Разделение переменных
Ψ(x,t) =ψ(x)φ(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
− |
2 ∂2ψ(x)φ(t) |
+V (x)ψ(x)φ(t) = i |
∂ψ(x)φ(t) |
. |
||||||||||||||
2m |
|
∂x2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|||||||||
− |
2 |
φ(t) |
d 2ψ(x) |
+V (x)ψ(x)φ(t) = i ψ(x) |
dφ(t) |
. |
||||||||||||
2m |
|
dx2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||
− |
2 |
|
1 |
|
|
d 2ψ(x) |
|
+V (x) = i |
1 |
|
dφ(t) |
. |
||||||
2m ψ(x) dx2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
φ(t) dt |
||||||||||||||
− |
2 |
|
1 |
|
|
d 2ψ(x) |
|
+V (x) = C. |
||||||||||
2m ψ(x) |
|
dx2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1dφ(t) =
iφ(t) dt C
Временная часть решения уравнения Шредингера
− |
2 |
|
|
|
1 d 2ψ(x) |
+V (x) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
||||
2m ψ(x) |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||
i |
|
1 |
|
|
|
dφ(t) |
= C. |
|
|||
φ(t) |
|
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
dφ(t) |
|
= C dt = −iC dt. |
||||||||
|
φ(t) |
||||||||||
|
|
i |
|
|
|||||||
φ(t) = e−iCt / .
φ(t) = cos Ct −isin Ct
φ(t) = e−iEt / .
= C.
|
|
2π |
Ct |
|
2π |
Ct |
||
|
= cos |
h |
|
−sin |
h |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Стационарное уравнение Шредингера
− |
2 |
|
1 d 2ψ(x) |
+V (x) = C. |
|||
|
|
|
|
dx2 |
|||
2m ψ(x) |
|||||||
|
|
||||||
φ(t) = e−iEt / . |
|
|
|||||
− |
2 |
|
d 2ψ(x) |
+V (x)ψ(x) = Eψ(x). |
|||
2m |
|
dx2 |
|||||
|
|
|
|
||||
Вычисление вероятности. Допустим, что электрон обнаружен в основном состоянии. (а) Какова вероятность найти его в интервале 0 < x < L/4? (б) Какова вероятность обнаружить его в очень узком интервале δ=0,01L c центром в точке x=5L/8?
ψ1 |
(x) = |
2 |
sin |
πx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L |
/ 4 |
P (x)dx = |
|
L / 4 2 |
sin2 |
|
πx |
dx. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫0 |
|
∫0 L |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
π |
/ 4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
u |
|
sin 2u |
|
π / 4 |
2 |
π |
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫0 |
|
|
|
sin2 udu = |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
|
− |
|
|
= 0,091. |
|||||||
|
π |
π |
|
|
|
π |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
0 |
8 |
|
4 |
|
|
||||||||||
P = P(x) |
x = |
|
2 |
sin |
2 πx |
|
x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P |
= |
2 |
sin2 π(5L / 8) (0,01L) = |
2 |
|
0,854 0,01L = |
0,017. |
|||||||||||||||||||||||
|
L |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Среднее значение р и р2. Вычислите <р> и <р2> c помощью волновой функции основного состояния в бесконечно глубокой прямоугольной яме.
|
|
|
|
|
|
|
L |
2 |
|
|
πx |
|
|
|
|
∂ |
|
2 |
|
|
πx |
|
|
|
|
|
||||||||||||
p = |
∫0 |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
dx |
= |
|
|
|
|
||||||||||
L |
|
L |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
∂x |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
2 π |
∫0L sin |
πx cos |
πx dx |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
i L L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
∂ |
|
|
|
|
∂ |
|
|
= − 2 |
∂2ψ |
|
|
|
2 |
|
π2 |
2 |
|
πx |
|
2π2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ |
|
|
2 |
|
|
= − |
− |
2 |
|
|
sin |
|
|
= + |
|
ψ. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
L |
L |
2 |
||||||||||||||||||||||
i ∂x i |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
L |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π2 |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
2π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
p2 = |
|
|
∫0 ψ*ψdx = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
L2 |
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
