30. Производная функции, заданной в параметрической форме. Производная параметрически заданной функции.

В зависимости от правила, устанавливающего зависимость между множествами значений величин x и y, различают несколько способов задания функции. Наиболее привычным является представление функции в явном виде . Однако, в некоторых случаях удобно описывать функциональную зависимость множеством пар значений(x; y), которые вычисляются для каждого значения параметра t из промежутка (a; b). К примеру, все пары значений призадают окружность с центром в начале координат радиуса3. Определение параметрически заданной функции. Таким образом, если определены прии существуетобратная функциядля, то говорят о параметрическом задании функции. При исследовании параметрически заданной функции иногда приходится находить ее производную по аргументуx. В этой статье мы выведем формулу производной параметрически заданной функции , также остановимся на производной второго иn-ого порядка. Вывод формулы производной параметрически заданной функции. Пусть определены и дифференцируемы при, причемиимеет обратную функцию. Сначала переходим от параметрического задания к явному. При этом получаем сложную функцию, аргументом которой являетсяx. По правилу нахождения производной сложной функцииимеем:. Так какиобратные функции, то поформуле производной обратной функции, поэтому.

31. Производные высших порядков.

Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде

Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:

Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как

Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы:

В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид

   Пример 1

Найти y'', если .

Решение.

Возьмем первую производную дифференцируя функцию как произведение.

     

Теперь найдем производную второго порядка

     

   Пример 2

Вычислить y'' для параболы .

Решение.

Дифференцируя как неявную функцию, имеем

     

Дифференцируя еще раз и используя правило для производной произведения, получаем

     

Умножим обе части на y ² :

     

Поскольку yy' = 2, и следовательно, (yy' )² = 4, то последнее уравнение записывается в виде:

     

Отсюда следует, что

     

   Пример 3

Найти все производные функции .

Решение.

Пусть u = e ^x и v = x ². Тогда

     

Легко устанавливаются общие формулы для производных n-порядка:

     

Используя формулу Лейбница

     

получаем

     

   Пример 4

Определить все производные синуса.

Решение.

Вычислим несколько первых производных:

     

Очевидно, что производная n-го порядка выражается формулой

     

   Пример 5

Найти все производные функции .

Решение.

Аналогично предыдущему примеру, найдем сначала несколько первых производных.

     

Этого достаточно, чтобы обнаружить общий "паттерн":