Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

.pdf
Скачиваний:
344
Добавлен:
15.08.2013
Размер:
35.48 Mб
Скачать

16.3. Энергетическая интерпретация

103

В этом случае из (16.3.13) следует, что плотность энергии равна

H Ω / V3 = V(ϕ) .

(16.3.15)

Это и есть главный результат: величина V(ϕ) есть минимум

среднего значения плотности энергии для всех состояний, удовлетворяющих условию, что средние значения скалярных полей Φn

равны ϕn. Одно из следствий этого утверждения заключается в

том, что в отсутствие внешних токов вакуумное состояние переходит в равновесное состояние, в котором потенциал V(ϕ) не только

стационарен (что требуется уравнениями поля (16.1.8)), но и минимален.

Полученный результат помогает решить проблему интерпретации квантового эффективного потенциала. Евклидовая версия формализма функциональных интегралов (описанная в Приложении А к главе 23) делает очевидным, что двухточечная функция положительна (в матричном смысле), так что в силу (16.1.2) это же верно для –Π = –1. С учетом (16.2.3) из этого следует, что эффективный потенциал V(ϕ) одного скалярного поля должен иметь положительную (или нулевую) вторую производную по ϕ. Более об-

щее утверждение гласи, что эффективный потенциал должен быть

выпуклым:5

Vbλϕ1 + (1 − λ)ϕ2 g ≤ λV(ϕ1) + (1 − λ)V(ϕ2 ) ïðè 0 ≤ λ ≤ 1.

Однако исследование соотношения (16.2.13) показывает, что при m2 < 0 и g > 0 в древесном приближении эффективный потенциал скалярной теории поля с действием (16.2.1) имеет отрицательную вторую производную, если ϕ находится межäó äâóìя минимумами эффективного потенциала в точках ± 6| m2 |/g . Ýòî

противоречие возникает из-за того, что вывод теории возмущений неявно предполагает существование стабильного вакуума, но когда V′′(ϕ) < 0, ïîëå ϕ имеет значение ϕ~ , в котором V(ϕ~) Jϕϕ~ имеет не

минимум, а максимум, и это означает, что вакуумное состояние в присутствии тока Jϕ нестабильно.

Так что же является истинным эффективным потенциалом для такой скалярной теории, когда m2 < 0, à ϕ находится между двумя

минимумами потенциала? Результат этого раздела сводится к тому, что мы должны найти состояние с минимальной энергией, в кото-

104

Глава 16. Методы внешнего поля

ром среднее значение оператора F равно j. Äî òåõ ïîð, ïîêà j находится между двумя минимумами потенциала, можно придать F среднее значение j, выбрав состояние как подходящую линейную комбинацию дâóõ ñîñтояний, в которых j находится в точках минимумов ϕ g ± 6| m2 |/g . Энергия этого состояния равна энергии в ми-

нимумах, так что такое состояние действительно минимизирует энергию. (По причинам, объясненным в разделе 19.1, интерференционные слагаемые исчезают в пределе бесконечного объема.) Таким образом, эффективный потенциал между двумя минимумами потенциала есть константа, удовлетворяющая требованию неотрицательности второй производной. Те же рассуждения показывают, что в более общих теориях, в которых потенциал имеет два локальных минимума с разной энергией, потенциал между этими минимумами линеен 6.

16.4.Симметрии эффективного действия

Âнекоторых случаях симметрии действия I[j] автоматически являются симметриями эффективного действия G[j]. так, в разоб-

ранном в разделе 16.2 примере действие (16.2.1) симметрично относительно дискретного преобразования j ® j. Из определения величин Z[j] è W[J] следует, что они четны относительно соответствующего отражения J ® –J. Тогда из соотношения (16.1.5) следу-

åò, ÷òî j–J = –jJ, и поэтому Jϕ = –Jϕ, так что согласно формуле (16.1.6) эффективное действие G[j] является четным относительно замены j ® j. Это подтверждается результатом однопетлевых

вычислений (16.2.15). В частном случае M(0) = 0 вклад фермионных петель в (16.2.16) также обладает симметрией относительно j ® j,

так как в этом случае действие инвариантно относительно комбини-

рованного преобразования j ® j, y ® g5y.

