Могилев А.В. Информатика
.pdfРис. 7.34. Графическая иллюстрация решения задачи из примера 3
Методы конечных разностей в моделировании свойств сплошных сред. Покажем на примере уравнения теплопроводности наиболее распространенные методы численного интегрирования уравнении в частных производных. В их основе лежит прием дискретизации.
Покроем отрезок [а, b] одномерной сеткой (т.е. разобьем на n равных частей, рис. 7.35) с узлами в точках
Искомую функцию и(х) будем аппроксимировать ее значениями в узлах сетки. Конечно, такое представление не дает полного описания, но в промежуточных точках, если сетка достаточно «мелкая», возможна интерполяция.
Рис. 7.35. Одномерная сетка
Остановимся на разностной аппроксимации производных. Производная дает информацию о локальном изменении функции в пространстве и, соответственно, связывает ее значения в соседних узлах сетки. Очевидная аппроксимация первой производной в точке х, имеет вид
(7.54)
Для крайних точек, однако, такая аппроксимация невозможна, и простейший способ - ограничиться односторонними разностями:
(7.55)
Разумеется, (7.54) и (7.55) дают простейшие аппроксимации. Втягивая большое количество узлов, можно получить аппроксимации более высокого порядка, но часто бывает достаточно описанных выше. Аналогичная им аппроксимация вторых производных имеет вид
(7.56)
Что же касается методов интегрирования по времени, то это те же методы, что и для обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге - Кутта и т.д. Так как им тоже свойственна дискретизация, то возникает еще одна, временная сетка. При интегрировании уравнений по времени мы движемся по отдельным слоям, а в каждом слое определяем значение искомой функции на пространственной сетке. Если для интегрирования по времени используется метод Эйлера
632
На рис. 7.36 представлена графическая иллюстрация результатов расчетов.
Рис. 7.36. Графики зависимости температуры от координаты в разные моменты времени (сверху вниз t = 0, t = 2, t = 4, t = 6, t = 8), в начальный момент времени температура самая высокая, затем она постепенно выравнивается, и зависимости температуры от времени в разных точках стержня. Верхняя кривая соответствует x = 2; ниже - x = 1 и х = 3; прямая линия, совпадающая здесь с осью абсцисс, - значение температуры на концах стержня
Ясно, что по мере эволюции во времени температура стержня будет выравниваться и асимптотически стремиться к 3oС во всех точках.
Контрольные вопросы и задания
1 Какие причины обусловливают особую значимость компьютерного моделирования в фи-
зике?
2.Какие аналогии проводятся между реальным и компьютерным экспериментами?
3.Почему при исследовании реальных процессов движения тел нужна дифференциальная форма законов Ньютона?
4.Как зависит сила сопротивления от скорости движущегося тела?
5.Какая из составляющих силы сопротивления - линейная или квадратичная - будет доминировать при погружении в воду полого стального шара - батискафа диаметром 2 м и с толщиной стенки 1 см при достижении им постоянной скорости погружения?
6.Почему учет силы сопротивления среды делает многие, известные из школьного курса физики модели, более реалистичными? Приведите примеры таких моделей.
7.Как надо преобразовать формулировку содержательной задачи, прежде чем приступать к
еерешению?
8.Как можно отобразить результаты моделирования в задаче о свободном падении тела в наиболее удобной для восприятия форме?
9.В чем преимущества и недостатки моделирования с помощью составления программ и с использованием табличных процессоров?
10.Разработайте программу для ЭВМ, используя один из методов численного интегрирования системы дифференциальных уравнений, позволяющую моделировать падение тела с учетом сопротивления среды. Предусмотрите интерактивный интерфейс для ввода данных, выбора формы представления результатов и т.д.
Решите с помощью этой программы одну из следующих задач:
а) с высоты Н падает предмет, через время t он оказывается на земле, требуется определить, с какой скоростью приземлится предмет;
б) металлический шарик падает в воде и в глицерине, провести сравнение результатов моделирования;
в) определить момент встречи (высоту и время) тела массы т1 свободно падающего с высоты Н0, и тела массы т2, брошенного вертикально вверх с достаточно большой начальной скоростью.
11.Какова траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту, при отсутствии сопротивления среды? Как меняется эта траектория качественно при наличии сильного сопротивления?
635
Точка В, напротив, отражает ситуацию, в которой численность популяции высока, и в значительной степени проявляется внутривидовая конкуренция. Фактическая скорость воспроизводства в результате конкуренции настолько снижена, что популяция в целом может не более чем восстанавливать в каждом поколении свою численность, потому что количество родившихся особей уравновешивается количеством погибших. Гипотезе, отраженной на рис. 7.37, соответствует уравнение
(7.62)
где a R 1 . Это уравнение представляет собой модель роста популяции, ограниченного внутри-
K
видовой конкуренцией. Суть этой модели в том, что константа R в уравнении (7.60) заменена на
R
фактическую скорость воспроизводства, т е. 1 a N t , которая уменьшается по мере роста чис-
ленности популяции Nt. Достоинство полученного уравнения заключается в его простоте. Такой тип конкуренции приводит к саморегуляции численности популяции, изображенной на рис. 7.38 (для некоторого набора параметров модели; численное решение).
Рис. 7.38. Изменение численности популяции согласно уравнению (7.62) при R = 2, К = 200, N0 =
20
После несложного изменения в уравнении (7.62) может быть получена гораздо более общая модель, учитывающая интенсивность конкуренции. Простейшая из возможных зависимостей падения скорости роста популяции от ее численности, изображенная на рис. 7,37, является не законом природы, а всего лишь удобной гипотезой. Далеко не всегда реальная динамика численности популяции, определяемая внутривидовой конкуренцией, даже качественно согласуется с изображенной на рис. 7.38. Более общая гипотеза о законе падения скорости роста популяции в зависимости от ее численности приводит к следующему уравнению:
(7.63)
Общность данной модели в отличие от уравнения (7.62) обусловлена введением в модель параметра b, который определяет тип зависимости падения скорости роста популяции от ее численности.
Набор величин a, b, R можно использовать для сравнения и противопоставления сильно различающихся ситуаций. Другим положительным качеством уравнения (7.63) является его способность освещать новые стороны реального мира. Путем анализа кривых динамики популяций, полученных с помощью уравнения, можно прийти к предварительным выводам относительно динамики природных популяций.
640