Практическое занятие №4. Системы счисления.

Перевод чисел из недесятичных систем счисления в десятичную.

Система счисления называется позиционной, если значение каждого знака определяется ее местом (позицией) в числе.

Позиционную систему счисления называют традиционной, если ее базис¹образуют члены геометрической прогрессии, а значения знаков есть целые неотрицательные числа. Например, базисы двоичной(D₂), восьмеричной (D₈), шестнадцатеричной (D₁₆) и десятичной (D₁₀) систем счисления образуют геометрические прогрессии со знаменателями (Р): 2, 8, 16 и 10 соответственно.

Знаменатель Р геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной системы счисления, называется основанием этой системы счисления. Традиционные системы счисления с основанием Р называют Р-ичными. Базис Р-ичных систем совпадает с алфавитом², а размерность алфавита равна основанию системы счисления.

Существуют две формы записи чисел в Р-ичных системах: в свернутой форме в виде последовательности знаков из базиса системы счисления D = x_n-1x_n-2…x₂x₁x₀x_-1x_-2…x_-m и в развернутой форме (полиномиальное представление):

D = x_n-1 · Р^n-1 + x_n-2 · Р^n-2 +… + x₁ · Р¹ + x₀ · Р⁰ + x_-1 · Р^-1+ … + x_-m · Р^-m

где Р – основание системы счисления,

x_i – символ базиса данной системы счисления, n - число разрядов целой части числа,  m - число разрядов дробной части числа.

Для перевода чисел из недесятичных систем счисления в десятичную, необходимо представить число в развернутой форме, заменить во всех слагаемых символы базиса системы и само основание их десятичными эквивалентами и вычислить сумму значений всех слагаемых в десятичной системе счисления. Все вычисления выполняются по правилам умножения, сложения и деления в десятичной системе счисления.

Примеры выполнения заданий

1. Переведите D₂,D₈ ,D₁₆ D₁₀

101,11₂ = 1 2⁰ + 0 2¹+ 0 2²+ 1 2^-1 + 1 2^-2 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,75₁₀

1,065₈ = 1  8⁰+ 0  8^-1+ 6  8^-2+ 5  8^-3 =1,094 + 0,0098 = 1,103765₁₀

А,С4₁₆ = 10  16⁰ + 12  16^-1 + 4  16^-2 = 10 + 0,75 + 0,0156 = 10,7656₁₀

2. Переведите из недесятичной системы в D₁₀

0,342₆ = 0  6⁰ + 3  6^-1 + 4  6^-2+ 2  6^-3 = 0,5 +0,1 + 0,009 = 0,609₁₀

Перевод чисел из десятичной системы счисления в недесятичные

Для перевода целого числа из десятичной системы счисления в недесятичную систему счисления следует воспользоваться одним из двух способов:

1. последовательно делить заданное число и целые его части на новое основание системы счисления до тех пор, пока результат не станет меньше основания новой системы счисления. Полученные остатки от деления, представленные цифрами из новой системы счисления, запишите в виде числа, начиная с последнего частного числа;

2. каждый раз вычитать из остатка (первый раз из числа) число, равное ближайшей степени нового основания. Выписать новое число путем записи коэффициентов при степенях, заменяя их эквивалентами по таблице 1. У пропущенных степеней коэффициенты равны нулю (метод разложения по степеням).

Для перевода дробного числа из десятичной системы счисления в недесятичную систему счисления необходимо отдельно перевести его целую часть, затем дробную часть и объединить полученные результаты.

Чтобы перевести дробную часть числа следует последовательно умножать дробную часть числа (или произведений в дальнейшем) на основание новой системы счисления до тех пор, пока не выполнится одно из условий, когда дробная часть произведения:

1) не станет равной нулю; 2) не будет обнаружен период дроби. Период дроби выписывается в круглых скобках; 3) не будет получено требуемое по условию количество разрядов. Запись результата чрез знак приближения .

Число записать как целые части произведений сверху вниз, не учитывая ноль целых.

Примеры выполнения заданий

1. Представьте D₁₀ D₂ , D_{8 ,} D₁₆ целое число 24₁₀ .

2410 = 110002

2410= 308

2410 = 1816

2. Представьте D₁₀ D₂ , D_{8 ,} D₁₆ целое число 27₁₀ методом разложения по степеням.

27₁₀ = 16 + 8 + 2+1 =1 2⁴ + 1  2³ + 1  2¹ +1  2⁰ = 11011₂

27₁₀ = 24 + 3 = 3  8¹ + 3  8⁰ =33₈

27₁₀ = 16 + 11 = 1  16¹ + 11  16⁰ = 1В₁₆

Числа, большие 9, в шестнадцатеричной системе счисления заменяют буквами в следующем порядке:

10 – А, 11 – В, 12 – С, 13 – D, 14 – E, 15 – F.

3. Представьте D₁₀ D₂ , D_{8 ,} D₁₆ дробное число 19,2₁₀

Для перевода целой части воспользуемся методом разложения по степеням:

19₁₀ = 16 + 2 + 1 = 12⁴ + 12¹ + 1 2⁰ = 10011₂

19₁₀ = 16 + 3 = 2  8¹ + 3  8⁰ = 23₈

19₁₀ = 16 + 3 = 1 16¹+3  16⁰ = 13₁₆

0, 2  2 = 0, 4  2 = 0, 8  2 = 1, 6  2 = 1, 2  2 = 0, 4  2 = 19,210=10011,(0011)2

0, 2  8 = 1, 6  8 = 4, 8  8 = 6, 4  8 = 3, 2  8 = 1, 6  8 = 19,210= 23,(1463)8

0, 2  16 = 3, 2  16 = 3, 2  16 = 19,210 = 13,(3)16

Специальные приемы перевода

Трехразрядное двоичное число, соответствующее цифре восьмеричного числа, называется двоичной триадой. В связи с этим переход D₂ D₈ значительно упрощается: двоичную запись числа разделяют на триады вправо и влево от запятой (в случае необходимости триады можно дополнить незначащими нулями) и заменяют каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой (см. табл.1).

Обратный переход осуществляется также просто: каждую цифру восьмеричной записи заменяют ее двоичным представлением.

Четырехзначное двоичное число, соответствующее цифре шестнадцатеричного числа, называется двоичной тетрадой. Переход D₁₆ D₂ , (и обратно) также прост, как D₈ D₂ , только тетрады двоичных цифр заменяются теперь на шестнадцатеричную запись.

Более длительные цепочки преобразований следует выполнить при переводах D₈ D₁₆ и D₁₆ D₈. Для этого необходимо выполнить ряд переводов: в первом случае D₈ D₂, затем D₂ D₁₆; во втором случае D₁₆ D₂, затем D₂ D₈. Возможны переводы и через десятичную систему счисления, но это осуществить гораздо сложнее.

Таблица 1. Десятичные и двоичные эквиваленты

Десятичный эквивалент	Двоичные эквиваленты
	D8 - D2	D16 -D2
0	0 - 000	0 - 0000
1	1 - 001	1 - 0001
2	2 - 010	2 - 0010
3	3 - 011	3 - 0011
4	4 - 100	4 - 0100
5	5 - 101	5 - 0101
6	6 - 110	6 - 0110
7	7 - 111	7 - 0111
8		8 - 1000
9		9 - 1001
10		A - 1010
11		B - 1011
12		C - 1100
13		D - 1101
14		E - 1110
15		F - 1111

Примеры выполнения заданий

1. Переведите D₂ D₈, D₁₆ число:

2. Переведите D₈ D₂, D₁₆ число:

3. Переведите D₁₆ D₂ число:

Задания для самостоятельного выполнения