branchina, V., Castorina, P., and Zappala, D., Phys. Rev., D41, 1948 (1990); Cahill, K., Phys. Rev., D52, 4704 (1995).

7.Славнов, A.A., Теор. Математ. Физика, 10, 152 (1972); Taylor, J.C., Nucl. Phys., B33, 436 (1971).

17

Перенормировка калибровочных теорий

Вернемся к рассмотрению калибровочных теорий и воспользуемся описанным в предыдущей главе формализмом внешнего поля для изучения перенормируемости таких теорий и проведения важных вычислений.

17.1.Уравнение Зинн-Жюстена

Âданном разделе мы используем описанную в разделе 15.7 БРСТ симметрию для того, чтобы продемонстрировать фундаментальное свойство квантового эффективного действия, впервые обнаруженное Зинн-Жюстеном 1. Согласно общим правилам, обрисованным в разделе 16.4, БРСТ инвариантность действия I[c] накладывает на эффективное действие G[c] условие

где изменение cn(x) в результате БРСТ преобразования с инфинитезимальным фермионным параметром q равно:

à á...ñ означает вакуумное среднее, вычисляемое в присутствии тока Jχ, так что вакуумное среднее операторных полей Xn(x) равно с- числовым функциям cn(x). Возникающая сумма по n берется по всем полям в БРСТ формализме , т. е. по wα, w*α, hα, а также по калиб-

ãäå á...ñJ,K означает среднее по вакууму, вычисленное в присутствии

тока J и внешних полей K:

O [χ] J,K =

Удобно выразить среднее от Dn как вариационную производ-

ную эффективного действия. Беря правую вариационную производную от (17.1.3) по K, имеем:

Используя (17.1.5), видим, что два последних слагаемых сокращаются, и с учетом определений (17.1.4) и (17.1.7) приходим к желаемому соотношению

Условие БРСТ симметрии (17.1.6) может быть теперь переписано как простое условие, содержащее только эффективное действие:

Это условие называется уравнением Зинн-Жюстена. Как было отмечено после формулы (15.9.3), взаимная перестановка полей и антиполей (или в данном случае cn è Kn) приводит лишь к изменению

знака в левой части (17.1.9), так что его можно записать как