Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

4.Покажите, что не существует простой алгебры Ли, у которой ровно четыре генератора.

5.Покажите, что если поле ψl(x), принадлежащее представле-

нию калибровочной группы с матрицами генераторов tα, изменяется вдоль пути xμ = xμ(τ), согласно дифференциальному

классические с-числовые поля), то изменение ψ вдоль любого малого замкнутого пути Р вокруг точки Xμ пропорционально

P

ональности. Используя этот результат, покажите, что если Fαμν(x) везде обращается в нуль, то с помощью калибровочного преобразования возможно обратить в нуль Aαμ(x) по крайней

мере в любой конечной области. (Указание. Следуйте рассуждениям, аналогичным используемым в электродинамике или общей теории относительности и приведенным в 6.)

6.Применяя метод функциональных интегралов к произвольной неабелевой калибровочной теории, вычислите пропагатор ка-

либровочного поля Aαμ(x), если фиксирующая калибровку функция выбрана в виде fα = nμAμα, ãäå nμ – произвольные постоянные. (Выберите B[f] = exp(−i z d4xfα fα / 2ξ) ) Какой вид имеет

лагранжиан гостов? Какой вид имеет пропагатор гостов? Чему равна вершина взаимодействия гостов?

7.Пусть мы выбрали в качестве основополагающего физического принципа не калибровочную, а БРСТ инвариантность. Выведите самое общее выражение для лагранжиана, построенного из сумм произведений полей и их производных размерностью

(масса)d ñ d ≤ 4, в который входят поля Aαμ, ωα, ω*α, hα è èõ

производные, и который инвариантен (с точностью до полных производных) относительно преобразований Лоренца, фазовых преобразований, связанных с гостовским числом (ωα → eiθωα, ω*α → e–iθω*α), глобальных калибровочных преобразований (ε

постоянна) и преобразований БРСТ.

8.Покажите, что антискобка удовлетворяет условию симметрии (15.9.15) и тождеству Якоби (15.9.21).

9.Покажите, что если функционал О удовлетворяет условию (O,S) = iDS, а действие S удовлетворяет квантовому мастеруравнению, то квантовое среднее áÎñ не зависит от фиксирующего калибровку функционала Y.

Список литературы

1.Yang, C.N. and Mills, R.J., Phys. Rev., 96, 191 (1954). О. Клейн близко подошел к формулировке SU(2) теории Янга–Миллса

âдокладе на конференции 1938 г. в Варшаве, опубликованном в сб.: New Theories in Physics (International Institute of Intellectual cooperation, Paris, 1939). Критическое обсуждение теории Клейна см. в докладе: Gross, D.J., «Oscar Klein and Gauge Theory», 1994 Oscar Klein symposium at Stockholm, Princeton preprint PUPT-1508.

2.Utiyama, R., Phys. Rev., 101, 1597 (1956).

3.Feynman, R.P., Acta Physica Polonica, 24, 697 (1963).

4.Faddeev, L.D. and Popov, V.N., Phys. Lett., 25B, 29 (1967).

5.de Witt, B., Phys. Rev., 162, 1195, 1239 (1967).

6.Доказательство легко получается адаптацией стандартного доказательства аналогичного результата в общей теории относительности: для существования координатного преобразования к плоской метрике в конечной односвязной области необходимо и достаточно обращения в нуль тензора кривизны Римана–Кри- стоффеля. См., например, монографию: Weinberg, S., Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972), Sections 6.3 and 6.4 (есть русский перевод: Вейнберг С., Гравитация и космология. М., Мир, 1972; разделы 6.3 и 6.4).

7.Доказательство того, что из а (при gab = dab) следует b, а из b

следует с, дано в работе: Gell-Mann, M. and Glashow, S.L., Ann. Phys. (NY), 15, 437 (1961).

8.См., например: S. Weinberg, ibid., Section 7.3.