При доказательстве перенормируемости теории мы столкнемся с трудностями, если только нам не удасться показать, что сим-

метрии исходного классического действия остаются в силе и для эффективного действия. В приведенном выше примере, если I[j] считалось четным по j, à â G[j] эта оказалось не так, то коэффициенты при слагаемых в G, пропорциональные òd4xj è òd4xj3, будут

расходящимися, однако симметрия действия не позволит ввести контрчлены для поглощения этих бесконечностей.

16.4. Симметрии эффективного действия

105

С учетом этих рассуждений рассмотрим важный класс симметрий, порождаемых бесконечно малыми преобразованиями

χn (x) → χn (x) + εFn [x; χ] ,

(16.4.1)

ãäå Fn — функция от xμ, функционально зависящая от cn. (Напри-

ìåð, Fn[x;c] может быть обычной функцией cn и их производных

âточке x.) Мы теперь используем символ cn вместо ϕr для обозначе-

ния разных типов полей, чтобы подчеркнуть, что они включают не только обычные калибровочные поля и поля материи (которые

âследующей главе будут обозначаться ϕr(x)), но и все другие поля,

возникающие в действии с фиксированной калибровкой, включая поля духов. Повторим, что cn(x) могут быть полями любого типа, а не только скалярами.

Предположим, что как действие, так и мера инвариантны относительно преобразования симметрии (16.4.1):

I[χ + εF] = I[χ],

 

(16.4.2)

ddχn (x) + εFn [x; χ]i = dχn (x).

(16.4.3)

n,x

n,x

 

(В действительности достаточно, чтобы только произведение dn,x dχn (x)i exp(iI) было инвариантным, но если это верно, обычно

выполняются и соотношения (16.4.2) и (16.4.3).)

Заменяя переменные интегрирования в (16.4.1) на χn(x) + εFn[x;χ], имеем

X L

 

 

 

O

Z[J] = Y M

ddχn (x) + εFn [x; χ]iP

Y Mn,x

 

 

P

Z N

 

 

 

Q

× expoiI[χ + εF] + iu d4xdχn (x) + εFn [x; χ]iJn (x)t

X L

 

O

 

+ iu d4xdχn (x) + εFn [x; χ]iJn (x)t

= Y M

dχn (x)P expoiI[χ]

Y Mn,x

P

 

 

Z N

X F

Q

I

1

 

 

 

 

 

 

Y G

 

J

 

= Z[J] + iεY

dχn (x)

Fn [y; χ] Jn (y)d4y,

 

Z H n,x

K z

 

× expniI[χ] + iz d4xχn (x) Jn (x)s,

106 Глава 16. Методы внешнего поля

откуда

 

 

 

 

 

 

 

u d4y Fn (y) Jn (y) = 0 ,

(16.4.4)

 

 

 

 

J

 

ãäå á ñJ означает квантовое среднее в присутствии тока Jn(x),

 

X F

 

I

Fn [y; c]

 

Z[J] Fn (y)

º Y

dcn (x)

 

J

Y G

 

J

 

 

 

Z H n,x

K

 

 

´ expniI[c] + iz d4xcn (x) Jn (x)s,

нормированное так, что á1ñJ = 1. Вспомним, что Jn(y) выражается

через эффективное действие соотношением (16.1.7):

δΓ[χ]

Jn,χ (y) = - dcn (y) .

Поэтому (16.4.4) можно записать в виде

0 = x d4 y Fn (y)

δΓ[χ]

 

 

 

 

.

(16.4.6)

dc

n

 

Jχ

 

(y)

 

Иными словами, G[c] инвариантно относительно инфинитезималь-

ного преобразования

cn (y) ® cn (y) + e Fn (y) .

