Раздел II. Введение в анализ Глава 5. Функция Краткая теория

1.Если каждому элементу (значению)множествапоставить в соответствие определенный элемент (значение)множества, то говорят, что на множествезадана функция; при этом множествоназываетсяобластью определенияфункции, а множество-областью значенийфункции.

2.Функцияназываетсячетной, если для любых значенийиз области определения функции, инечетной, если. В противном случае- функция общего вида.

3. Функцияназываетсявозрастающей (убывающей)на некотором промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Возрастающие или убывающие функции называютсямонотонными.

4.Функцияназываетсяограниченной на промежутке, если существует такое число, что, для всех. В противном случае функция называетсянеограниченной.

5.Если функцияесть функция переменной(определенной на множествес областью значений), а переменная, в свою очередь, также является функцией(определенной на множествес областью значений), то заданная на множествефункцияназываетсясложнойфункцией.

6.Основные элементарные функции:

а) степенная функция;

б) показательная функция

;

в) логарифмическая функция

;

г) тригонометрическиефункции;

д) обратные тригонометрические функции.

7.Функции, построенные из основных элементарных функций при помощи конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называютсяэлементарными.

8.Функцияназываетсяпериодическойс периодом, еслидля любых.

9. Преобразование графиков:

а) - сдвигает графикпараллельно осинаединиц, (- влево,- вправо);

б) - сдвигает графикпараллельно осинаединиц (- вверх,- вниз);

в) - растягивает вразили сжимаетграфикотносительно оси; присимметрично отображает график относительно оси;

г) - растягивает вразили сжимаетграфикотносительно оси, присимметрично отображает график относительно оси.

10. Абсолютная величина(модуль) действительного числа:

5.1. Найти область определения функции

.

Решение. Так как выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательно, знаменатель дроби отличен от нуля, а выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительно, то область определения функции найдем из системы неравенств:

илиоткуда

Значения переменной , которые удовлетворяют всем неравенствам системы одновременно, есть.

5.2.Найти область значений функции.

Решение. Воспользуемся определением обратной функции, в соответствии с которым область ее определения будет являться областью значений исходной функции. Найдем функцию, обратную к функции, выражаячерезили.

Так как , то, откудаи, т.е. найденный полуинтервал и является областью значения искомой функции.

5.3.Выяснить четность (нечетность) функции:

а) ; б).

Решение:

а) Найдем

Так как , то по определению (п.2) искомая функция является четной;

б) так каки, то по определению (п. 2) искомая функция является функцией общего вида.

5.4.Найти основной (наименьший) период функции.

Решение: По определению периодической функции (п. 8)для любыхи. Дляимеем:

, или, откуда. т.е.. Полученное равенство будет выполняться при любых, т.е. тождественно, если сомножитель, не содержащий, будет равен нулю, т.е.и наименьшее (не равное нулю).

5.5.Постоянные издержки(не зависящие от числа х произведенной продукции) составляют 125 тыс. руб. в месяц, а переменные издержки(пропорциональные) – 700 руб. за каждую единицу продукции. Цена единицы продукции 1200 руб. Найти объем продукции, при котором прибыль равна: а) нулю (точка безубыточности); б) 105 тыс. руб. в месяц.

Решение:

а) Издержки производства единиц продукции составят:(тыс. руб.). Совокупный доход (выручка) от реализации этой продукции, а прибыль(тыс. руб.). Точка безубыточности, в которой, равна(ед.).

б) прибыль равна 105 (тыс. руб.), т.е.при(ед.).

5.6.Продолжительность выполнения(мин.) при повторных операциях связана с числомэтих операций зависимостью. Вычислить, сколько минут выполняется работа при 50 операциях, если известно, что при, а при.

Решение.Найдем параметрыи, учитывая, что,. Имеем систему:

решая которую найдем.

Итак, и при(мин.).

Найти области определения функций:

5.12..

5.13..

5.14..

5.15..

5.16..

Найти области значений функций:

5.17..

5.18. .

5.19..

5.20..

5.21..

Выяснить четность (нечетность) функций:

5.22..

5.23..

5.24..

5.25..

5.26..

Найти наименьший период функций или доказать их непериодичность:

5.27..

5.28..

5.29..

5.30..

5.31..

5.32.Дана функция, найти.

5.33.Дана функция,найти.

5.34.Известно, что, а. Найти.

5.35.Известно, что, а. Найти.

5.38.Предприятие купило автомобиль стоимостью 150 тыс. руб. Ежегодная норма амортизации составляет 9 %. Полагая зависимость стоимости автомобиля от времени линейной, найти стоимость автомобиля через 4,5 года.

5.39.Зависимость уровня потреблениянекоторого вида товаров от уровня дохода семьивыражается формулой:. Найти уровень потребления товаров при уровне дохода семьи 158 ден. ед. Известно, что при; при; при.

5.40. Банк выплачивает ежегодно 5% годовых (сложный процент). Определить: а) размер вклада через 3 года, если первоначальный вклад составил 10 тыс. руб.;

б) размер первоначального вклада, при котором через 4 года вклад (вместе с процентными деньгами) составит 10000 руб.

Указание.Размер вкладачерезлет определяется по формуле, где- процентная ставка за год,- первоначальный вклад.