9.Gribov, V., Nucl. Phys., B139, 1 (1978). См. также: Jackiw, R., Muzinich, I., and Rebbi, C., Phys. Rev., D17, 1576 (1978); Jackiw, R., in: New Frontiers in High Energy Physics, eds. B. Kursunoglu, A. Perlmutter, and L. Scott (Plenum, New York, 1978); Christ, N. and Lee, T.D., Phys. Rev., D22, 939 (1980); Jackiw, R., in: Current Algebra and Anomalies (World Scientific, Singapore, 1985), footnote 50.

10.Becchi, C., Rouet, A., and Stora, R., Comm. Math. Phys., 42, 127 (1975); in: Renormalization Theory, eds. G. Velo and A.S. Wightman (Reidel, Dordrecht, 1976); Ann. Phys., 98, 287 (1976).

11.Tyutin, I.V., Lebedev Institute preprint ¹39 (1975).

11a. Nakanishi, N., Progr. Theor. Phys., 35, 1111 (1966); Lautrup, B.,

Mat. Fys. Medd. Kon. Dan. Vid.-Sel. Medd., 35, 29 (1967).

12.Автор этих рассуждений мне неизвестен. Я узнал их от Дж. Польчинского.

13.Gupta, S.N., Proc. Phys. Soc., 63, 681 (1950); 64, 850 (1951); Bleuler, K., Helv. Phys. Acta, 3, 567 (1950); Bleuler, K. and Heitler, W., Progr. Theor. Phys., 5, 600 (1950).

13a.Curci, G. and Ferrari, R., Nuovo Cimento, 35, 273 (1976); Kugo,

R.and Ojima, I., Progr. Theor. Phys., 60, 1869 (1978); Progr. Theor. Phys. Suppl., 63, 1 (1979). См. также 11à для случая электродинамики.

14.Thierry-Mieg, J., J. Math. Phys., 21, 2834 (1980); Stora, R., in: Progress in Gauge Theories. Proc. of Cargese Symp. 1983, eds. G. ’t Hooft, A. Jaffe et. al. (Plenum, New York, 1984), p. 543; Bonora,

L.and Cotta-Ramusino, P., Commun. Math. Phys., 87, 589 (1983); Manes, J., Stora, R., and Zumino, B., Commun. Math. Phys., 102, 157 (1985); Schwarz, A.S., Commun. Math. Phys., 155, 249

(1993); Lavrov, P.M., Moshhin, P.Yu., and Reshetnyak, A.A., Tomsk preprint hep-th/9507104; Lavrov, P.M., Tomsk preprint hep-th/9507105.

15.Siegel, W., Phys. Lett., 93B, 170 (1980); Kimura, T., Progr. Theor. Phys., 64, 357 (1980); 65, 338 (1982).

16.Barnich, G., Brandt, F., and Henneaux, M., Commun. Math. Phys., 174, 57 (1995), Section 14.

17.Curci, G. and Ferrari, R., Nuovo Cimento, 32A, 151 (1976); Ojima, I., Progr. Theor. Phys. Suppl., 64, 625 (1980); Baulieu, L. and ThierryMieg,J., Nucl. Phys., B197, 477 (1982).

18.Àíòè-ÁÐÑÒ преобразование было расширено до случая произвольных локальных симметрий в работе: Alvarez-Gaume, L. and Baulieu, L., Nucl. Phys., B212, 255 (1983). Оно индуцируется оператором

Непосредственной проверкой можно убедиться, что это преобразование нильпотентно: s2 = 0. Кроме того, БРСТ и антиБРСТ

преобразования антикоммутируют. Более того, существует (неопубликованная) теорема о когомологии для антиБРСТ преобразований: наиболее общий функционал I от полей ϕr, ωA, ω*A è hA, удовлетворяющий условию антиБРСТ инвариантности sI = 0

и обладающий нулевым духовым числом, имеет вид:

I[ϕ, ω, ω*, h] = I0 [ϕ] + sΨ[ϕ, ω, ω*, h] .

(Для доказательства используйте оператор Ходжа t = ω A δδhA

вместо t.) Анти-БРСТ симметрия может помочь при перечислении возможных слагаемых в лагранжианах и функциях Грина, но мне неизвестен ни один случай, когда без нее нельзя было бы обойтись.