(16.4.7)

Jχ

 

Подобные условия симметрии известны под названием тождеств Славнова–Тейлора 7.

Та ли это симметрия, с которой мы начинали? Это так для одного очень важного класса инфинитезимальных преобразований симметрии, которые линейны. Для таких симметрий F имеет вид:

Fn [x; c] = sn (x) + z tnm (x; y)cm (y)d4 y .

(16. 4. 8)

(Чаще всего sn(x) обращается в нуль, а tnm(x) есть постоянная матрица, умноженная на d4(x – y).) Для любого линейного F имеем

Fn (x)

= sn (x) + z tnm (x; y) cm (y) d4 y .

J

J

16.4. Симметрии эффективного действия

107

Но для любого фиксированного c величина Jχ определена как значение тока J, при котором ácm(y)ñJ становится равным cm(y),

òàê ÷òî

Fn (x) = sn (x) + z tnm (x; y)cm (y)d4 y = Fn [x; c] .

(16.4.9)

Jχ

 

Следовательно из (16.4.6) вытекает, что G[c] должно быть ин-

вариантным относительно всех функциональных линейных преобразований cn ® cn + eFn, оставляющих инвариантными I[c] è ìåðó.

Иногда приходится иметь дело с нелинейными преобразованиями симметрий. Важным примером является БРСТ преобразование, обсуждавшееся в разделе 15.7. Для нелинейных преобразований преобразование симметрии (16.4.7), относительно которого инвариантно эффективное действие, в общем случае не совпадает с тем исходным преобразованием симметрии (16.4.1), которое оставляет инвариантным исходное действие, так как среднее от нелинейного функционала полей в общем случае не совпадает с тем же

функционалом от средних полей. Действительно, форма F êàê c Jχ

функционала зависит в общем случае от динамики системы и обычно нелокальна. В следующей главе мы преодолеем это осложнение, используя метод антискобок.

* * *

До сих пор мы молчаливо предполагали, что все поля cn è

соответствующие функции преобразования Fn è òîêè Jn являются бозонными. Теперь следует обратить внимание на знаковые множители, возникающие в случае, когда некоторые из указанных вели- чин — фермионные, как, в частности, имеет место для суперсимметрии или БРСТ преобразований, где e — фермион, а cn è Fn

имеют противоположные статистики. Если токи располагаются в действии справа от полей, как в выражениях (16.1.1) и (16.4.5), то формулы (16.1.5) и (16.1.7) примут вид

δRW[J]

= cmJ (y) ,

(16.4.10)

 

dJm (y)

 

108

 

Глава 16. Методы внешнего поля

 

δLΓ[χ]

= -Jχ,m

(y) ,

(16.4.11)

 

dcm (y)

 

 

 

где нижние индексы R и L указывают, что производная действует справа или слева. В результате тождество Славнова–Тейлора (16.4.6) можно записать в виде

0 = x d4 y Fn (x)

δ

Γ[χ]

 

 

L

 

.

(16.4.12)

 

n

 

Jχ

dc

(y)

 

Задачи

1. Рассмотрите теорию действительного псевдоскалярного поля j(x) и комплексного дираковского поля y(x) массами M и m, соответственно, с взаимодействием вида gψγ 5ψϕ. В однопетле-

вом приближении вычислите эффективный потенциал для j = constant, y = 0.

2. Выведите общие формулы для δ3 W[J] / δJn (x)δJm (y)δJl (z) è δ4 W[J] / δJn (x)δJm (y)δJl (z)δJk (w) через вариационные производные G[j] ïî j. Покажите, какие фейнмановские диаграммы со-

ответствуют каждому слагаемому в этих формулах.

3.В однопетлевом приближении вычислите эффективный потенциал для теории нейтрального скалярного поля j с лагранжианом взаимодействия gj3/6 в шести пространственно-временных

измерениях.

