- •Мультимедийные лекции
- •Содержание
- •Лекция 1.Множества Элементы теории множеств. Операции над множествами.
- •Операции над множествами.
- •Лекция 2. Функция Понятие функции. Основные свойства функции.
- •Основные элементарные функции и их графики.
- •Лекция 3.Предел последовательности Числовые последовательности. Пределчисловойпоследовательности.
- •Лекция 4.Предел функции Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Основные теоремы о пределах функций.
- •Лекция 5.Техника вычесления пределов Замечательные приделы.
- •Первый замечательный придел.
- •Техника дифференцирования:
- •Примеры применения производной в экономике.
- •Лекция 7. Приложения производной к исследованию функций и построению графиков. Исследование функции на монотонность (возрастание и убывание функции)
- •Экстремум функции (исследование функции на экстремум)
- •Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •Исследование функции на выпуклость и точку перегиба.
- •Асимптоты графика функции. Исследование функции на асимптоты.
- •Общая схема исследования функций и построения графиков.
- •Лекция 8. Первообразная функция.Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Свойства неопределенного интеграла и его геометрические свойства.
- •Основные приемы интегрирования
- •Лекция 10.Интегрирование тригонометрических функций.
- •Интегрирование некоторых видов иррациональных функций.
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Лекция 14.Линейные дифференциальные уравненияпервого порядка.
- •Лекция 15.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •Лекция 16.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Лекция 17.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •Лекция 18. Числовые ряды.Сумма ряда.
- •Эталонные ряды.
- •Признаки сходимости знакоположительных рядов
- •Достаточные признаки
- •Лекция 19. Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременого ряда.
- •Лекция 20. Степенные ряды. Область сходимости. Теорема н. Абеля.
- •Свойства степенных рядов
- •Ряд Маклорена. Ряд Тейлора.
Свойства неопределенного интеграла и его геометрические свойства.
Из определения неопределенного интеграла следует, что:
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
Действительно, F'(x) = f(x) и ʃ f(x) dx = F(x) + C. Тогда
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
Действительно,
3. Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная постоянная:
Действительно, F'(x) = f(x). Тогда,
4. Неопределенный интеграл от дифференциала равен дифференцируемой функции плюс произвольная постоянная:
.
Действительно, . Тогда,
.
5. Постоянный множитель k (k ≠ 0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:
6. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
Назовем график первообразной F(x)интегральной кривой. График любой другой первообразной F(x) + Cполучается параллельным переносом интегральной кривой F(x) вдоль оси OY.
Пример.
Таблица основных интегралов
Основные приемы интегрирования
1. Непосредственное (табличное) интегрирование.
Непосредственное (табличное) интегрирование ‒ это приведение интеграла к табличному виду с помощью основных свойств и формул элементарной математики.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
Пример 3.
Решение:
2. Метод подведения под дифференциал.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
Пример 3.
Решение:
Пример 4.
Решение:
Пример 5.
Решение:
Пример 6.
Решение:
Пример 7.
Решение:
Пример 8.
Решение:
Пример 9.
Решение:
Пример 10.
Решение:
3. Второй способ подведения под дифференциал.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
4. Методзамены переменной (подстановки).
Пример.
Решение:
5. Методинтегрирования по частям.
По этой формуле берутся следующие типы интегралов:
1 тип.
,формула применяется n‒ раз, остальное dv.
2 тип.
,формула применяется один раз.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
Пример 3.
Решение:
Пример 4.
Решение:
Лекция 9.ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ.
Рациональной дробью называется отношение двух многочленов ‒ степениmи ‒ степениn,
Возможны следующие случаи:
1. Если , то применяют метод деления углом для исключения целой части.
2. Если и в знаменателе квадратный трехчлен, то применяют метод дополнения до полного квадрата.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
3. Метод неопределенных коэффициентов при разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Любую правильную рациональную дробь , где, можно представить в виде суммы простейших дробей:
гдеA, B, C, D, E, F, M, N,… ‒ неопределенные коэффициенты.
Для нахождения неопределенных коэффициентов надо правую часть привести к общему знаменателю. Так как знаменатель совпадает со знаменателем дроби правой части, то их можно отбросить и прировнять числители. Затем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхxв левой и правой частях, получим систему линейных уравнений с n‒ неизвестными. Решив эту систему, найдем искомые коэффициенты A, B, C, D и так далее. А,следовательно, разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби.
Рассмотрим на примерах возможные варианты:
1. Если множители знаменателя линейны и различны:
2. Еслисреди множителей знаменателя есть краткие множители:
3. Если среди множителей знаменателя есть квадратный трехчлен, неразложимый на множители:
Примеры: Разложить на сумму простейших рациональную дробь. Проинтегрировать.
Пример1.
Так как знаменатели дробей равны, то должны быть равны и числители, т. е.
Далее сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях xв левой и правой частях. Получаем систему:
значит
поэтому
Пример 2.
Отсюда
Значит
Поэтому
тогда
Пример 3.
Значит
тогда