16 Анализ временных рядов

Временной ряд – это ряд значений изучаемого признака за последовательные моменты или периоды времени. Он состоит из уровней ряда (у_i) и периодов или моментов времени, к которым относятся уровни (t_i).

Уровни ряда формируются под влиянием совокупности факторов, проявляющихся через трендовую (Т), циклическую или сезонную (S) и случайную компоненты (). Применяются аддитивная У=Т+S+ε или мультипликативная У=Т∙S∙модели.

Для выявления во временном ряду тенденции или циклических колебаний используется коэффициент автокорреляции. Коэффициент автокорреляции уровней первого порядка, смещенных на одну единицу времени, определяется по формуле:

, где , _(16.1)

Для характеристики тенденций во временном ряду наиболее часто используются следующие функции:

- линейная ; (16.2)

- степенная ; (16.3)

- гиперболическая ; (16.4)

- показательная ; (16.5)

- полиноминальная . (16.6)

Параметры уравнений определяются методом наименьших квадратов.

Для характеристики зависимости между последовательными значениями остатков применяется критерий Дарбина-Уотсона.

, 0. (16.7)

Для выявления циклических колебаний во временных рядах используется гармонический анализ. Наиболее часто применяют ряд Фурье:

, (16.8)

где k=1,2, …., () номер гармоники,

t = 1,2, ….., Т – номер интервала или момента времени,

Т – число уровней временного ряда,

- выравненный уровень в момент или интервал времени t.

Если в исходном временном ряду тенденции развития не обнаружено, то а₀.

Параметры ряда Фурье определяются методом наименьших квадратов по формулам:

, ,. (16.9)

Если в исходном ряду обнаружена тенденция и найдены значения , то в формуле (16.8) вместо у_t , используется .

1. На основании данных об урожайности одной сельскохозяйственной культуры: а) построить график динамики урожайности; б) определить параметры тренда урожайности, используя приемы линейного и нелинейного сглаживания, в) найти выравненные значения урожайности и доверительные интервалы для этих значений, г) определить прогнозные значения урожайности на период до 2010 года

Таблица26 - Урожайность сельскохозяйственных культур с 1 га, ц

Год	Пшеница озимая	Кукуруза	Картофель	Сахарная свекла	Подсол-нечник	Овощи	Табак
1985	28,8	24,8	71	271	22,1	111	9,7
1986	33,2	27,8	81	225	22,3	105	10,6
1987	39,5	30,2	77	289	20,1	129	8,2
1988	37,5	33,4	83	307	15,6	99	7,3
1989	43,2	30,9	76	180	18,2	113	10,0
1990	36,4	35,3	81	336	23,5	125	12,4
1991	44,1	36,3	86	298	20,4	109	9,0
1992	39,8	33,3	70	250	17,8	90	6,6
1993	42,0	35,4	92	278	16,9	123	9,6
1994	36,2	36,4	70	187	16,0	89	8,4
1995	32,9	31,3	83	259	17,5	82	5,9
1996	38,9	44,6	92	309	12,8	54	7,2
1997	44,5	35,1	95	336	8,4	58	10,8
1998	39,9	42,9	107	342	12,4	65	12,8
1999	37,8	20,1	63	280	13,0	61	9,5
2000	38,8	22,0	73	324	15,6	70	6,3
2001	44,0	24,0	80	338	13,3	70	6,8
2002	47,2	28,8	91	315	17,3	65	6,9
2003	46,8	35,7	101	359	18,6	92	8,1
2004	43,1	40,4	93	268	17,3	39	63
2005	46,7	40,3	88	323	20,1	75	74
2006	42,7	29,8	112	360	20,8	87	8,0
2007	50,8	43,9	125	348	24,6	74	10,2

2Имеются следующие данные об объеме подрядных работ строительной организации

Таблица 27 - Объем подрядных работ, млн. руб.

Месяц	2005 г.	2006 г.	2007 г.	2008 г.
1	2	3	4	5
Январь	1,25	1,58	1,46	2,31
Февраль	1,88	1,96	2,32	2,70
Март	2,32	2,64	2,89	3,23
Апрель	4,41	4,87	4,66	5,11
Май	4,10	4,05	4,34	6,02
Июнь	4,21	4,58	4,11	6,25
Июль	5,03	5,94	6,03	8,02
Август	5,41	6,05	5,74	8,44
Сентябрь	4,87	5,11	5,34	7,34
Октябрь	3,17	4,07	4,85	5,02
Ноябрь	2,46	3,86	4,23	4,75
Декабрь	3,28	3,15	3,98	4,95

Построить график динамики объема подрядных работ. Определить параметры тренда объема подрядных работ, включающего общую закономерность изменения объема работ и периодическую составляющую, используя периодическую функцию ряда Фурье.