Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

∞

WΓ [J, g] = å gL−1WΓ(L) [J] , (16.1.11)

L=0

где (как можно увидеть, положив g = 1) величина WG(L)[J] есть L- петлевой вклад в связную вакуумную амплитуду W[J,1], которую мы получили бы, если бы использовали Γ[ϕ] (без множителя g) вместо действия I[ϕ].

Нас особо интересует сумма древесных диаграмм, т. е. тех, которые не содержат петель, вычисленная с использованием вершин и пропагаторов, полученных так, как будто действием является не I[ϕ], à Γ[ϕ]. В теперешних обозначениях это WΓ(0)[J]. Чтобы выделить слагаемое с L = 0 в (16.1.11), рассмотрим предел g → 0. Â ýòîì

пределе функциональный интеграл (16.1.9) определяется доминирующим вкладом точки стационарной фазы:

ãäå ïîëå ϕJ, которое по определению является полем, порожден-

ным током J, есть стационарная точка показателя экспоненты в том смысле, что

Множитель пропорциональности в (16.1.12) в общем случае является функционалом от J, но степенным рядом по g, начинающимся со слагаемых порядка g0. Поэтому, беря логарифм от обеих частей и выделяя слагаемые порядка g–1, получаем:

Полагая ϕ = ϕJ в (16.1.6), видим, что правая часть выражения

(16.1.14) в точности равна W[J]:

WΓ(0) [J] = W[J].(16. 1. 15)

Повторим, это означает, что W[J] можно вычислить, используя Γ[ϕ] вместо I[ϕ] (это отмечает индекс Γ) и удерживая только

древесные (0-петлевые) диаграммы:

Рис. 16-1. Древесные, одно- и двухпетлевые диаграммы для квантового эффективного действия в теории нейтрального скалярного поля ϕ с взаимодействием ϕ4

На рис. 16.1 показаны фейнмановские диаграммы для Γ[ϕ0]

вплоть до двухпетлевого порядка. Слагаемое без петель в амплитуде перехода вакуум–вакуум дается просто постоянным слагаемым в I[ϕ + ϕ0]:

(16.2.7) В гл. 9 мы научились вычислять эти интегралы. Результат да-

ется выражением (9.А.18):

где теперь

Как обычно, для вычисления таких следов полезно диагонализовать «матрицу» K, перейдя в импульсное пространство:

Аналогичные результаты верны в случае, когда теория содержит комплексное фермионное поле со спином 1/2, взаимодействующее со скалярным полем ϕ. Например, если гамильтониан этого взаимодействия имеет простой вид Gϕψψ , то масса M(ϕ0) фермиона в присутствии постоянного скалярного фонового поля ϕ0 имеет вид:

M(ϕ0 ) = M(0) + Gϕ0 .

Легко видеть, что потенциал (16.2.1) в этом случае получает добавочное слагаемое

Численный коэффициент в новом слагаемом вдвое больше того, который стоит перед слагаемым μ4lnμ2 в (16.2.15), что связано с двумя спиновыми состояниями фермиона, описываемого полем ψ, à

знак этого коэффициента противоположен по той причине, что (как показано в гл. 9) фермионные функциональные интегралы от гауссианов пропорциональны детерминанту матричного коэффициента в экспоненте, а бозонные интегралы — обратной величине этих детерминантов.

16.3. Энергетическая интерпретация

Важное значение имеет интерпретация действия Γ[ϕ] и потенциала V[ϕ] с помощью понятий энергии и плотности энергии,

соответственно.4 Чтобы увидеть это, предположим, что мы вклю- чаем ток Jn(x,t), который плавно растет от нуля при t = –∞ äî

конечного значения Jn(x), которое не изменяется в течение долгого времени Т, после чего вновь плавно уменьшается до нуля при t = +∞. Влияние такого возмущения заключается в превращении

вакуума в состояние с определенной энергией E[J] (функционал от Jn(x)), которое сохраняется в течение времени Т, после чего опять возвращается в состояние вакуума. Однако, хотя аутвакуум — то же самое физическое состояние, что и ин-вакуум,

векторы состояний отличаются на фазу exp(–iE[J]T), накопившуюся за время Т:

Сравнивая с выражениями (16.1.1) и (16.1.3), находим:

Чтобы увидеть связь между этой энергией и эффективным действием, предположим, что мы ищем состояние Ωϕ, которое ми-

нимизирует среднее значение энергии

подчиненное условию, что квантовые поля Φn(x,t) имеют не зависящее от времени среднее значение ϕn(x):

Кроме того, удобно наложить на Ω условие нормировки:

Чтобы минимизировать среднее значение (16.3.3), удовлетворяющее ограничениям (16.3.4) и (16.3.5), используем метод множителей Лагранжа и будем искать минимум величины

Êàê α, òàê è βn(x) следует выбрать так, чтобы удовлетворя-

лись ограничения (16.3.4) и (16.3.5), поэтому эти величины функционально зависят от заданного среднего значения ϕn(x).

с нормированным собственным вектором ΨJ. Кроме того, поскольку

плавное включение тока переводит вакуум в данное собственное состояние с определенной энергией, можно предположить, что E[J ] есть низшее энергетическое состояние в присутствии этого тока. Таким образом, соотношения (16.3.4), (16.3.5) и (16.3.7) удовлетворяются следующими величинами:

ãäå Jϕ(x) — ток, для которого среднее значение Φ(x) в состоянии ΨJ равно ϕ(x).

Полагая в (16.3.8) J = Jϕ и беря скалярное произведение с ΨJ, находим минимальную энергию состояний, в которых поля Φn удовлетворяют условию, что их средние значения равны ϕn:

Вспоминая (16.3.2) и предполагаемый вид J (x), получаем:

Как отмечалось в предыдущем разделе, если поле ϕ(x) имеет постоянное значение ϕ в большом пространственно-временном объеме

V 4 = V 3T, эффективное действие можно записать, введя эффективный потенциал V(ϕ):