2. Равносильные преобразования формул алгебры логики

Любую формулу алгебры логики можно преобразовать к равносильной ей, в которой используются только аксиоматически введенные операции: конъюнкция, дизъюнкция и отрицание.

Преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.). Логические операции обладают рядом свойств и подчинены логическим законам (см. табл.3).

Операции строгой дизъюнкции, импликации, эквиваленции, штрих Шеффера и стрелка Пирса могут быть равносильно выражены через операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, поэтому они считаются как бы избыточными.

Логические равносильности алгебры логики:

a → b ≡b;

ab ≡&ba &;

ab ≡a &b &.

a  b ≡ (a&b)

a  b ≡ (ab)

Равносильное упрощение формул выполняется по шагам:

1. замена операций импликации, строгой дизъюнкции, эквиваленции, функции Шеффера и стрелки Пирса логическими равносильностями;

2. применение законов алгебры логики.

Таблица 3. Свойства и законы алгебры логики

Название	Содержание
Коммутативность (переместительный)	a  b ≡ b a a  b ≡ b a
	a b ≡ ba
Ассоциативность (сочетательный)	a  (b  c) ≡ (a  b) с
	a  (b  c) ≡ (a  b) c
	a(b c) ≡ (ab) c
Дистрибутивность (распределительный)	a  (b  c) ≡ (a  b)(а c)
	a  (b  c) ≡ (a  b)(а c)
Закон снятия двойного отрицания	≡а
Законы де Моргана	≡
	≡
следствие закона	a  b ≡; a  b ≡
Законы поглощения	a a b ≡ a a  (a  b) ≡ a
Свойства константы Л	aЛ ≡ a а Л ≡Л
Свойства константыИ	аИ≡И аИ ≡ a
Закон исключения третьего	a ≡И
Законы идемпотентности	aa ≡ a aa ≡ a
Закон противоречия	a ≡Л
Законы склеивания	(a  b)  ( b) ≡ b (a b)  (b) ≡ b

Примеры выполнения заданий

1.Докажите: x;

1) x x (по закону де Моргана);

2) x (x) (по дистрибутивному закону);

3)  (x)  И (по закону исключения третьего);

4)  И  (по свойству логической константы И).

2. Упростите: x (y → x) → 

1) x (y → x) → x (x) → (по равносильности);

2) x (x) →  (по равносильности);

3)  ()  (по закону де Моргана);

4)  () (y)(по закону снятия дв.отрицания);

5)  (y)  (по закону поглощения).

3.Определите тождественную истинность или ложность формулы

XY→Y

1) XY→YY (по равносильности)

2) YY (по закону де Моргана)

3) YXY (по закону снятия дв.отрицания);

4) XYXY (по коммутативному закону);

5) XY И И  И (по закону исключения третьего).