4.Пусть действие I[j] инвариантно относительно конечного ли-

нейного преобразования jn(x) ® åmMnmjm(x). Относительно

какого преобразования токов инвариантна в этом случае вели-

чина W[J]? Используя этот результат, найдите свойство симметрии G[j].

Список литературы

109

Список литературы

1.Эффективное действие Γ[ϕ] было введено в работе: Goldstone,

J., Salam, A., and Weinberg, S., Phys. Rev., 127, 965 (1962), где эта величина была определена по теории возмущений как сумма одночастично неприводимых связных диаграмм. Непертурбативное определение (16.1.6) впервые было независимо дано в работах: B. De Witt, in: Relativity, Groups and Topology. — Lectures Delivered at Les Houches during the 1963 Session of the Summer School of Theorethical Physics, C. De Witt and B. De Witt, eds. (Gordon and Breach, New York, 1964); Jona-Lasinio, J., Nuovo Cimento, 34, 1790 (1964).

2.Coleman, S., Aspects of Symmetry (Cambridge University Press, Cambridge, 1985), pp. 135-136.

3.Coleman, S. and Weinberg, E., Phys. Rev., D7, 1888 (1973).

4.Symanzik, K., Commun. Math. Phys., 16, 48 (1970); Coleman, S., Aspects of Symmetry (Cambridge University Press, Cambridge, 1985), pp. 139-142.

5.Symanzik, K., ibid.; Iliopoulos, J., Itzykson, C., and Martin, A.,

Rev. Mod. Phys., 47, 165 (1975).

6.Fujimoto, Y., O’Raifertaigh, L., and Parravicini, G., Nucl. Phys., B212, 268 (1983); Haymaker, R.W. and Perez-Mercader, J., Phys. Rev., D27, 1948 (1983); Bender, C.M. and Cooper, F., Nucl. Phys., B224, 403 (1983); Hindmarsh, M. and Johnston, D., J. Math. Phys., A19, 141 (1986); Branchina, V., Castorina, P., and Zappala, D., Phys. Rev., D41, 1948 (1990); Cahill, K., Phys. Rev., D52, 4704 (1995).

7.Славнов, A.A., Теор. Математ. Физика, 10, 152 (1972); Taylor, J.C., Nucl. Phys., B33, 436 (1971).

17

Перенормировка калибровочных теорий

Вернемся к рассмотрению калибровочных теорий и воспользуемся описанным в предыдущей главе формализмом внешнего поля для изучения перенормируемости таких теорий и проведения важных вычислений.

17.1.Уравнение Зинн-Жюстена

Âданном разделе мы используем описанную в разделе 15.7 БРСТ симметрию для того, чтобы продемонстрировать фундаментальное свойство квантового эффективного действия, впервые обнаруженное Зинн-Жюстеном 1. Согласно общим правилам, обрисованным в разделе 16.4, БРСТ инвариантность действия I[c] накладывает на эффективное действие G[c] условие

X

 

 

δ

Γ[χ]

 

 

Y d4x Dn (x)

 

 

 

L

 

= 0 ,

(17.1.1)

J

 

 

n

(x)

Z

 

χ

dc

 

 

где изменение cn(x) в результате БРСТ преобразования с инфинитезимальным фермионным параметром q равно:

dθcn (x) = qDn (x) ,

(17.1.2)

à á...ñ означает вакуумное среднее, вычисляемое в присутствии тока Jχ, так что вакуумное среднее операторных полей Xn(x) равно с- числовым функциям cn(x). Возникающая сумма по n берется по всем полям в БРСТ формализме , т. е. по wα, w*α, hα, а также по калиб-

17.1. Уравнение Зинн-Жюстена

111

ровочным полям и полям материи, которые в разделе 15.8 были коллективно обозначены jr. Поскольку Dn(x) квадратична по полям, когда cn — поле материи, калибровочное поле или wα, из соотноше-

ния (17.1.1) в общем случае не следует, что эффективное действие инвариантно относительно того же БРСТ преобразования, что и само действие.

