Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

(В таком базисе удобно не проводить различия между верхними и

также по γ è δ, а следовательно, полностью антисимметрична, что

доказывает b.

Далее, предположим, что выполнено b, т. е. существует базис алгебры Ли, в котором структурные константы полностью анти-

ного представления являются мнимыми и антисимметричными, а следовательно, эрмитовыми. Тогда согласно общей теореме об эрмитовых матрицах *, генераторы ~t Aα либо неприводимы, либо пол-

ностью приводимы.

Под неприводимым множеством N × N матриц ~t Aα подразу-

мевается множество, для которого не существует подпространства размерности меньшей, чем N, остающегося инвариантным под дей-

ствием всех ~t Aα . Иными словами, не существует множества менее чем N ненулевых векторов (ur)β, для которых при каждом α è r (~t Aα )βγ (ur )γ является линейной комбинацией векторов (us)β. Так как матрицы (~t Aα )βγ в этом базисе пропорциональны структурным

* Если множество матриц Hα не является неприводимым, то, по опреде-

лению, должно существовать множество векторов un, на которые натянуто подпространство (отличное от всего пространства), остающееся инвариантным под действием Hα. Это означает, что для всех α и n выполнено Hα un = åm(Cα )mn um . В этом случае мы можем выбрать базис, состоящий

из векторов un и векторов vk, на которые натянуто пространство, ортогональное всем un. Åñëè Hα эрмитовы, тогда (un , Hα vk ) = åm (Cα )*mn (um , vk ) = 0 ,

так что пространство, натянутое на vk, также инвариантно под действием Hα: Hαvk = ål (Dα )lk vl . В таком базисе матрицы Hα одновременно приводят-

ся к блочно-диагональной форме:

Продолжая тем же способом, можно полностью привести Hα к блочно-

диагональной форме с неприводимыми матрицами в блоках.

комбинации генераторов того же множества, а все члены одного множества коммутируют со всеми членами любого другого множества. Для каждого m множество матриц присоединенного представления t(m)A либо неприводимо, либо равно нулю, что соответствует подалгебре, которая либо проста, либо состоит из так называемых U(1) генераторов, коммутирующих со всеми генераторами алгебры в целом.

Таким образом, мы показали, что наиболее общая алгебра Ли с полностью антисимметричными действительными структурными константами является прямой суммой одной или более простых и/или U(1) алгебр Ли. Более того, простые алгебры компактны, в том смысле, что каждая матрица –Cacd(m)Cbdc(m) положительно опреде-

лена, так как для любого действительного вектора ua выражение

–Cacd(m)Cbdc(m)uaub = åcd[åa uaCacd(m) ]2 есть сумма положительных вели-

чин, которая не может обращаться в нуль за исключением случая

ua = 0, поскольку при ua ¹ 0 из условия åa uaCacd(m) = 0 следовало бы, что сама åa uat(m)a есть инвариантная подалгебра, в противоречии

ñ òåì, ÷òî t(m)a образует простую алгебру Ли. Этим завершается доказательство с.

Наконец, предположим, что верно c, т. е. нам дана алгебра Ли, являющаяся прямой суммой множества простых или U(1) ал-

гебр Ли. Это означает, что в некотором базисе t(m) = S ,αtα ñ äåé-

a ma

ствительной несингулярной матрицей S

[ta(m) , tb(n) ] = iδ nmC(m)cabtc(m) ,

где каждая подалгебра t(m) либо проста, либо коммутирует со всеми остальными. Предположим далее, что простые подалгебры компак-

положительно определены. Чтобы построить удовлетворяющую (15.А.1) действительную положительно определенную матрицу gab в базисе генераторов tma = ta(m) , выберем

ãäå g(m)ab выбирается как матрица (15.А.10), когда t(m) – простая подалгебра, и выбирается как произвольная действительная симметричная положительно определенная марица, если t(m) есть прямая сумма одного или нескольких U(1) подалгебр. Матрица (15.А.11) очевидно действительна, симметрична и положительно определена, поскольку этими свойствами обладает каждая из g(m)ab. Чтобы проверить требование (15.А.1), вспомним тождество Якоби для структурных констант:

C(m)cadC(m)dbe + C(m)cbdC(m)dea + C(m)cedC(m)dab = 0 (15.À.12)

и свернем его с C(m)efc. После переименования индексов суммирования в третьем слагаемом так, что с → d → e → c, и использования

(15.А.10), можем записать результат для простых подалгебр:

gdf(m)C(m)dab = C(m)cadC(m)dbeC(m)ecf − C(m)c fdC(m)dbeC(m)eca .

Важно то, что из этого выражения следует антисимметрия левой части по индексам a и f:

Тот же результат тривиально следует для U(1) подалгебр, когда структурные константы просто равны нулю. Условие симметрии (15.А.1) немедленно вытекает из (15.А.13), что завершает доказательство a. Этим завершается и доказательство эквивалентности утверждений а, b и с.