19.Batalin, I.A. and Vilkovisky, G.A., Phys. Lett., B102, 27 (1981); Nucl. Phys., B234, 106 (1984); J. Math. Phys., 26, 172 (1985). См. также: Воронов, Б. Л. и Тютин, И. В., Теор. Математ. Физика, 50, 218, 628 (1982). Живо написанный обзор: Gomis, J., Paris, J., and Samuel, S., Phys. Rep., 259, 1 (1995).

20.Fradkin, E.S. and Vilkovisky, G.A., Phys. Lett., B55, 224 (1975); CERN Report TH2332 (1977); Batalin, I.A. and Vilkovisky, G.A., Phys. Lett., B69, 309 (1977); Fradkin, E.S. and Fradkina T.E., Phys. Lett., B72, 334 (1977). См. также: Henneaux, M. and Teitelboim, C., Quantization of Gauge Systems (Princeton University Press, Princeton, 1992).

21.Batalin, I.A. and Tyutin, I.V., Phys. Lett., B356, 373 (1995).

22.Zinn-Justin, J., in: Trends in Elementary Particle Theory. International Summer Institute on Theorethical Physics in Bonn, 1974 (Springer Verlag, Berlin, 1975), p. 2.

23.Freedman, D.Z., van Nieuwenhuizen, P., and Ferrara, S., Phys. Rev., D13, 3214 (1976); Kallosh, R.E., Nucl. Phys., B141, 141 (1978); de Witt, B. and van Holten, J.W., Phys. Lett., B79, 389 (1979); van Nieuwenhuizen, P., Phys. Rep., 68, 189 (1981).

24.Henneaux, M. and Teitelboim, C., [20], Section 18.1.4.

25.Wigner, E.P., Group Theory (Academic Press, New York, 1959), pp. 76-80 (есть рус. пер.: Ю. Вигнер. Теория групп. М., ИИЛ, 1961).

26.Ссылка на оригинальную работу: Cartan, E., Sur la Structure des Groupes de Transformations Finis et Continue (Paris, 1894). Можно порекомендовать, например, учебник: Gilmore, R., Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications (Wiley, New York, 1974).

16

Методы внешнего поля

Часто полезно рассматривать квантовые теории поля в присутствии классического внешнего поля. Одна из причин — в том, что во многих физических ситуациях такое внешнее поле действительно присутствует, например, классическое электромагнитное или гравитационное поле или скалярное поле с ненулевым вакуумным средним. (Как мы увидим в гл. 19, такие скалярные поля могут играть важную роль при спонтанном нарушении симметрий лагранжиана.) Но даже в том случае, когда в задаче нет реального внешнего поля, ряд вычислений сильно упрощается, если рассматривать физические амплитуды в присутствии фиктивного внешнего поля.

Âэтой главе мы покажем, что можно учесть все многопетлевые эффекты, суммируя «древесные» диаграммы, вершины и пропагаторы которых берутся из квантового эффективного действия, ко-

торое есть не что иное, как одночастично неприводимая связная амплитуда перехода вакуум−вакуум в присутствии внешнего поля.

Âследующей главе будет видно, что такой подход чрезвычайно удобен как для завершения начатого в гл. 15 доказательства перенормируемости неабелевых калибровочных теорий, так и для рас- чета констант перенормировки заряда, необходимых для установления фундаментального свойства асимптотической свободы в квантовой хромодинамике.

16.1. Квантовое эффективное действие

Рассмотрим квантовую теорию с действием I[ϕ] и предполо-

жим, что мы «включили» совокупность классических токов Jr(x),

Итак, Z[J] определяется суммой всех амплитуд перехода вакуум−вакуум в присутствии тока J, включая как связные, так и

несвязные диаграммы, но при этом не считая различными те диаграммы, которые отличаются только перестановкой вершин * в той же самой или в разных связных поддиаграммах. Произвольная диаграмма, состоящая из N связных компонент, будет вносить в Z[J] слагаемое, равное произведению вкладов этих компонент, деленное на число N! перестановок вершин, которые только переставляют все вершины в одной несвязной компоненте со всеми вершинами в другой **. Поэтому сумма всех диаграмм равна

где iW[J] — сумма всех связных амплитуд перехода вакуум–ваку- ум, опять же не считая различными те диаграммы, которые отли- чаются только перестановкой вершин.