Чтобы справиться с этим осложнением, воспользуемся приемом, который полезен при рассмотрении любого типа нильпотентных преобразований симметрии. Во-первых, введем набор с-число- вых внешних полей Kn(x) и определим новое эффективное действие

G[c, K] º W[Jχ,K , K] - z d4xcn (x)Jχ,K n (x) ,

(17.1.3)

где связная амплитуда перехода вакуум–вакуум W вычисляется здесь с помощью действия в фиксированной калибровке *

I + òd4xDnKn:

X L

 

O

z

 

 

z

d4xcnJn i

 

eiW[J,K] º Y M

dcn (x)P expdiI + i

d4xDnKn

+ i

(17.1.4)

Y Mn,x

P

 

 

 

Z N

 

Q

 

 

 

 

 

 

à Jχ,K — ток, требуемый для того, чтобы придать полям средние значения c в присутствии внешних полей K:

dRW[J, K]

º cn (x) .

(17.1.5)

dJn(x)

J= Jχ,K

 

 

(Ïîëÿ Kn должны иметь ту же фермионную или бозонную статистику, что и Dn, которая противоположна статистике cn.) Так как БРСТ преобразование нильпотентно, величины Dn(x) БРСТ инвариантны,

поэтому по аналогии с тем, как это было сделано в разделе 16.4, можно показать, что новое эффективное действие G[c, K] удовлет-

воряет условию БРСТ инвариантности:

* Здесь I есть действие INEW, модифицированное так, как описано в разделе 15.7, и зависящее от полей гостов и антигостов ωα è ω*α и вспомогательных полей hα. С этого момента мы отбрасываем пометку NEW.

112

Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

X

 

 

δ

Γ[χ, K]

 

 

Y d4x Dn (x)

 

 

L

 

 

 

= 0 ,

(17.1.6)

Jχ,K

dc

n

x

)

Z

 

 

 

(

 

 

 

ãäå á...ñJ,K означает среднее по вакууму, вычисленное в присутствии

тока J и внешних полей K:

O [χ] J,K =

=

z

 

Õn,x dcn (x)

 

O [c] expdiI + iz d4xDnKn + iz d4xcn Jn i

.(17.1.7)

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

Õn,x dcn (x)

expdiI + iz d4xDnKn + iz d4xcn Jn i

 

 

 

 

Удобно выразить среднее от Dn как вариационную производ-

ную эффективного действия. Беря правую вариационную производную от (17.1.3) по K, имеем:

d

 

G[c, K]

 

 

d

 

W[J, K]

 

 

 

 

 

X

d

 

W[J, K]

 

 

dRJχ,K m

(y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

=

 

R

 

 

 

 

 

+ Y d4 y

R

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dKn (x)

 

 

 

dKn (x)

 

 

 

 

 

Y

 

dJm (y)

 

 

dKn (x)

 

 

 

 

 

 

J= Jχ,K

Z

 

 

J= Jχ,K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

d

R

Jχ

,K m

(y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- Y d4 ycm (y)

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

dKn (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя (17.1.5), видим, что два последних слагаемых сокращаются, и с учетом определений (17.1.4) и (17.1.7) приходим к желаемому соотношению

dRG[c, K]

 

dRW[J, K]

 

 

n

 

 

=

 

 

 

 

= D

(x) Jχ,K ,K .

(17.1.8)

dKn (x)

dKn (x)

 

J= J

 

 

 

χ,K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие БРСТ симметрии (17.1.6) может быть теперь переписано как простое условие, содержащее только эффективное действие:

X

δ

R

Γ[χ, K] δ

L

Γ[χ, K]

= 0 .

 

Y d4x

 

 

 

 

 

 

 

(17.1.9)

 

dKn (x)

dc

n

 

Z

 

 

(x)

 

 

Это условие называется уравнением Зинн-Жюстена. Как было отмечено после формулы (15.9.3), взаимная перестановка полей и антиполей (или в данном случае cn è Kn) приводит лишь к изменению

знака в левой части (17.1.9), так что его можно записать как