Вернемся к матрице gαβ. При полностью антисимметричных

структурных константах условие инвариантности (15.2.4) можно выразить как утверждение, что эта матрица коммутирует со всеми матрицами присоединенного представления алгебры Ли:

Мы видели, что все (tAγ)αβ можно представить в блочно-диагональ-

ной форме с неприводимыми (или нулевыми) подматрицами на главной диагонали. Хорошо известная теорема25 утверждает, что тогда gαβ должна также быть блочно-диагональной, с блоками того же размера и в той же позиции, что и в tAγ, и с подматрицами в каж-

дом блоке, пропорциональными единичной матрице. (Если две подматрицы в tAγ эквивалентны, в том смысле, что они могут быть

связаны преобразованием подобия, может оказаться необходимым сделать подходящее изменение базиса, чтобы привести подматрицы в gαβ к виду, пропорциональному единичным матрицам.) Тогда в

обозначениях (15.А.11) метрика задается выражением (15.А.2).

Приложение В. Каталог Картана

Мы приводим без доказательства полный каталог простых алгебр Ли, полученный в окончательной форме Э. Картаном 26. Эти алгебры будут представлены здесь в их «компактной» форме, т. е. с генераторами, которые могут быть точно представлены конечномерными эрмитовыми матрицами. Алгебры Ли будут помечаться нижним индексом n ³ 1, указывающим на их ранг — число незави-

симых коммутирующих линейных комбинаций генераторов.

An. Это алгебра специальной унитарной группы SU(n+1) всех унитарных (U† = U–1), унимодулярных (DetU = 1) (n+1)-мерных матриц. Любая такая матрица, бесконечно близкая к единице, может быть представлена в виде

U = I + iH,

где бесконечно малая матрица H удовлетворяет условиям

H† = H, Tr H = 0,

òàê ÷òî An есть алгебра Ли всех эрмитовых бесследовых (n+1)-мер- ных матриц. Любое множество коммутирующих эрмитовых матриц можно одновременно диагонализовать, и максимальное число независимых диагональных бесследовых (n+1)-мерных матриц равно n, так что это есть ранг An. Любая эрмитова (n+1)-мерная матрица определяется (n+1)2 независимыми действительными параметрами (n+1) действительных чисел на главной диагонали и n(n+1)/2 комплексных чисел над главной диагональю, равных комплексно сопряженным им числам под ней); один из этих параметров исключается условием бесследовости, так что размерность An åñòü

d(An) = (n + 1)2 –1 = n(n + 2).

Все алгебры An просты.

Bn. Это алгебра унитарной ортогональной группы O(2n+1), состоящей из всех унитарных (O † = O –1) и ортогональных (O T = O –1), следовательно, действительных, (2n+1)-мерных матриц. (Ограничение унитарными матрицами иногда указывается в названии группы UO(2n+1).) Любая такая матрица O, бесконечно близкая к единице, может быть записана в виде

O = I + iA,

где А – бесконечно малая матрица, удовлетворяющая условиям

À* = –À = ÀÒ.

(Не составит разницы, если мы ограничимся подгруппой SO(2n+1), для которой O подчинено дополнительному условию Det O = 1, так как любая близкая к единичной матрица O все равно будет иметь Det O = 1.) Любое множество коммутирующих мнимых антисимметричных (2n+1)-мерных матриц может быть (с помощью обычного ортогонального преобразования) приведено к виду суперматрицы

ãäå σ2 – обычная 2 × 2 матрица

а коэффициенты а1, ..., àn действительны. Отсюда очевидно, что ранг Bn равен n. Мнимая антисимметричная матрица полностью определяется мнимыми числами над действительной диагональю, так что ее размерность

Все алгебры Bn просты.

Существует альтернативное определение O(N), которое поможет понять мотивы возникновения следующего большого множества простых алгебр Ли. Вместо того, чтобы определять O(N) как группу N-мерных действительных матриц, удовлетворяющих условию ортогональности O TO = I, можно с тем же успехом определить ее как группу N-мерных действительных матриц M, удовлетворяющих условию

MTPM = P,

где P — произвольная положительно определенная действительная симметричная матрица. Это следует из того, что любая такая матрица Р может быть представлена как Р = RTR, где R –некоторая действительная несингулярная матрица, и поэтому существует преобразование подобия, переводящее любую матрицу М, удовлетворяющую указанным выше условиям, в действительную ортогональную матрицу RMR–1. Следовательно, можно, не изменяя группы, считать, что Р — различные действительные симметричные положительно определенные матрицы.