По многим причинам полезно сделать еще один шаг, и вместо W(J) иметь дело с суммой всех связных одночастично неприводимых (1PI) диаграмм. (Одночастично неприводимая диаграмма не может быть сделана несвязной путем разрезания какой угодно одной внутренней линии.) Можно следующим образом получить формальное выражение для этой суммы. Во-первых, определим ϕJr(x) как среднее по вакууму от оператора Φr(x) в присутствии тока J:

или, в терминах суммы связных диаграмм:

* Здесь и ниже имеются в виду только вершины, порождаемые током J, позднее автор называет их J-вершинами. — Прим. ред.

** Вклад фейнмановской диаграммы с N связными компонентами, содержащими n1, n2, ..., nN вершин, пропорционален множителю 1/(n1+...+nN)!, возникающему от дайсоновского разложения, и множителю (n1+...+nN)!/N!, равному числу перестановок этих вершин, если считать одинаковыми те перестановки, которые только переставляют все вершины в одной компоненте со всеми вершинами в другой.

Эту формулу можно обратить. Определим Jϕr (x) как ток, для которого выражение (16.1.4) принимает заданное значение ϕr(x):

ϕrJ (x) = ϕr (x), åñëè Jr (x) = Jϕr (x).

Квантовое эффективное действие 1 Γ[ϕ] определяется (как функционал ϕ, а не J) преобразованием Лежандра:

Вскоре мы покажем, что Γ[ϕ] есть сумма всех связных одноча- стично неприводимых диаграмм в присутствии тока Jϕ. Однако сна-

чала взглянем на физическое значение этой величины с другой стороны.

Следовательно, Γ[ϕ] есть «эффективное действие» в том смысле, что возможные значения внешних полей ϕs(y) в отсутствие тока J задаются стационарными «точками» Γ:

Это можно сравнить с классическими уравнениями поля, определяющимися требованием стационарности исходного классичес-

кого действия I[ϕ]. Поэтому (16.1.8) можно рассматривать как уравнение движения для внешнего поля ϕ с учетом квантовых поправок.

Величина Γ[ϕ] не только позволяет получить уравнения поля с

учетом квантовых поправок. Эта величина является также эффективным действием в том смысле, что iW[J] можно вычислить как сумму связных древесных диаграмм для амплитуды перехода вакуум–вакуум с вершинами, вычисляемыми так, как будто действием является не I[ϕ], à G[ϕ]. Древесными называются диаграммы,

которые становятся несвязными при разрезании любой внутренней линии. При использовании G[ϕ] вместо I[ϕ] учитываются все эффек-

ты петлевых диаграмм.

Чтобы убедиться в этом 2, рассмотрим величину WG[J,g], которая получится вместо W[J], если использовать действие g–1Γ[ϕ] вместо I[ϕ]:

+слагаемые с ε },

ñпроизвольной константой g. Пропагатором в данном случае является величина, обратная коэффициенту в квадратичном по ϕ слагаемом действия g–1G[ϕ], и поэтому пропорционален g, в то время,

как все вершины дают вклады, пропорциональные 1/g, так что диаграмма с V вершинами (включая те, которые порождаются током J) и I внутренними линиями (включая те, которые присоединены к J-вершинам) пропорциональна gI–V. Для любой связной диаграммы число петель равно L = I – V +1, так что L-петлевое слагаемое в WG[J, g] зависит от g следующим образом *:

Эквивалентно, можно записать (по крайней мере формально):

* По этой причине параметр g в формуле (16.1.9) называют параметром разложения по петлям или петлевым параметром, а также параметром квазиклассического разложения, поскольку он входит так же, как входит постоянная Планка $ (см. ниже примечание автора в разделе 17.2). —

Ïðèì. ðåä.