Рвый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределыии докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R= 1).

Точка K— точка пересечения луча с окружностью, а точкаL— с касательной к единичной окружности в точке (1;0). ТочкаH— проекция точкиKна осьOX.

Очевидно, что:

(1)

(где S_sectOKA— площадь сектораOKA)

(из : |LA| = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

• 

• 

• 

• 

26. 2-ойзамечательный предел.  Второй замечательный предел:

или

Доказательство второго замечательного предела:

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:, где— это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то. Поэтому, согласно пределу, имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку −x=t, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.

Следствия

1. 

2. 

3. 

4. 

5. для ,

6. 

27. Производная функции. Геометрический и физический смысл производной. Произво́дная(функции в точке) — основное понятиедифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется какпределотношения приращения функции к приращению ееаргументапри стремлении приращения аргумента кнулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называетсядифференци́рованием. Обратный процесс —интегрирование.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестноститочкиопределенафункцияПроизводной функцииfв точкеx₀называетсяпредел, если он существует,

[править] Общепринятые обозначения производной функцииy=f(x) в точкеx₀

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени

Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функциивыбираетсяабсциссаx₀и вычисляется соответствующаяординатаf(x₀). В окрестности точкиx₀выбирается произвольная точкаx. Через соответствующие точки на графике функции F проводитсясекущая(первая светло-серая линия C₅). РасстояниеΔx = x — x₀устремляется к нулю, в результате секущая переходит вкасательную(постепенно темнеющие линии C₅— C₁).Тангенсугла α наклона этой касательной — и есть производная в точкеx₀.

Основная статья:Касательная прямая

Если функция имеет конечную производную в точкеx₀, то в окрестностиU(x₀) её можно приблизитьлинейной функцией

Функция f_lназывается касательной кfв точкеx₀. Числоявляется угловым коэффициентом илитангенсомугланаклонакасательной прямой.

[Править] Скорость изменения функции

Пусть s=s(t) — закон прямолинейногодвижения. Тогдаv(t₀) =s'(t₀) выражаетмгновенную скоростьдвижения в момент времениt₀. Вторая производнаяa(t₀) =s''(t₀) выражаетмгновенное ускорениев момент времениt₀.

Вообще производная функции y=f(x) в точкеx₀выражает скорость изменения функции в точкеx₀, то есть скорость протеканияпроцесса, описанного зависимостьюy=f(x).

28. Правила дифференцирования функций. Таблица производных основных функций.

(частный случай формулыЛейбница)

—Правило дифференцирования сложной функции

Производные простых функций

• 

• 

• 

Вывод  [показать]

• когда иопределены,

Вывод  [показать]

• 

Вывод  [показать]

• 

• 

• 

• 

Производные экспоненциальныхилогарифмическихфункций

• 

Вывод  [показать]

• 

• 

• 

• 

Вывод  [показать]

• 

Производные тригонометрическихи обратных тригонометрических функций

• 

Вывод  [показать]

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Производные гиперболическихфункций

29. Производная сложной функции. Функции сложного вида не совсем корректно называть термином «сложная функция». К примеру, смотрится очень внушительно, но сложной эта функция не является, в отличие от. В этой статье мы разберемся с понятием сложной функции, научимся выявлять ее в составе элементарных функций, дадим формулу нахождения ее производной и подробно рассмотрим решение характерных примеров. При решении примеров будем постоянно использоватьтаблицу производныхиправила дифференцирования, так что держите их перед глазами.Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция. С нашей точки зрения, это определение наиболее понятно. Условно можно обозначать как f(g(x)). То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)). К примеру, пусть f – функция арктангенса, а g(x) = lnx есть функция натурального логарифма, тогда сложная функция f(g(x)) представляет собой arctg(lnx). Еще пример: f – функция возведения в четвертую степень, а - целая рациональная функция (смотритеклассификацию элементарных функций), тогда. В свою очередь,g(x) также может быть сложной функцией. Например, . Условно такое выражение можно обозначить как. Здесьf – функция синуса, - функция извлечения квадратного корня,- дробная рациональная функция. Логично предположить, что степень вложенности функций может быть любым конечным натуральным числом. Часто можно слышать, что сложную функцию называюткомпозицией функций. Формула нахождения производной сложной функции.