Ñn. Это алгебра унитарной симплектической группы USp(2n), т. е. группы унитарных матриц М, оставляющих инвариантной антисимметричную несингулярную матрицу А:

MTÀM = À ,

(Заметим, что для d-мерных матриц Det A = Det AT = (–1)d Det A, так что если d нечетно, Det A должен равняться нулю. Таким образом, USp(d) существует только при четных d.) Любая такая антисимметричная несингулярная (возможно, комплексная) матрица А может быть записана в стандартной форме

À = RTÀ0R,

где R — унитарная матрица, а А0 — суперматрица

80 Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

(Альтернативно можно взять А0 как блочно-диагональную суперматрицу с матрицами σ1 по главной диагонали.) Следовательно,

USp(2n) можно описать как группу унитарных матриц S, удовлетворяющих условию

S TÀ0S = À0 ,

так как при унитарном преобразовании всякая такая матрица S может быть преобразована в унитарную матрицу M = R–1SR, удовлетворяющую предыдущему условию MTAM = A. Всякая такая матрица S, бесконечно близкая к единице, может быть записана в виде

S = I + iH ,

где Н — бесконечно малая матрица, удовлетворяющая условиям

H † = H , H TÀ0 + À0H = 0 .

Самая общая 2n-мерная матрица Н, удовлетворяющая таким условиям, может быть записана в виде суперматрицы

где n-мерные комплексные подматрицы A, B удовлетворяют условиям

À † = À, Â Ò = Â.

Максимальный набор коммутирующих генераторов включает диагональные А и нулевые В, так что он имеет вид

ãäå à1, ..., àn действительны. Отсюда очевидно, что ранг Сn равен n. Размерность Cn равна числу n2 независимых действительных параметров у эрмитовой матрицы А плюс число 2n(n+1)/2 независимых действительных параметров у комплексной симметричной матрицы В

d(Cn ) = n2 + 2 × n(n + 1) / 2 = n(2n + 1) .

Все алгебры Cn просты.

Dn. Это алгебра унитарной ортогональной группы O(2n), состоящей из всех унитарных ортогональных 2n-мерных матриц. Обсуждение Bn можно перенести на Dn, с той разницей, что здесь любой набор коммутирующих генераторов можно привести к виду

так что ранг остается равным n. Кроме того, размерность здесь определяется формулой

d(Dn ) = (2n)(2n − 1) = n(2n − 1) . 2

Все алгебры Dn просты, за исключением D1, которая является абелевой алгеброй с единственным генератором, и D2, которая равна прямой сумме В1 + Â1.

Исключительные алгебры Ли. В дополнение к перечисленным выше классическим алгебрам Ли существует всего лишь пять исключи- тельных алгебр. Это алгебры исключительных групп G2 (d = 14), F4 (d = 52), E6 (d = 78), E7 (d = 133), E8 (d = 248).

Не все классические алгебры Ли действительно различны. Имеется ровно четыре изоморфизма:

À1 = Â1 = Ñ1, Ñ2 = Â2, À3 = D3.

Это соответствует изоморфизмам среди соответствующих данным алгебрам групп Ли. Однако, изоморфизмы типа В1 = À1, Â2 = Ñ2 è D3 = A3 не означают, что SO(3) изоморфна SU(2), SO(5) изоморфна USp(4) или SO(6) изоморфна SU(4). На самом деле SU(2), USp(4) и SU(4) являются односвязными накрывающими группами для SO(3), SO(5) и SO(6). (Накрывающие группы обсуждались в гл. 2.) Тем не менее изоморфизмы алгебр Ли позволяют особенно просто построить двузначные фундаментальные спинорные представления SO(3), SO(5) и SO(6), которые являются определяющими * представлениями SU(2), USp(4) и SU(4), соответственно. Кроме того, SO(4) изоморфна SO(3) ´ SO(3), так что ее двузначное спинорное представление есть в точности определяющее представление группы SU(2) ´ SU(2). Äëÿ d ³ 7 двузначные спинорные представления SO(d) долж-

ны строиться другими методами. Простейшая техника использует алгебры Клиффорда, обсуждавшиеся в разделе 5.4.

Задачи

1.Выведите тождества Бьянки DμFανλ + DνFαλμ + Dλ Fαμν = 0 .

2.Пусть в неабелевой калибровочной теории мы используем обоб-

щенную кулоновскую калибровку, выбирая фиксирующую ка-

либровку функцию в виде fα = Ñ×Aα. Выведите выражение для

лагранжиана гостов. Какой вид имеет пропагатор гостов? (Вы-

берите B[f] = exp(-i z d4xfα fα / 2x) .)

3.Пусть в электродинамике мы используем фиксирующую калибровку функцию f = ¶μ Aμ + cAμ Aμ , где с – произвольная по-

стоянная. Выведите выражение для лагранжиана гостов. (Выбе-

ðèòå B[f] = exp(-i z d4xfα fα / 2x) .) Какой вид имеет пропагатор

гостов?

* Автор использует здесь термин «defining representation», буквально — «определяющее представление». По-видимому, имеется в виду, что в терминах инвариантных квадратичных форм именно на этих представлениях определяются сами группы. — Прим. ред.