19. Плоскость. Уравнение плоскости.

Пло́скость— одно из основных понятийгеометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяетсяаксиомамигеометрии.Плоскость—алгебраическая поверхностьпервого порядка: вдекартовой системе координатплоскость может быть заданауравнениемпервой степени.

• Общее уравнение (полное) плоскости

где и— постоянные, причёмиодновременно не равны нулю; ввекторнойформе:

где — радиус-вектор точки, векторперпендикулярен к плоскости (нормальный вектор).Направляющие косинусывектора:

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. Приплоскость проходит черезначало координат, при(или,) П. параллельна оси(соответственноили). При(, или) плоскость параллельна плоскости(соответственноили).

• Уравнение плоскости в отрезках:

где ,,— отрезки, отсекаемые плоскостью на осяхи.

• Уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно вектору нормали:

в векторной форме:

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки,не лежащие на одной прямой:

(смешанное произведение векторов), иначе

• Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

в векторной форме:

где - единичный вектор,— расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки ипротивоположны).

20. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей

     Если , то они:

     1) пересекаются

     2) параллельны (но не совпадают)

     3) совпадают

     Если плоскости заданы уравнениями ито случаи 1 - 3 имеют месло, когда:

     1)

     2)

     3)

     Угол между плоскостями

21. Прямая в пространстве. Уравнение прямой в пространстве. Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей -- и, то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

(11.11)

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

22. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Прямая и плоскость в пространстве могут:

• а) не иметь общих точек;

• б) иметь ровно одну общую точку;

• в) иметь хотя бы две общие точки.

На рис. 30 изображены все эти возможности.

В случае а) прямая b параллельна плоскости: b ||.

В случае б) прямая l пересекает плоскость в одной точке О; l= О.

В случае в) прямая а принадлежит плоскости :а или а.

Теорема. Если прямая b параллельна хотя бы одной прямой а, принадлежащей плоскости , то прямая параллельна плоскости.

Предположим, что прямая m пересекает плоскость в точке Q.Если m перпендикулярна каждой прямой плоскости, проходящей через точку Q, то прямая m называется перпендикулярной к плоскости.

Трамвайные рельсы иллюстрируют принадлежность прямых плоскости земли. Линии электропередачи параллельны плоскости земли, а стволы деревьев могут служить примерами прямых, пересекающих поверхность земли, некоторые перпендикулярные плоскости земли, другие — не перпендикулярные (наклонные).